О графах и структурных формулах теории механизмов

О графах и структурных формулах теории механизмов

Ковалёв М. Д.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 3(95), 42–55 (2023)
Скачать статью

УДК 531.01:531.8 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.304

Аннотация:

Структурными формулами в теории механизмов называют формулы, выражающие число степеней свободы устройства через числа его звеньев и кинематических пар. Известно, что они не всегда справедливы. Разобраться в этом вопросе помогает математическая теория графов. Справедливость структурных формул в случае типичных устройств полностью определяется их строением, описываемым графами. В работе рассмотрено две модели плоских устройств с вращательными парами. Первая модель — устройства, составленные из прямолинейных стержней (рычагов), несущих на концах шарниры. Таким устройствам естественно сопоставляется граф $G$ с вершинами, отвечающими шарнирам, и рёбрами, отвечающими рычагам. В теории механизмов принято рассматривать другой граф $\mathcal{G}$, вершины которого отвечают звеньям, а рёбра — кинематическим парам. Оказывается, использование графа $G$ для описания структуры как в первой модели, так и во второй, содержащей все плоские устройства с вращательными парами, предпочтительнее графа $\mathcal{G}$. В частности, оно позволяет дать критерий применимости структурных формул для типичных устройств заданного строения.

Литература:
  1. Дворников Л. Т. Опыт структурного синтеза механизмов // Теория механизмов и машин. 2004. Т. 2, № 4. С. 3–17.
     
  2. Дворников Л. Т. В доказательство состоятельности опыта структурного синтеза механизмов // Теория механизмов и машин. 2006. Т. 4, № 1. С. 44–48.
     
  3. Пейсах Э. Е. К дискуссии по проблеме структурного синтеза плоских шарнирных механизмов // Теория механизмов и машин. 2006. Т. 4, № 1. С. 49–54.
     
  4. Дворников Л. Т. О принципиальных некорректностях в исследованиях проф. Пожбелко В. И. по структуре механизмов // Теория механизмов и машин. 2016. Т. 14, № 3 (31). С. 145–166.
     
  5. Пожбелко В. И., Куц Е. Н. Целочисленный структурный синтез многоконтурных рычажных механизмов со сложными шарнирами для разных областей машиностроения // Изв. вузов. Машиностроение. 2021. № 6. С. 23–36; DOI: 10.18698/0536-1044-2021-6-23-36
     
  6. Пейсах Э. Е. О группах Ассура, фермах Баранова, цепях Грюблера, плоских шарнирных механизмах и об их структурном синтезе // Электрон. журн. Наука и образование. МГТУ. 2007. № 4. С. 2–7.
     
  7. Дворников Л. Т. Теория структуры механических систем и практика её использования при синтезе сложных машин, включая горные и металлургические. Новокузнецк: Изд. центр СибГИУ, 2015.
     
  8. Пейсах Э. Е., Нестеров В. А. Системы проектирования плоских рычажных механизмов. М.: Машиностроение, 1988.
     
  9. Davies T. H. An extension of Manolescu’s classification of planar kinematic chains and mechanisms of mobility $M \ge 1$, using graph theory // J. Mechanisms. 1968. V. 3. P. 87–100.
     
  10. Диденко Е. В. Разработка и анализ плоских многоконтурных механизмов на основе теории графов: Дисс. ... канд. техн. наук. Москва, 2019.
     
  11. Ковалёв М. Д. Геометрическая теория шарнирных устройств // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58, № 1. С. 45–70.
     
  12. Ковалёв М. Д. Вопросы геометрии шарнирных устройств и схем // Вестн. МГТУ. Сер. Машиностроение 2001. № 4. С. 33–51.
     
  13. Ковалёв М. Д. Геометрические вопросы кинематики и статики. М.: Ленанд, 2019.
     
  14. Ковалёв М. Д. Что такое шарнирный механизм? И что же доказал Кемпе? // Современная математика и её приложения. М.: ВИНИТИ, 2020. Т. 179. С. 16–28 (Итоги науки и техники).
     
  15. Tay T. S. Rigidity of multi-graphs $I$, linking rigid bodies in $n$-space // J. Combin. Theory. Ser. B. 1984. V. 36. P. 95–112.
     
  16. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
     
  17. Benedetti R., Risler J. Real Algebraic and Semi-Algebraic Sets. Paris: Hermann, 1990.
     
  18. Ковалёв М. Д. Конфигурационные пространства шарнирных механизмов и их проекции // Мат. сб. 2022. Т. 213, № 4. С.74–99.
     
  19. Graver J., Servatius B., Servatius H. Combinatorial Rigidity. Providence: Amer. Math. Soc., 1993.
     
  20. Чебышёв П. Л. О параллелограмах // Тр. Второго съезда русских естествоиспытателей. Отдел технологии и практической механики. 1870. С. 9–30.
     
  21. Левитский Н. И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1990.
     
  22. Pollaczek-Geiringer H. Über die Gliederung ebener Fuchwerke // Z. Angew. Math. Mech. 1927. V. 7, N 1. Р. 58–72.
     
  23. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures // J. Engrg. Math. 1970. V. 4. P. 331–340.
     
  24. Tay T. S. Rigidity of multi-graphs. $I$: Linking rigid bodies in $n$-space // J. Combin. Theory. Ser. B. 1984. V. 36, N 1. P. 95–112.
     
  25. Handbook of Geometric Constraint Systems Principles. Taylor and Francis Group, 2019.
     
  26. Tay T. S. Linking $(n − 2)$-dimensional panels in $n$-space II: $(n − 2; 2)$-frameworks and body and hinge structures // Graphs Combin. 1989. V. 5, N 1. P. 245–273.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

М. Д. Ковалёв
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 
    Ленинские горы, 1, г. Москва 119991, Россия

E-mail: kovalev.math@mtu-net.ru

Статья поступила 06.09.2022 г.
После доработки — 06.09.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

Structural formulas in the theory of mechanisms are called formulas expressing the number of degrees of freedom of the device through the numbers of its links and kinematic pairs. It is known that they are not always fair. Mathematical graph theory helps to understand this phenomenon. The validity of structural formulas in the case of generic frameworks is completely determined by their structure, described by graphs. The paper considers two models of planar frameworks with rotational pairs. The first model is a construction made up of straight rods (levers) bearing hinges at the ends. Such devices are naturally associated with a graph $G$ with vertices corresponding to hinges and edges corresponding to levers. In the theory of mechanisms, it is customary to consider another graph $\mathcal{G}$, whose vertices correspond to links, and the edges correspond to kinematic pairs. It turns out that the use of the graph $G$ to describe the structure both in the first model and in the second one, which contains all planar constructions with rotational pairs, is preferable to the graph $\mathcal{G}$. In particular, it allows to give a criterion for the applicability of structural formulas for generic constructions of a given structure.

References:
  1. Dvornikov L. T. Opyt strukturnogo sinteza mekhanizmov [Experience of structural synthesis of mechanisms]. Teoriya Mekhanizmov i Mashin, 2004, Vol. 2, No. 4, pp. 3–17 (in Russian).
     
  2. Dvornikov L. T. V dokazatel’stvo sostoyatel’nosti opyta strukturnogo sinteza mekhanizmov [To prove the validity of the experience of structural synthesis of mechanisms]. Teoriya Mekhanizmov i Mashin, 2006, Vol. 4, No. 1, pp. 44–48 (in Russian).
     
  3. Peisakh E. E. K diskussii po probleme strukturnogo sinteza ploskikh sharnirnykh mekhanizmov [To the discussion on the problem of structural synthesis of plane hinge mechanisms]. Teoriya Mekhanizmov i Mashin, 2006, Vol. 4, No. 1, pp. 49–54 (in Russian).
     
  4. Dvornikov L. T. O printsipial’nykh nekorrektnostyakh v issledovaniyakh prof. Pozhbelko V. I. po strukture mekhanizmov [About fundamental inaccuracies in the research of Prof. Pozhbelko V. I. on the structure of mechanisms]. Teoriya Mekhanizmov i Mashin, 2016, Vol. 14, No. 3(31), pp. 145–166 (in Russian).
     
  5. Pozhbelko V. I., Kuts E. N. Tselochislennyi strukturnyi sintez mnogokonturnykh rychazhnykh mekhanizmov so slozhnymi sharnirami dlya raznykh oblastei mashinostroeniya [Integer structural synthesis of multi-contour lever mechanisms with complex hinges for various fields of mechanical engineering]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mashinostroenie, 2021, No. 6, pp. 23–36 (in Russian); DOI: 10.18698/0536-1044-2021-6-23-36
     
  6. Peisakh E. E. O gruppakh Assura, fermakh Baranova, tsepyakh Gryublera, ploskikh sharnirnykh mekhanizmakh i ob ikh strukturnom sinteze [About Assur groups, Baranov trusses, Grubler chains, plain hinge mechanisms and their structural synthesis]. Elektron. Zhurn. «Nauka i Obrazovanie», MGTU, 2007, No. 4 (in Russian).
     
  7. Dvornikov L. T. Nauchnye shkoly SibGIU. Teoriya struktury mekhanicheskikh sistem i praktika ee ispol’zovaniya pri sinteze slozhnykh mashin, vklyuchaya gornye metallurgicheskie [SibGIU scientific schools. Theory of the structure of mechanical systems and the practice of its use in the synthesis of complex machines, including mining and metallurgical], Novokuznetsk: Izd. Tsentr SibGIU, 2015 (in Russian).
     
  8. Peisakh E. E., Nesterov V. A. Sistemy proektirovaniya ploskikh rychazhnykh mekhanizmov [Design systems for plain lever mechanisms]. Moscow: Mashinostroenie. 1988 (in Russian).
     
  9. Davies T. H. An extension of Manolescu’s classification of planar kinematic chains and mechanisms of mobility $M \ge 1$, using graph theory. J. Mechanisms, 1968, Vol. 3, pp. 87–100.
     
  10. Didenko E. V. Razrabotka i analiz ploskikh mnogokonturnykh mekhanizmov na osnove teorii grafov. [Development and analysis of planar multi-contour mechanisms based on graph theory]. Diss. ... kand. tekhn. nauk, Moscow, 2019 (in Russian).
     
  11. Kovalev M. D. Geometric theory of hinged devices. Russian Acad. Sci. Izv. Math., 1995, Vol. 44, No. 1, pp. 43–68. 
     
  12. Kovalev M. D. Voprosy geometrii sharnirnykh ustroistv i skhem [Questions of geometry of hinge devices and schemes]. Vestn. MGTU. Ser. Mashinostroenie, 2001, No. 4, pp. 33–51 (in Russian).
     
  13. Kovalev M. D. Geometricheskie voprosy kinematiki i statiki [Geometric questions of kinematics and statics]. Moscow: Lenand, 2019 (in Russian).
     
  14. Kovalev M. D. Chto takoe sharnirnyi mekhanizm? I chto zhe dokazal Kempe? [What is a hinge mechanism? And what did Kempe prove?]. Itogi Nauki i Tekh. Ser. Sovremen. Mat. i Ee Prilozh. Temat. Obzory, Moscow: VINITI RAN, 2020, Vol. 179, pp. 16–28 (in Russian).
     
  15. Tay T. S. Rigidity of multi-graphs $I$, linking rigid bodies in $n$-space. J. Comb. Theory, 1984, Vol. 36, pp. 95–112.
     
  16. Harary F. Graph Theory. MA: Addison-Wesley Pabl., 1969.
     
  17. Benedetti R., Risler J. Real Algebraic and Semi-Algebraic Sets. Paris: Hermann, 1990.
     
  18. Kovalev M. D. Konfiguratsionnye prostranstva sharnirnykh mekhanizmov i ikh proektsii [Configuration spaces of hinged mechanisms, and their projections], Mat. Sbornik, 2022, Vol. 213, No. 4, pp. 74–99 (in Russian).
     
  19. Graver J., Servatius B., Servatius H. Combinatorial Rigidity. Providence: AMS, 1993.
     
  20. Chebyshev P. L. O parallelogramakh [On parallelograms]. Trudy Vtorogo S"ezda Rus. Estestvoispytatelei. Otdel Tekh. Prakt. Mekh., 1870, pp. 9–30 (in Russian).
     
  21. Levitskii N. I. Teoriya mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. Moscow: Nauka, 1990 (in Russian).
     
  22. Pollaczek-Geiringer H. Über die Gliederung ebener Fuchwerke. Z. Angew. Math. Mech., 1927, Vol.7, No. 1, pp. 58–72.
     
  23. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures. J. Engrg. Math., 1970, Vol. 4, pp. 331–340.
     
  24. Tay T. S. Rigidity of multi-graphs. $I$: Linking rigid bodies in $n$-space. J. Combinat. Theory Ser. B, 1984, Vol. 36, No. 1, pp. 95–112.
     
  25. Handbook of Geometric Constraint Systems Principles. Taylor and Francis Group, 2019.
     
  26. Tay T. S. Linking $(n − 2)$-dimensional panels in $n$-space II: $(n − 2; 2)$-frameworks and body and hinge structures. Graphs Combin., 1989, Vol. 5, No. 1, pp. 245–273.