Математическое моделирование течения суспензии в системе пересекающихся трещин

Математическое моделирование течения суспензии в системе пересекающихся трещин

Юлмухаметова Р. Р., Мусин А. А., Валиуллина В. И., Ковалева Л. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 1(93), 201-211 (2023)
Скачать статью

УДК 532.54 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.118

Аннотация:

Проводится математическое моделирование течения суспензии в сложной системе трещин, когда основную пересекает вторичная. Математическая модель процесса построена в одножидкостном приближении и включает уравнение неразрывности для суспензии, систему уравнений движения суспензии, уравнение сохранения массы в виде конвективно-диффузионного уравнения переноса для объёмной концентрации частиц. Решение задачи в трёхмерной постановке реализовано в программном пакете OpenFOAM. Проведены исследования динамики распределения твёрдых сферических частиц в сети трещин в зависимости от соотношения характерных чисел Рейнольдса для течения и частиц, а также от соотношения длины основной и вторичной трещин.

Литература:
  1. Хужаёров Б. Х., Махмудов Ж. М., Зикиряев Ш. Х. Перенос загрязняющих веществ в водоносных пластах с учётом двухместной адсорбции // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, № 1. С. 127–139.
     
  2. Osiptsov A. A. Fluid mechanics of hydraulic fracturing: A review // J. Petrol. Sci. Engrg. 2017. V. 156. P. 513–535; DOI: 10.1016/j.petrol.2017.05.019
     
  3. Sahai R., Moghanloo R. G. Proppant transport in complex fracture networks: A review // J. Petroleum Sci. Engrg. 2019; DOI: 10.1016/ j.petrol.2019.106199
     
  4. Wen Q., Wang S., Duan X., Wang F., Jin X. Experimental investigation of proppant settling in complex hydraulic-natural fracture system in shale reservoirs // J. Natural Gas Sci. Engrg. 2016. V. 33. P. 70–80; DOI: 10.1016/j.jngse.2016.05.010
     
  5. Головин С. В., Казакова М. Ю. Одномерная модель вытеснения двухфазной жидкости в щели с проницаемыми стенками // Прикл. механика и техн. физика. 2017. Т. 58, № 1. С. 22–36.
     
  6. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Т. 1, 2.
     
  7. Боронин С. А., Осипцов А. А. Двухконтинуальная модель течения суспензии в трещине гидроразрыва // Докл. АН. 2010. Т. 431, № 6. C. 758–761.
     
  8. Гаврилов А. А., Шебелев А. В. Одножидкостная модель смеси для ламинарных течений высококонцентрированных суспензий // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 2. С. 84–98.
     
  9. Pityuk Y. A., Abramova O. A., Fatkullina N. B., Bulatova A. Z. BEM based numerical approach for the study of the dispersed systems rheological properties // Studies in Systems, Decision and Control. 2019. V. 199. P. 338–352. 
     
  10. Iulmukhametova R. R., Musin A. A., Kovaleva L. A. Mathematical modelling of a laminar suspension flow in the flat inclined channel // J. Physics. Conf. Ser. 2021. Article 012044; DOI: 10.1088/1742-6596/2057/1/012044
     
  11. Kong X., McAndrew J. A computational fluid dynamics study of proppant placement in hydraulic fracture networks // SPE Unconventional Resources Conf. 2017. Calgary, Alberta, Canada, 15–16 February 2017. SPE-185083-MS; DOI: 10.2118/185083-MS
     
  12. Wang H., Wang M., Yang B., Lu Q., Zheng Y., Zhao H. Numerical study of supercritical $CO_2$ and proppant transport in different geometrical fractures // Greenhouse Gases. Sci. Technol. 2018. V. 8; DOI:10.1002/ghg.1803
     
  13. Zhang Y., Lu X., Zhang X., Li P. Proppant transportation in cross fractures: some findings and suggestions for field engineering // Energies. 2020. V. 13. Article 4912; DOI:10.3390/en13184912
     
  14. Krieger I. M. Rheology of monodisperse lattice // Adv. Colloid Interface Sci. 1972. V. 3. P. 111–136.
     
  15. Morris J. F., Boulay F. Curvilinear flows of non-colloidal suspensions: the role of normal stresses // J. Rheol. 1999. V. 43. P. 1213–1237.
     
  16. Tetlow N., Graham A. L., Ingber M. S., Subia S. R., Mondy L. A., Altobelli S. A. Particle migration in a Couette apparatus: experiment and modeling // J. Rheol. 1998. V. 42. P. 307–327.
     
  17. Ingber M. S., Graham A. L., Mondy L. A., Fang Z. An improved constitutive model for concentrated suspensions accounting for shear-induced particle migration rate dependence on particle radius // Internat. J. Multiphase Flow. 2009. V. 35. P. 270–276.
     
  18. Юлмухаметова Р. Р., Мусин А. А., Ковалева Л. А. Численное моделирование ламинарного течения суспензии в плоском канале // Вестн. Башкир. ун-та. 2021. Т. 26, № 2. С. 281–286; DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2021.2.2
     
  19. Iulmukhametova R. R., Musin A. A., Kovaleva L. A. Mathematical modeling of the flow of viscous incompressible fluid with suspended particles in flat inclined channel // Adv. Probl. Mech. II. 2020. (Lecture Notes Mech. Engrg. 2022); DOI: 10.1007/978-3-030-92144-6_3

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 19-31-90157).

Р. Р. Юлмухаметова
  1. Башкирский государственный университет, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: Regina.you@mail.ru

А. А. Мусин
  1. Башкирский государственный университет, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: mus-airat@yandex.ru

В. И. Валиуллина
  1. Башкирский государственный университет, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: vilenches@gmail.com

Л. А. Ковалева
  1. Башкирский государственный университет, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: liana-kovaleva@yandex.ru

Статья поступила 29.07.2022 г.
После доработки — 29.07.2022 г.
Принята к публикации 29.09.2022 г.

Abstract:

In this paper, mathematical modeling of the suspension flow in a complex system of fractures is carried out, when the main fracture is crossed by secondary fracture. The mathematical model of the process is built in the one-fluid approximation and includes the continuity equation for the suspension, the system of equations of suspension motion, the mass conservation equation in the form of a convective-diffusion transfer equation for the volume concentration of particles. The solution of the problem in a 3D formulation is implemented in the OpenFOAM software package. The dynamics of the distribution of solid spherical particles in a network of fractures was studied depending on the ratio of the characteristic Reynolds numbers for the flow and particles, as well as on the ratio of the length of the main and secondary fractures.

References:
  1. Khuzhayorov B. Kh., Makhmudov Zh. M., Zikiryayev Sh. Kh. Perenos zagryaznyayushchikh veshchestv v vodonosnykh plastakh s uchetom dvukhmestnoi adsorbtsii [Pollutant transfer in water-bearing strata with accounting for two-site adsorption]. Sib. Zhurn. Industr. Math., 2011, Vol. 14, No. 1, pp. 127–139 (in Russian).
     
  2. Osiptsov A. A. Fluid mechanics of hydraulic fracturing: A review. J. Petrol. Sci. Engrg., 2017, Vol. 156, pp. 513–535; DOI: 10.1016/j.petrol.2017.05.019
     
  3. Sahai R., Moghanloo R. G. Proppant transport in complex fracture networks: A review. J. Petroleum Sci. Engrg., 2019; DOI: 10.1016/ j.petrol.2019.106199
     
  4. Wen Q., Wang S., Duan X., Wang F., Jin X. Experimental investigation of proppant settling in complex hydraulic-natural fracture system in shale reservoirs. J. Natural Gas Sci. Engrg., 2016, Vol. 33, pp. 70–80; DOI: 10.1016/j.jngse.2016.05.010
     
  5. Golovin S. V., Kazakova M. Yu. One-dimensional model of two-phase fluid displacement in a slot with permeable walls. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2017, Vol. 58, No. 1, pp. 17–30.
     
  6. Nigmatulin R. I. Dinamika mnogofaznykh sred [Dynamics of multiphase media]. Moscow: Nauka, 1987, Vol. 1, 2 (in Russian).
     
  7. Boronin S. A., Osiptsov A. A. Two-continua model of suspension flow in a hydraulic fracture. Dokl. Phys., 2010, Vol. 55, No. 4, pp. 199–202.
     
  8. Gavrilov A. A., Shebelev A. V. Single-fluid model of a mixture for laminar flows of highly concentrated suspension. Fluid Dynamics, 2018, Vol. 53, No. 2, pp. 255–269.
     
  9. Pityuk Y. A., Abramova O. A., Fatkullina N. B., Bulatova A. Z. BEM based numerical approach for the study of the dispersed systems rheological properties. Studies in Systems, Decision and Control, 2019, Vol. 199, pp. 338–352.
     
  10. Iulmukhametova R. R., Musin A. A., Kovaleva L. A. Mathematical modelling of a laminar suspension flow in the flat inclined channel. J. Physics. Conf. Ser., 2021, article 012044; DOI: 10.1088/1742-6596/2057/1/012044
     
  11. Kong X., McAndrew J. A computational fluid dynamics study of proppant placement in hydraulic fracture networks. SPE Unconventional Resources Conf., Calgary, Alberta, Canada, 15–16 February 2017, SPE-185083-MS; DOI: 10.2118/185083-MS
     
  12. Wang H., Wang M., Yang B., Lu Q., Zheng Y., Zhao H. Numerical study of supercritical $CO_2$ and proppant transport in different geometrical fractures. Greenhouse Gases. Sci. Technol., 2018, Vol. 8; DOI:10.1002/ghg.1803
     
  13. Zhang Y., Lu X., Zhang X., Li P. Proppant transportation in cross fractures: some findings and suggestions for field engineering. Energies, 2020, Vol. 13, article 4912; DOI:10.3390/en13184912
     
  14. Krieger I. M. Rheology of monodisperse lattice. Adv. Colloid Interface Sci., 1972, Vol. 3, pp. 111–136.
     
  15. Morris J. F., Boulay F. Curvilinear flows of non-colloidal suspensions: the role of normal stresses. J. Rheol., 1999, Vol. 43, pp. 1213–1237.
     
  16. Tetlow N., Graham A. L., Ingber M. S., Subia S. R., Mondy L. A., Altobelli S. A. Particle migration in a Couette apparatus: experiment and modeling. J. Rheol., 1998, Vol. 42, pp. 307–327.
     
  17. Ingber M. S., Graham A. L., Mondy L. A., Fang Z. An improved constitutive model for concentrated suspensions accounting for shear-induced particle migration rate dependence on particle radius. Internat. J. Multiphase Flow, 2009, Vol. 35, pp. 270–276.
     
  18. Iulmukhametova R. R., Musin A. A., Kovaleva L. A. Chislennoe modelirovanie laminarnogo techeniya suspenzii v ploskom kanale [Numerical simulation of a laminar suspension flow in a flat channel]. Vestnik Bashkir. Univ., 2021, Vol. 26, No. 2, pp. 281–286 (in Russian); DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2021.2.2
     
  19. Iulmukhametova R. R., Musin A. A., Kovaleva L. A. Mathematical modeling of the flow of viscous incompressible fluid with suspended particles in flat inclined channel. Adv. Probl. Mech. II. 2020. (Lecture Notes Mech. Engrg., 2022); DOI: 10.1007/978-3-030-92144-6_3