Разложение симметричных тензорных полей в $\mathbb {R}^3$

Разложение симметричных тензорных полей в $\mathbb {R}^3$

Светов И. Е., Полякова А. П.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 1(93), 161-178 (2023)
Скачать статью

УДК 517.983:514.8 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.115

Аннотация:

Введены обобщения оператора ротора, действующие на трёхмерные симметричные $m$-тензорные поля, и установлены их свойства. Для пространств трёхмерных тензорных полей получены новые детальные разложения, каждое слагаемое в которых строится с использованием одной функции. Такого рода разложения играют важную роль, в частности при исследовании томографических интегральных операторов, действующих на симметричные $m$-тензорные поля, $m \ge 1$, и построении алгоритмов для решения возникающих обратных задач.

Литература:
  1. Norton S. J. Tomographic reconstruction of 2-D vector fields: application to flow imaging // Geophys. J. Internat. 1989. V. 97, N 1. P. 161–168; DOI:10.1111/j.1365-246X.1989.tb00491.x
     
  2. Braun H., Hauck A. Tomographic reconstruction of vector fields // IEEE Trans. Signal Processing. 1991. V. 39, N 2. P. 464–471; DOI:10.1109/78.80830
     
  3. Sparr G., Strahlen K., Lindstrem K., Persson H. W. Doppler tomography for vector fields // Inverse Problems. 1995. V. 11, N 5. P. 1051–1061; DOI:10.1088/0266-5611/11/5/009
     
  4. Defrise M., Gullberg G. T. 3D reconstruction of tensors and vectors. Technical Report. N LBNL–54936. Berkeley: LBNL, 2005.
     
  5. Schuster T. 20 years of imaging in vector field tomography: a review // Math. Meth. Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Dariation Therapy (IMRT). Basel: Birkhauser, 2008. P. 389–424.
     
  6. Kazantsev S. G., Bukhgeim A. A. Inversion of the scalar and vector attenuated x-ray transforms in a unit disc // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2007. V. 15, N 7. P. 735–765; DOI:10.1515/jiip.2007.040
     
  7. Tamasan A. Tomographic reconstruction of vector fields in variable background media // Inverse Problems. 2007. V. 23, N 5. P. 2197–2205; DOI:10.1088/0266-5611/23/5/022
     
  8. Ainsworth G. The attenuated magnetic ray transform on surfaces // Inverse Probl. Imaging. 2013. V. 7, N 1. P. 27–46; DOI:10.3934/ipi.2013.7.27
     
  9. Svetov I. E., Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium // Math. Comput. Simul. 2014. V. 97. P. 207–223; DOI:10.1016/j.matcom.2013.10.002
     
  10. Monard F. Inversion of the attenuated geodesic X-ray transform over functions and vector fields on simple surfaces // SIAM J. Math. Anal. 2016. V. 48, N 2. P. 1155–1177; DOI:10.1137/15M1016412
     
  11. Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, 1993.
     
  12. Puro A. Magneto-photoelasticity as parametric tensor field tomography // Inverse Problems. 1998. V. 14, N 5. P. 1315–1330; DOI:10.1088/0266-5611/14/5/015
     
  13. Sharafutdinov V. The linearized problem of magneto-photoelasticity // Inverse Probl. Imaging. 2014. V. 8, N 1. P. 247–257; DOI:10.3934/ipi.2014.8.247
     
  14. Aben H. K., Idnurm S. J., Josepson J., Kell K.-J. E., Puro A. E. Optical tomography of stress tensor field // Analytical Meth. Optical Tomography. Proc. SPIE. 1991. V. 1843. P. 220–229; DOI:10.1117/12.131894
     
  15. Пуро А. Э., Каров Д. Д. Тензорная томография остаточных напряжений // Оптика и спектроскопия. 2007. Т. 103, № 4. С. 698–703.
     
  16. Lionheart W., Withers P. Diffraction tomography of strain // Inverse Problems. 2015. V. 31, N 4. Article 045005; DOI:10.1088/0266-5611/31/4/045005
     
  17. Карасев В. П. Поляризационная томография квантового излучения: теоретические аспекты. Операторный подход // Теор. и мат. физика. 2005. Т. 145, № 3. С. 344–357; DOI:10.4213/tmf1904
     
  18. Tao W., Rohmer D., Gullberg G. T., Seo Y., Huang Q. An Analytical Algorithm for Tensor Tomography From Projections Acquired About Three Axes // IEEE Trans. Medical Imaging. 2022. V. 41, N 11. P. 3454–3472. DOI: 10.1109/TMI.2022.3186983
     
  19. Derevtsov E. Yu., Svetov I. E. Tomography of tensor fields in the plain // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2015. V. 3, N 2. P. 24–68
     
  20. Weyl Н. The method of ortogonal projection in potential theory // Duke Math. J. 1940. V. 7, N 1. P. 411–444; DOI:10.1215/S0012-7094-40-00725-6
     
  21. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Численное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов // Сиб. журн. вычисл. мат. 2002. Т. 5, № 3. С. 233–254.
     
  22. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Приближённое решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов // Сиб. журн. индустр. математики. 2002. Т. 5, № 1. С. 39–62.
     
  23. Светов И. Е., Полякова А. П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с использованием B-сплайнов // Сиб. журн. индустр. математики. 2010. Т. 13, № 2. С. 183–199.
     
  24. Derevtsov E. Yu., Efimov A. V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 19, N 4–5. P. 689–715; DOI:10.1515/jiip.2011.047
     
  25. Деревцов Е. Ю., Полякова А. П. Решение задачи интегральной геометрии 2-тензорных полей методом сингулярного разложения // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, № 3. С. 73–94.
     
  26. Светов И. Е., Полякова А. П. Приближённое решение задачи двумерной 2-тензорной томографии с использованием усеченного сингулярного разложения // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 480–499. DOI:10.17377/semi.2015.12.041
     
  27. Derevtsov E. Yu., Louis A. K., Maltseva S. V., Polyakova A. P., Svetov I. E. Numerical solvers based on the method of approximate inverse for 2D vector and 2-tensor tomography problems // Inverse Problems. 2017. V. 33, N 12. Article 124001; DOI:10.1088/1361-6420/aa8f5a
     
  28. Светов И. Е., Полякова А. П., Мальцева С. В. Метод приближённого обращения для операторов лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные $m$-тензорные поля // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22, № 1. С. 104–115; DOI:10.33048/sibjim.2019.22.110
     
  29. Полякова А. П. Восстановление векторного поля в шаре по его нормальному преобразованию Радона // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2013. Т. 13, № 4. С. 119–142.
     
  30. Светов И. Е. Метод приближённого обращения для операторов преобразования Радона функций и нормального преобразования Радона векторных и симметричных 2-тензорных полей в $\mathbb {R}^3$ // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 1073–1087; DOI:10.33048/semi.2020.17.081
     
  31. Polyakova A. P. Singular value decomposition of a normal Radon transform operator acting on 3D symmetric 2-tensor fields // Сиб. электрон. мат. изв. 2021. Т. 18, № 2. С. 1572–1595; DOI:10.33048/semi.2021.18.117
     
  32. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.
     
  33. Быховский Э. Б., Смирнов Н. В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Тр. МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5–36.
     
  34. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier—Stokes Equations, Theory and Algorithms. Berlin: Springer-Verl., 1986; DOI:10.1007/978-3-642-61623-5
     
  35. Borchers W., Sohr H. On the equations rot $v = g$ and div $u = f$ with zero boundary conditions // Hokkaido Math. J. 1990. V. 19. P. 67–87; DOI:10.14492/HOKMJ/1381517172
     
  36. Backus G. E. Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling // Rev. Geophysics. 1986. V. 24, N 1. P. 75–109; DOI:10.1029/rg024i001p00075
     
  37. Казанцев С. Г., Кардаков В. Б. Полоидально-тороидальное разложение соленоидальных векторных полей в шаре // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22, № 3. С. 74–95; DOI:10.33048/sibjim.2019.22.307

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0009) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 19-51-12008-ННИО_а).

И. Е. Светов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: svetovie@math.nsc.ru

А. П. Полякова
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: apolyakova@math.nsc.ru

Статья поступила 19.05.2022 г. 
После доработки — 04.10.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

In the article, we introduce generalizations of the curl operator acting on three-dimensional symmetric $m$-tensor fields and establish properties of them. For the spaces of three-dimensional tensor fields, new detailed decompositions are obtained. Each term in the decompositions is constructed using of one function. Decompositions of this kind play a special role, in particular, in the study of tomographic integral operators acting on symmetric $m$-tensor fields, $m \ge 1$, and in the construction of algorithms for solving the emerging inverse problems.

References:
  1. Norton S. J. Tomographic reconstruction of 2-D vector fields: application to flow imaging. Geophys. J. Internat., 1989, Vol. 97, No. 1, pp. 161–168; DOI:10.1111/j.1365-246X.1989.tb00491.x
     
  2. Braun H., Hauck A. Tomographic reconstruction of vector fields. IEEE Trans. Signal Processing, 1991, Vol. 39, No. 2, pp. 464–471; DOI:10.1109/78.80830
     
  3. Sparr G., Strahlen K., Lindstrem K., Persson H. W. Doppler tomography for vector fields. Inverse Problems, 1995, Vol. 11, No. 5, pp. 1051–1061; DOI:10.1088/0266-5611/11/5/009
     
  4. Defrise M., Gullberg G. T. 3D reconstruction of tensors and vectors. Technical Report. N LBNL–54936. Berkeley: LBNL, 2005.
     
  5. Schuster T. 20 years of imaging in vector field tomography: a review. Math. Meth. Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Dariation Therapy (IMRT). Basel: Birkhauser, 2008. P. 389–424.
     
  6. Kazantsev S. G., Bukhgeim A. A. Inversion of the scalar and vector attenuated x-ray transforms in a unit disc. J. Inverse Ill-Posed Probl., 2007, Vol. 15, No. 7, pp. 735–765; DOI:10.1515/jiip.2007.040
     
  7. Tamasan A. Tomographic reconstruction of vector fields in variable background media. Inverse Problems, 2007, Vol. 23, No. 5, pp. 2197–2205; DOI:10.1088/0266-5611/23/5/022
     
  8. Ainsworth G. The attenuated magnetic ray transform on surfaces. Inverse Probl. Imaging, 2013, Vol. 7, No. 1, pp. 27–46; DOI:10.3934/ipi.2013.7.27
     
  9. Svetov I. E., Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium. Math. Comput. Simul., 2014, Vol. 97, pp. 207–223; DOI:10.1016/j.matcom.2013.10.002
     
  10. Monard F. Inversion of the attenuated geodesic X-ray transform over functions and vector fields on simple surfaces. SIAM J. Math. Anal., 2016, Vol. 48, No. 2, pp. 1155–1177; DOI:10.1137/15M1016412
     
  11. Sharafutdinov V. A. Integral Geometry of Tensor Fields. Utrecht: VSP, 1994; DOI:10.1515/9783110900095
     
  12. Puro A. Magneto-photoelasticity as parametric tensor field tomography. Inverse Problems, 1998, Vol. 14, No. 5, pp. 1315–1330; DOI:10.1088/0266-5611/14/5/015
     
  13. Sharafutdinov V. The linearized problem of magneto-photoelasticity. Inverse Probl. Imaging, 2014, Vol. 8, No. 1, pp. 247–257; DOI:10.3934/ipi.2014.8.247
     
  14. Aben H. K., Idnurm S. J., Josepson J., Kell K.-J. E., Puro A. E. Optical tomography of stress tensor field. Analytical Meth. Optical Tomography. Proc. SPIE, 1991, Vol. 1843, pp. 220–229; DOI:10.1117/12.131894
     
  15. Puro A. E., Karov D. D. Tensor field tomography of residual stresses. Optics and Spectroscopy, 2007, Vol. 103, No. 4, pp. 678–682; DOI:10.1134/S0030400X07100244
     
  16. Lionheart W., Withers P. Diffraction tomography of strain. Inverse Problems, 2015, Vol. 31, No. 4, article 045005; DOI:10.1088/0266-5611/31/4/045005
     
  17. Karassiov V. P. Polarization tomography of quantum radiation: theoretical aspects and operator approach. Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 145, No. 3, pp. 1666–1677; DOI:10.1007/s11232-005-0189-4
     
  18. Tao W., Rohmer D., Gullberg G. T., Seo Y., Huang Q. An analytical algorithm for tensor tomography from projections acquired about three axes. IEEE Transactions on Medical Imaging, 2022, Vol. 41, No. 11, pp. 3454–3472; DOI: 10.1109/TMI.2022.3186983
     
  19. Derevtsov E. Yu., Svetov I. E. Tomography of tensor fields in the plain. Eurasian J. Math. Comput. Appl., 2015, Vol. 3, No. 2, pp. 24–68.
     
  20. Weyl Н. The method of ortogonal projection in potential theory. Duke Math. J., 1940, Vol. 7, No. 1 pp. 411–444; DOI:10.1215/S0012-7094-40-00725-6
     
  21. Derevtsov E. Yu., Kashina I. G. Chislennoe reshenie zadachi vektornoi tomografii s pomoshch’yu polinomial’nykh bazisov [Numerical solution of the vector tomography problem using polynomial bases]. Sib. Zhurn. Vychisl. Mat., 2002, Vol. 5, No. 3, pp. 233–254 (in Russian).
     
  22. Derevtsov E. Yu., Kashina I. G. Priblizhennoe reshenie zadachi rekonstruktsii tenzornogo polya vtoroi valentnosti s pomoshch’yu polinomial’nykh bazisov [Approximate solution of the problem of reconstruction of the tensor field of the second valence using polynomial bases]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2002, Vol. 5, No. 1, pp. 39–62 (in Russian).
     
  23. Svetov I. E., Polyakova A. P. Reconstruction of 2-tensor fields, given in a unit circle, by their ray transform based on LSM with B-splines. Numer. Anal. Appl., 2010, Vol. 3, No. 2, pp. 151–164; DOI:10.1134/S1995423910020047 
     
  24. Derevtsov E. Yu., Efimov A. V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography. J. Inverse Ill-Posed Probl., 2011, Vol. 19, No. 4–5, pp. 689–715; DOI:10.1515/jiip.2011.047
     
  25. Derevtsov E. Yu., Polyakova A. P. An application of the SVD-method to the problem of integral geometry of 2-tensor fields. J. Math. Sci., 2014, Vol. 202, No. 1, pp. 50–71; DOI:10.1007/s10958-014-2033-6
     
  26. Svetov I. E., Polyakova A. P. Priblizhennoe reshenie zadachi dvumernoi 2-tenzornoi tomografii s ispol’zovaniem usechennogo singulyarnogo razlozheniya [Approximate solution of the problem of twodimensional 2-tensor tomography using truncated singular decomposition]. Sib. Elektron. Mat. Izv., 2015, Vol. 12, pp. 480–499 (in Russian); DOI:10.17377/semi.2015.12.041
     
  27. Derevtsov E. Yu., Louis A. K., Maltseva S. V., Polyakova A. P., Svetov I. E. Numerical solvers based on the method of approximate inverse for 2D vector and 2-tensor tomography problems. Inverse Problems, 2017, Vol. 33, No. 12, article 124001; DOI:10.1088/1361-6420/aa8f5a
     
  28. Svetov I. E., Polyakova A. P., Maltseva S. V. The method of approximate inverse for ray transform operators on two-dimensional symmetric m-tensor fields. J. Appl. Indust. Math., 2019, Vol. 13, No. 1, pp. 157–167; DOI:10.1134/S1990478919010162
     
  29. Polyakova A. P. Reconstruction of a vector field in a ball from its normal Radon transform. J. Math. Sci., 2015, Vol. 205, No. 3, pp. 418–439; DOI:10.1007/s10958-015-2256-1
     
  30. Svetlov I. E. Metod priblizhennogo obrashcheniya dlya operatorov preobrazovaniya Radona funktsii i normal’nogo preobrazovaniya Radona vektornykh i simmetrichnykh 2-tenzornykh polei v R 3 [Method of approximate inversion for Radon transformation operators of functions and normal Radon transformation of vector and symmetric 2-tensor fields in R 3 ]. Sibir. Elektron. Mat. Izv., 2020, Vol. 17, pp. 1073–1087 (in Russian); DOI:10.33048/semi.2020.17.081
     
  31. Polyakova A. P. Singular value decomposition of a normal Radon transform operator acting on 3D symmetric 2-tensor fields. Sibir. Elektron. Mat. Izv., 2021, Vol. 18, No. 2, pp. 1572–1595; DOI:10.33048/semi.2021.18.117 
     
  32. Kochin N. E. Vektornoe ischislenie i nachala tenzornogo ischisleniya [Vector calculus and the beginnings of tensor calculus]. Moscow: Nauka, 1965 (in Russian).
     
  33. Bykhovsky E. B., Smirnov N. V. Ob ortogonal’nom razlozhenii prostranstva vektor-funktsii, kvadratichno summiruemykh po zadannoi oblasti, i operatorakh vektornogo analiza [On the orthogonal decomposition of the space of vector functions, quadratically summable over a given domain, and vector analysis operators]. Tr. MIAN SSSR, 1960, Vol. 59, pp. 5–36 (in Russian).
     
  34. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier—Stokes Equations, Theory and Algorithms. Berlin: Springer-Verl., 1986; DOI:10.1007/978-3-642-61623-5
     
  35. Borchers W., Sohr H. On the equations rot $v = g$ and div $u = f$ with zero boundary conditions. Hokkaido Math. J., 1990, Vol. 19, pp. 67–87; DOI:10.14492/HOKMJ/1381517172
     
  36. Backus G. E. Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling. Rev. Geophysics, 1986, Vol. 24, No. 1, pp. 75–109; DOI:10.1029/rg024i001p00075
     
  37. Kazantsev S. G., Kardakov V. B. Poloidal-toroidal decomposition of solenoidal vector fields in the ball. J. Appl. Indust. Math., 2019, Vol. 13, No. 3, pp. 480–499; DOI:10.1134/S1990478919030098