Задача об определении коэффициента при степенной градиентной нелинейности в полулинейном волновом уравнении

Задача об определении коэффициента при степенной градиентной нелинейности в полулинейном волновом уравнении

Романов В. Г., Бугуева Т. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 2(94), 113-129 (2023)
Скачать статью

УДК 517.956 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.210

Аннотация:

Рассматривается одномерная обратная задача определения коэффициента при степенной градиентной нелинейности в полулинейном волновом уравнении. Доказаны теоремы существования и единственности решения прямой задачи. Для обратной задачи установлена теорема о локальном существовании её решения и найдена оценка устойчивости решения.

Литература:
  1. Assylbekov Y.M., Zhou T. Direct and inverse problems for the nonlinear time-harmonic Maxwell equations in Kerr-type media // J. Spectral Theory. 2017; arXiv:1709.07767
     
  2. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations // Invent. Math. 2018. V. 212. P.781–857; arXiv:1405.3386v4 [math.DG] 20 Sep 2017
     
  3. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Commun. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609; arXiv:1606.06261v1 [math.AP] 20 Jun 2016
     
  4. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations // Proc. Internat. Congress Math. 2018. V. 3. P. 3739–3760.
     
  5. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Differ. Equ. 2019. V. 44, N 11. P. 1140–1158.
     
  6. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets // Internat. Math. Res. Notices. 2019. V. 22. P. 6949–6987; arXiv:1705.01215v2 [math.DG] 27 May 2020
     
  7. Barreto A.S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions // Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14, N 6. P. 1057–1105; arXiv:2001.11061v1 [math.AP] 29 Jan 2020
     
  8. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Internat. Math. Res. Notices. 2021; arXiv:2005.10447
     
  9. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation // J. Math. Pures Appl. 2021. V. 153. P. 114–136.
     
  10. Barreto A.S., Stefanov P. Recovery of a general nonlinearity in the semilinear wave equation // Analysis of PDEs. 2021; arXiv:2107.08513v1 [math.AP] 18 Jul 2021
     
  11. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. The Dirichlet-to-Neumann map for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Analysis of PDEs. 2021; arXiv:2103.08110v1 [math.AP] 15 Mar 2021
     
  12. Barreto A.S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly non-linear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53; DOI: https://doi.org/10.1007/s00220-022-04359-0
     
  13.  Романов В.Г., Бугуева Т.В. Обратная задача для нелинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 2. С. 83–100.
     
  14. Романов В.Г., Бугуева Т.В. Задача об определении коэффициента при нелинейном члене квазилинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 3. С. 154–169.
     
  15. Романов В.Г. Обратная задача для полулинейного волнового уравнения // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления, 2022, Т. 504, № 1. С. 36–41.
     
  16. Романов В.Г., Бугуева Т.В. Обратная задача для волнового уравнения с полиномиальной нелинейностью // Сиб. журн. индустр. математики. 2023. Т. 26, № 1. С. 142–149.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0009).

В. Г. Романов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: romanov@math.nsc.ru

Т. В. Бугуева
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: bugueva@math.nsc.ru

Статья поступила 12.12.2022 г.
После доработки — 14.12.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

An one-dimensional inverse problem of determining the coefficient for power gradient nonlinearity in a semilinear wave equation is considered. The existence and uniqueness theorems of the solution of a direct problem are proved. For the inverse problem the local existence theorem is stated and a stability estimate of the solution is found.

References:
  1. Assylbekov Y.M., Zhou T. Direct and inverse problems for the nonlinear time-harmonic Maxwell equations in Kerr-type media. J. Spectral Theory, 2017; arXiv:1709.07767
     
  2. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations. Invent. Math., 2018, Vol. 212, pp.781–857; arXiv:1405.3386v4 [math.DG] 20 Sep 2017
     
  3. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds. Commun. Math. Phys., 2018, Vol. 360, pp. 555–609; arXiv:1606.06261v1 [math.AP] 20 Jun 2016
     
  4. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations. Proc. Internat. Congress Math., 2018, Vol. 3, pp. 3739–3760.
     
  5. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations. Commun. Partial Differ. Equ., 2019, Vol. 44, No. 11, pp. 1140–1158.
     
  6. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets. Internat. Math. Res. Notices, 2019, Vol. 22, pp. 6949–6987; arXiv:1705.01215v2 [math.DG] 27 May 2020
     
  7. Barreto A.S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions. Inverse Probl. Imaging, 2020, Vol. 14, No. 6, pp. 1057–1105; arXiv:2001.11061v1 [math.AP] 29 Jan 2020
     
  8. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds. Internat. Math. Res. Notices, 2021; arXiv:2005.10447
     
  9. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation. J. Math. Pures Appl., 2021, Vol. 153, pp. 114–136.
     
  10. Barreto A.S., Stefanov P. Recovery of a general nonlinearity in the semilinear wave equation; Analysis of PDEs, 2021; arXiv:2107.08513v1 [math.AP] 18 Jul 2021.
     
  11. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. The Dirichlet-to-Neumann map for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds. Analysis of PDEs, 2021; arXiv:2103.08110v1 [math.AP] 15 Mar 2021
     
  12. Barreto A.S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly non-linear regime. Commun. Math. Phys., 2022, Vol. 392, pp. 25–53; https://doi.org/10.1007/s00220-022-04359-0 
     
  13. Romanov V.G., Bugueva T.V. Inverse problem for a nonlinear wave equation. J. Appl. Indust. Math., 2022, Vol. 16, No. 2, pp. 333–348.
     
  14. Romanov V.G., Bugueva T.V. The problem of determining the coefficient of the nonlinear term in a quasilinear wave equation. J. Appl. Indust. Math., 2022, Vol. 16, No. 3, pp. 550–562.
     
  15. Romanov V.G. An inverse problem for a semilinear wave equation. Doklady Math., 2022, Vol. 105, No. 3, pp. 166–170.
     
  16. Romanov V.G., Bugueva T.V. Inverse problem for wave equation with polynomial nonlinearity. J. Appl. Indust. Math., 2023, Vol. 17, No. 1, pp. 163–167; DOI: 10.1134/S199047892301018.