Нелокальная обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания балки

Нелокальная обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания балки

Дурдиев У. Д., Бозоров З. Р.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 2(94), 60-73 (2023)
Скачать статью

УДК 517.953:517.958:624.27 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.206

Аннотация:

Проведено исследование прямой задачи для колебания однородной балки конечной длины с нелокальными по времени условиями. Получены необходимое и достаточное условия существования решения прямой задачи. Изучается обратная задача по определению коэффициента, зависящего от времени при младшей производной. С помощью собственных чисел и собственных функций задача сводится к системе интегральных уравнений. С помощью принципа Банаха показаны существование и единственность решения обратных задач.

Литература:
  1. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1966.
     
  2. Крылов А.Н. Вибрация судов. Л.; М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.
     
  3. Гусев Б.В., Саурин В.В. О колебаниях неоднородных балок // Инж. вестн. Дона. 2017; http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4312
     
  4. Sabitov K.B. A remark on the theory of initial-boundary value problems for the equation of rods and beams // Differ. Equ. 2017. V. 53, N 1. P. 89–100; DOI: 10.1134/S0012266117010086
     
  5. Sabitov K.B. Initial–boundary value problems for the beam vibration equation with allowance for its rotational motion under bending // Differ. Equ. 2021. V. 57, N 3. P. 342–352; DOI: 10.1134/S0012266121030071
     
  6. Сабитов К.Б., Фадеева О.В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки // Вестн. Самар. гос. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25, № 1. С. 51—66; DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845
     
  7. Baysal O., Hasanov A. Solvability of the clamped Euler—Bernoulli beam equation // Appl. Math. Lett. 2019. V. 93. P. 85–90; https://doi.org/10.1016/j.aml.2019.02.006
     
  8. Durdiev U.D. Inverse problem of determining an unknown coefficient in the beam vibration equation // Differ. Equ. 2022. V. 58, N 1. P. 37–44; DOI: 10.1134/S0012266122010050
     
  9. Tan G., Shan J., Wu Ch., Wang W. Direct and inverse problems on free vibration of cracked multiple I-section beam with different boundary conditions // Adv. Mech. Engrg. 2017. V. 9, N 11. P. 1–17; DOI: 10.1177/1687814017737261
     
  10. Moaveni S., Hyde R. Reconstruction of the area-moment-of-inertia of a beam using a shifting load and the end-slope data // Inverse Probl. Sci. Engrg. 2016. V. 24, N 6. P. 990–1010; DOI: 10.1080/17415977.2015.1088539
     
  11. Chang J.D., Guo B.Z. Identification of variable spacial coefficients for a beam equation from boundary measurements // Automatica. 2007. V. 43. P. 732–737; DOI: 10.1016/j.automatica.2006.11.002
     
  12. Huang Ch.H., Shih Ch.Ch. An inverse problem in estimating simultaneously the time-dependent applied force and moment of an Euler—Bernoulli beam // CMES. 2007. V. 21, N 3. P. 239–254.
     
  13. Maciag A., Pawinska A. Solution of the direct and inverse problems for beam // Comput. Appl. Math. 2016. V. 35. P. 187–201; DOI 10.1007/s40314-014-0189-9
     
  14. Maciag A., Pawinska A. Solving direct and inverse problems of plate vibration by using the Trefftz functions // J. Theor. Appl. Mech. 2013. V. 51, N 3. P. 543–552.
     
  15. Карчевский А.Л. Аналитические решения дифференциального уравнения поперечных колебаний кусочно-однородной балки в частотной области для краевых условий любого вида // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23, № 4. С. 48—68; DOI: 10.33048/SIBJIM.2020.23.404
     
  16. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.
     
  17. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 553–572; DOI: https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.307
     
  18. Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Задача об определении двумерного ядра в системе интегродифференциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23, № 2. С. 63–80; DOI: https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2020.23.205
     
  19. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation // Euras. J. Math. Comput. Appl. 2019. V. 7, N 2. P. 4–19; DOI: 10.32523/2306-6172-2019-7-2-4-19
     
  20. Durdiev U.D., Totieva Zh.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation // Math. Meth. Appl. Sci. 2019. V. 42, N 18. P. 7440–7451; DOI: 10.1002/mma.5863
     
  21. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential equation of rigid heat conductor // Math. Meth. Appl. Sci. 2022. V. 45, N 14. P. 8374–8388; DOI: 10.1002/mma.7133
     
  22. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. One-dimensional inverse problems of finding the kernel of integrodifferential heat equation in a bounded domain // Ukr. Math. J. 2022. V. 73, N 11. P. 1723–1740; DOI: 10.1007/s11253-022-02026-0
     
  23. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. математики. 2001. Т. 4, № 3. С. 259–268.
     
  24. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20, № 4. С. 35–43; DOI: https://doi.org/10.17377/sibjim.2017.20.405
     
  25. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. C. 179–189; DOI: 10.33048/semi.2020.17.013
     
  26. Megraliev Ya.T., Azizbayov E.I. A time-nonlocal inverse problem for a hyperbolic equation with an integral overdetermination condition // Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2021. N 28. P. 1–12; https://doi.org/10.14232/ejqtde.2021.1.28
     
  27. Pachpette B. Integral and Finite Difference Inequalities and Applications. Elsevier, 2006 (North-Holland Mathematics Studies).
     
  28. Худавердиев К.И., Велиев А. А. Исследование одномерной смешанной задачи для одного класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью. Баку: Чашыоглы, 2010.
     
  29. Tekin I., Mehraliyev Y. T., Ismailov M. I. Existence and uniqueness of an inverse problem for nonlinear Klein—Gordon equation // Math. Meth. Appl. Sci. 2019. V. 42, N 10. P. 3739–3753; https://doi.org/10.1002/mma.5609

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (соглашение 075-02-2022-890).

У. Д. Дурдиев
  1. Бухарский государственный университет, 
    ул. М. Икбол, 11, г. Бухара 200117, Узбекистан
  2. Бухарское отделение института математики им. В. И. Романовского, 
    ул. М. Икбол, 11, г. Бухара 200117, Узбекистан

E-mail: umidjan93@mail.ru, bu.d.durdiev@buxdu.uz

З. Р. Бозоров
  1. Бухарское отделение института математики им. В. И. Романовского, 
    ул. М. Икбол, 11, г. Бухара 200117, Узбекистан

E-mail: zavqiddinbozorov2011@mail.ru

Статья поступила 22.10.2022 г.
После доработки — 01.11.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

The article is devoted to the study of the direct problem for the oscillation of a homogeneous beam of finite length with non-local time conditions. Necessary and sufficient conditions for the existence of a solution to the direct problem are obtained. For the direct problem, we study the inverse problem of determining the time-dependent coefficient at the lowest derivative. Using eigenvalues and eigenfunctions, the problem is reduced to a system of integral equations. With the help of the Banach principle, the existence and uniqueness of the solution of inverse problems are shown.

References:
  1. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics], Moscow: Nauka, 1966 (in Russian).
     
  2. Krylov A.N. Vibratsiya sudov [Vibration of ships], Moscow: ONTI, 2012 (in Russian).
     
  3. Gusev B.V., Saurin V.V. O kolebaniyakh neodnorodnykh balok [On vibrations of inhomogeneous beams]. Engrg. J. Don, 2017 (in Russian); http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4312
     
  4. Sabitov K.B. A remark on the theory of initial-boundary value problems for the equation of rods and beams. Differ. Equ., 2017, Vol. 53, No. 1, pp. 89–100; DOI: 10.1134/S0012266117010086
     
  5. Sabitov K.B. Initial–boundary value problems for the beam vibration equation with allowance for its rotational motion under bending. Differ. Equ., 2021, Vol. 57, No. 3, pp. 342–352; DOI: 10.1134/S0012266121030071
     
  6. Sabitov K.B., Fadeeva O.V. Nachal’no-granichnaya zadacha dlya uravneniya vynuzhdennykh kolebanii konsol’noi balki [Initial-boundary value problem for the equation of forced vibrations of a cantilever beam]. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ. Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, Vol. 25, No 1, pp. 51–66 (in Russian); DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845
     
  7. Baysal O., Hasanov A. Solvability of the clamped Euler—Bernoulli beam equation. Appl. Math. Lett., 2019, Vol. 93, pp. 85–90; https://doi.org/10.1016/j.aml.2019.02.006
     
  8. Durdiev U.D. Inverse problem of determining an unknown coefficient in the beam vibration equation. Differ. Equ., 2022, Vol. 58, No. 1, pp. 37–44; DOI: 10.1134/S0012266122010050
     
  9. Tan G., Shan J., Wu Ch., Wang W. Direct and inverse problems on free vibration of cracked multiple I-section beam with different boundary conditions. Adv. Mech. Engrg., 2017, Vol. 9, No. 11, pp. 1–17; DOI: 10.1177/1687814017737261
     
  10. Moaveni S., Hyde R. Reconstruction of the area-moment-of-inertia of a beam using a shifting load and the end-slope data. Inverse Probl. Sci. Engrg., 2016, Vol. 24, No. 6, pp. 990–1010; DOI: 10.1080/17415977.2015.1088539
     
  11. Chang J.D., Guo B.Z. Identification of variable spacial coefficients for a beam equation from boundary measurements. Automatica, 2007, Vol. 43, pp. 732–737; DOI: 10.1016/j.automatica.2006.11.002
     
  12. Huang Ch.H., Shih Ch.Ch. An inverse problem in estimating simultaneously the time-dependent applied force and moment of an Euler—Bernoulli beam. CMES, 2007, Vol. 21, No. 3, pp. 239–254.
     
  13. Maciag A., Pawinska A. Solution of the direct and inverse problems for beam. Comput. Appl. Math., 2016, Vol. 35, pp. 187–201; DOI 10.1007/s40314-014-0189-9
     
  14. Maciag A., Pawinska A. Solving direct and inverse problems of plate vibration by using the Trefftz functions. J. Theor. Appl. Mech., 2013, Vol. 51, No. 3, pp. 543–552.
     
  15. Karchevsky A.L. Analiticheskie resheniya differentsial’nogo uravneniya poperechnykh kolebanii kusochno-odnorodnoi balki v chastotnoi oblasti dlya kraevykh uslovii lyubogo vida [Analytical solutions to the differential equation of transverse vibrations of a piecewise homogeneous beam in the frequency domain for the boundary conditions of various types]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2020, Vol. 14, No. 4, pp. 648–665 (in Russian); https://doi.org/10.1134/S1990478920040043
     
  16. Romanov V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht: VNU Science Press, 1987.
     
  17. Durdiev D.K., Totieva Zh.D. The problem of determining the one-dimensional kernel of the electroviscoelasticity equation. Sib. Math. J., 2017, Vol. 58, No. 3, pp. 427–444; DOI: 10.1134/S0037446617030077
     
  18. Durdiev D.K., Rahmonov A.A. The problem of determining the 2D-kernel in a system of integrodifferential equations of a viscoelastic porous medium. J. Appl. Indust. Math., 2020, Vol. 14, No. 2, pp. 281–295; DOI: 10.1134/S1990478920020076
     
  19. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation. Euras. J. Math. Comput. Appl., 2019, Vol. 7, No. 2, pp. 4–19; DOI: 10.32523/2306-6172-2019-7-2-4-19 
     
  20. Durdiev U.D., Totieva Zh.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation. Math. Meth. Appl. Sci., 2019, Vol. 42, No. 18, pp. 7440–7451; DOI: 10.1002/mma.5863
     
  21. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential equation of rigid heat conductor. Math. Meth. Appl. Sci., 2022, Vol. 45, No. 14, pp. 8374–8388; DOI: 10.1002/mma.7133
     
  22. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. One-dimensional inverse problems of finding the kernel of integrodifferential heat equation in a bounded domain. Ukr. Math. J., 2022, Vol. 73, No. 11, pp. 1723–1740; DOI: 10.1007/s11253-022-02026-0
     
  23. Karchevskii A.L., Fat’yanov A.G. Chislennoe reshenie obratnoi zadachi dlya sistemy uprugosti s posledeistviem dlya vertikal’no neodnorodnoi sredy [Numerical solution of the inverse problem for an elasticity system with aftereffect for a vertically inhomogeneous medium]. Sib. Zhurn. Vychisl. Mat., 2001, Vol. 4, No. 3, pp. 259–268 (in Russian).
     
  24. Karchevsky A.L. Determination the possibility of a rock burst in a coal seam. J. Appl. Industr. Math., 2017, Vol. 11, No. 4, pp. 527–534; DOI: 10.1134/S199047891704010X
     
  25. Durdiev U.D. Chislennoe opredelenie zavisimosti dielektricheskoi pronitsaemosti sloistoi sredy ot vremennoi chastoty [Numerical method for determining the dependence of the dielectric permittivity on the frequency in the equation of electrodynamics with memory]. Sib. Elektron. Mat. Izv., 2020, Vol. 17, pp. 179–189 (in Russian); https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.013
     
  26. Megraliev Ya.T., Azizbayov E.I. A time-nonlocal inverse problem for a hyperbolic equation with an integral overdetermination condition. Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2021, No. 28, pp. 1–12; https://doi.org/10.14232/ejqtde.2021.1.28
     
  27. Pachpette B. Integral and Finite Difference Inequalities and Applications. Elsevier, 2006 (North-Holland Math. Studies).
     
  28. Khudaverdiev K.I., Veliyev A.A. Issledovanie odnomernoi smeshannoi zadachi dlya odnogo klassa psevdogiperbolicheskikh uravnenii tret’ego poryadka s nelineinoi operatornoi pravoi chast’yu. [Study of a one-dimensional mixed problem for a class of third-order pseudohyperbolic equations with a nonlinear operator right-hand side]. Baku: Chashyollu, 2010 (in Russian).
     
  29. Tekin I., Mehraliyev Y. T., Ismailov M. I. Existence and uniqueness of an inverse problem for nonlinear Klein—Gordon equation. Math. Meth. Appl. Sci., 2019, Vol. 42, No. 10, pp. 3739–3753; https://doi.org/10.1002/mma.5609