Обратная задача для волнового уравнения с полиномиальной нелинейностью

Обратная задача для волнового уравнения с полиномиальной нелинейностью

Романов В. Г., Бугуева Т. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 1(93), 142-149 (2023)
Скачать статью

УДК 517.968 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.113

Аннотация:

Для волнового уравнения, содержащего нелинейность в виде полинома $n$-го порядка, изучается задача об определении коэффициентов полинома, зависящих от переменной $x \in \mathbb{R}^3$. Рассматриваются плоские волны с резким фронтом, распространяющиеся в однородной среде в направлении единичного вектора $\nu$ и падающие на неоднородность, локализованную внутри некоторого шара $B(R)$. Предполагается, что решения задач могут быть измерены в точках границы этого шара в моменты времени, близкие к приходу фронта волны для всевозможных значений вектора $\nu$. Показывается, что решение обратной задачи сводится к серии задач рентгеновской томографии.

Литература:
  1. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations // Invent. Math. 2018. V. 212. P.781–857; arXiv:1405.3386v4 [math.DG] 20 Sep 2017 
     
  2. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Commun. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609; arXiv:1606.06261v1 [math.AP] 20 Jun 2016
     
  3. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations // Proc. Internat. Congress Math. 2018. V. 3. P. 3739–3760.
     
  4. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Differ. Equ. 2019. V. 44, N 11. P. 1140–1158.
     
  5. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets // Internat. Math. Res. Notices. 2019. V. 22. P. 6949–6987; arXiv:1705.01215v2 [math.DG] 27 May 2020
     
  6. Barreto A. S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions // Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14, N 6. P. 1057–1105; arXiv:2001.11061v1 [math.AP] 29 Jan 2020
     
  7. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation // J. Math. Pures Appl. 2021. V. 153. P. 114–136.
     
  8. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a general nonlinearity in the semilinear wave equation; arXiv:2107.08513v1 [math.AP] 18 Jul 2021
     
  9. Hintz P., Uhlmann G., Zhai l J. The Dirichlet-to-Neumann map for a semilinear wavevequation on Lorentzian manifolds; arXiv:2103.08110v1 [math.AP] 15 Mar 2021
     
  10. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly non-linear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53; DOI: https://doi.org/10.1007/s00220-022-04359-0
     
  11. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Обратная задача для нелинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 2. С. 83–100.
     
  12. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Задача об определении коэффициента при нелинейном члене квазилинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 3. С. 154–169.
     
  13. Романов В. Г. Обратная задача для полулинейного волнового уравнения // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022, Т. 504, № 1. С. 36–41.
     
  14. Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. N. Y.: J. Wiley & Sons, 1986.
     
  15. Davison M. E. A singular value decomposition for the Radon transform in $n$-dimensional Euclidean space // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1981. V. 3. P. 321–340.
     
  16. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент // Успехи физ. наук. 1983. Т. 141, N 3. С. 469–498.
     
  17. Deans S. R. The Radon Transform and Some of Its Applications. N. Y.: J.Wiley & Sons, 1983.
     
  18. Louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radon transform // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15, N 3. P. 621–633.
     
  19. Louis A. K. Incomplete data problems in $x$-ray computerized tomography // Numer. Math. 1986. V. 48, N 3. P. 251–262; https://doi.org/10.1007/BF01389474
     
  20. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.
     
  21. Michette A. G., Buckley C. J. X-Ray Science and Technology. N. J.: Taylor & Francis, 1993.
     
  22. Бойко В. М., Оришич А. М., Павлов А. А., Пикалов В. В. Методы оптической диагностики в аэрофизическом эксперименте. Новосибирск: изд. НГУ, 2009.
     
  23. Derevtsov E. Yu., Efimov A. V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 19, N 4–5. P. 689–715; DOI: 10.1515/jiip.2011.047
     
  24. Аниконов Д. С., Назаров В. Г., Прохоров И. В. Интегродифференциальный индикатор для задачи одноракурсной томографии // Сиб. журн. индустр. матем. 2014. Т. 17, № 2. С. 3–10.
     
  25. Liu R., Yu H., Yu H. Singular value decomposition-based 2D image reconstruction for computed tomography // J. XRay Sci. Technol. 2016. V. 25, N 1. P. 1–22; DOI: 10.3233/XST-16173
     
  26. Borg L., Frikel J., Orgensen J. S., Quinto E. T. Analyzing reconstruction artifacts from arbitrary incomplete $X$-ray CT data; arXiv:1707.03055v4 [math.FA] 26 Jun 2018
     
  27. Xu Y., Yu H., Sushmit A., Lyu Q., Wang G., Li Y., CAO X., Maltz J. S. Cardiac CT motion artifact grading via semi-automatic labeling and vessel tracking using synthetic image-augmented training data // J. XRay Sci. Technol. 2022. V. 30, N 3. P. 433–445; DOI: 10.3233/XST-211109
     
  28. Шарафутдинов В. А. Об определении оптическогол тела, расположенного в однородной среде, по его изображениям // Математические методы для решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1981. С. 123–148.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0009).

В. Г. Романов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: romanov@math.nsc.ru

Т. В. Бугуева
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: bugueva@math.nsc.ru

Статья поступила 31.10.2022 г.
После доработки — 02.11.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

For a wave equation containing nonlinearity in the form of a $n$-th order polynomial, the problem of determining the coefficients of the polynomial depending on the variable $x \in \mathbb{R}^3$ is studied. Plane waves propagating with a sharp front in a homogeneous medium in the direction of a unit vector $\nu$ and falling on inhomogeneity localized inside some ball $B(R)$ are considered. It is assumed that the solutions of forward problems for all possible $\nu$ can be measured at points of the boundary of this ball at time close to the arrival of the wave front. It is shown that the solution of the inverse problem is reduced to a series of $X$-ray tomography problems.

References:
  1. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations. Invent. Math., 2018, Vol. 212, pp.781–857; arXiv:1405.3386v4 [math.DG] 20 Sep 2017
     
  2. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds. Commun. Math. Phys., 2018, Vol. 360, pp. 555–609; arXiv:1606.06261v1 [math.AP] 20 Jun 2016
     
  3. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations. Proc. Internat. Congress Math., 2018, Vol. 3, pp. 3739–3760.
     
  4. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations. Commun. Partial Differ. Equ., 2019, Vol. 44, No. 11, pp. 1140–1158.
     
  5. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets. Internat. Math. Res. Notices, 2019, Vol. 22, pp. 6949–6987; arXiv:1705.01215v2 [math.DG] 27 May 2020
     
  6. Barreto A. S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions. Inverse Probl. Imaging, 2020, Vol. 14, No. 6, pp. 1057–1105; arXiv:2001.11061v1 [math.AP] 29 Jan 2020
     
  7. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation. J. Math. Pures Appl., 2021, Vol. 153, pp. 114–136.
     
  8. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a general nonlinearity in the semilinear wave equation; arXiv:2107.08513v1 [math.AP] 18 Jul 2021
     
  9. Hintz P., Uhlmann G., Zhai l J. The Dirichlet-to-Neumann map for a semilinear wavevequation on Lorentzian manifold; arXiv:2103.08110v1 [math.AP] 15 Mar 2021
     
  10. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly non-linear regime. Commun. Math. Phys., 2022, Vol. 392, pp. 25–53; DOI: https://doi.org/10.1007/s00220-022-04359-0 
     
  11. Romanov V. G., Bugueva T. V. Inverse problem for a nonlinear wave equation. J. Appl. Indust. Math., 2022, Vol. 16, No. 2, pp. 333–348.
     
  12. Romanov V. G., Bugueva T. V. The problem of determining the coefficient of the nonlinear term in a quasilinear wave equation. J. Appl. Indust. Math., 2022, Vol. 16, No. 3, pp. 550–562.
     
  13. Romanov V. G. An inverse problem for a semilinear wave equation. Doklady Math., 2022, Vol. 105, No. 3, pp. 166–170.
     
  14. Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. N. Y.: Wiley & Sons, 1986.
     
  15. Davison M. E. A singular value decomposition for the Radon transform in $n$-dimensional Euclidean space. Numer. Funct. Anal. Optimiz., 1981, Vol. 3, pp. 321–340.
     
  16. Pikalov V. V., Preobrazhenskii N. G. Вычислительная томография и физический эксперимент [Computational tomography and physical experiment]. Uspekhi Fiz. Nauk, 1983, Vol. 141, No. 3, pp. 469–498 (in Russian).
     
  17. Deans S. R. The Radon Transform and Some of Its Applications. N. Y.: J.Wiley & Sons, 1983.
     
  18. Louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radon transform. SIAM J. Math. Anal., 1984, Vol. 15, No. 3, pp. 621–633.
     
  19. Louis A. K. Incomplete data problems in $x$-ray computerized tomography. Numer. Math., 1986, Vol. 48, No. 3, pp. 251–262; https://doi.org/10.1007/BF01389474
     
  20. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya., Timonov A. A. Matematicheskie zadachi komp’yuternoi tomografii [Mathematical problems of computed tomography]. Moscow: Nauka, 1987 (in Russian).
     
  21. Michette A. G., Buckley C. J. $X$-Ray Science and Technology. N. J.: Taylor & Francis, 1993.
     
  22. Boyko V. M., Orishich A. M., Pavlov A. A., Pikalov V. V. Методы оптической диагностики в аэрофизическом эксперименте [Methods of optical diagnostics in an aerophysical experiment]. Novosibirsk: izd. NSU, 2009 (in Russian).
     
  23. Derevtsov E. Yu., Efimov A. V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography. J. Inverse Ill-Posed Probl., 2011, Vol. 19, No. 4–5, pp. 689–715; DOI: 10.1515/jiip.2011.047
     
  24. Anikonov D. S., Nazarov V. G., Prokhorov I. V. Integrodifferentsial’nyi indikator dlya zadachi odnorakursnoi tomografii [Integro-differential indicator for the problem of single-angle tomography]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2014, Vol. 17, No. 2, pp. 3–10 (in Russian).
     
  25. Liu R., Yu H., Yu H. Singular value decomposition-based 2D image reconstruction for computed tomography. J. XRay Sci. Technol., 2016, Vol. 25, No. 1, pp. 1–22; DOI: 10.3233/XST-16173
     
  26. Borg L., Frikel J., Orgensen J. S., Quinto E. T. Analyzing reconstruction artifacts from arbitrary incomplete $X$-ray CT data; arXiv:1707.03055v4 [math.FA] 26 Jun 2018
     
  27. Xu Y., Yu H., Sushmit A., Lyu Q., Wang G., Li Y., CAO X., Maltz J. S. Cardiac CT motion artifact grading via semi-automatic labeling and vessel tracking using synthetic image-augmented training data. J. XRay Sci. Technol., 2022, Vol. 30, No. 3, pp. 433–445; DOI: 10.3233/XST-211109
     
  28. Sharafutdinov V. A. Ob opredelenii opticheskogol tela, raspolozhennogo v odnorodnoi srede, po ego izobrazheniyam [On the determination of an optical body located in a homogeneous medium from its images]. Matematicheskie metody dlya resheniya pryamykh i obratnykh zadach geofiziki [Mathematical methods for solving direct and inverse problems of geophysics]. Novosibirsk: izd. VTs SO AN SSSR, 1981, pp. 123–148 (in Russian).