О времени первого достижения уровня для процесса возрастания-убывания

О времени первого достижения уровня для процесса возрастания-убывания

Лотов В. И.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 3(95), 86-94 (2023)
Скачать статью

УДК 519.21 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.307

Аннотация:

Рассматривается случайный процесс, траектории которого характеризуются поочерёдным линейным ростом и линейным убыванием на промежутках времени случайной длины, при этом между ростом и убыванием процесс может также сохранять неизменным своё значение в течение случайных промежутков времени. Этот процесс может служить математической моделью накопления и расходования материалов, когда сочетаются случайные промежутки времени для накопления, расходования и перерывов в функционировании. Изучается среднее значение $\mathbf{E}N$ времени первого достижения фиксированного уровня траекториями этого процесса, включая нахождение точных формул для $\mathbf{E}N$, оценку сверху в виде неравенства и асимптотику $\mathbf{E}N$ в условиях неограниченно удаляющегося уровня.

Литература:
  1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972. 
     
  2. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 2021.
     
  3. Лотов В. И. Об одном подходе в двуграничных задачах // Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука, 1989. С. 117–121.
     
  4. Лотов В. И. О точных формулах в некоторых граничных задачах для целочисленных случайных блужданий // Изв. РАН. Сер. мат. 2023. Т. 87, № 1. С. 49–64.
     
  5. Lorden G. On the excess over the boundary // Ann. Math. Stat. 1970. V. 41. P. 520–527.
     
  6. Gut A. Stopped Random Walks. Limit Theorems and Applications. N. Y.: Springer-Verl., 1988.
     
  7. Нагаев А. В. Об одном способе вычисления моментов лестничной высоты // Теория вероятн. и её примен. 1985. Т. 30, вып. 3. С. 535–538.
     
  8. Нагаев С. В. Точные выражения для моментов лестничных высот // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 4. С. 848–870.

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН (проект FWNF-2022-0010).

В. И. Лотов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: lotov@math.nsc.ru

Статья поступила 21.02.2023 г. 
После доработки — 01.03.2023 г.
Принята к публикации 27.04.2023 г.

Abstract:

We consider a stochastic process whose trajectories are characterized by alternate linear growth and linear decrease during time intervals of random length; the process can also keep its value during random intervals of time between growth and decrease. This process can be considered as a mathematical model of accumulation and consumption of materials, when random periods of time are combined for accumulation, spending and interruptions in operation. We study mean value $\mathbf{E}N$ of the first achievement time a fixed level for trajectories of this process, including finding exact formulas for $\mathbf{E}N$, estimating from above with an inequality and obtaining the asymptotics of $\mathbf{E}N$ under an infinitely receding level.

References:
  1. Borovkov A. A. Stochastic Processes in Queueing Theory. London: Springer Verl., 1976.
     
  2. Borovkov A. A. Probability Theory. London: Springer Verl., 2013.
     
  3. Lotov V. I. Ob odnom podkhode v dvugranichnykh zadachakh [An approach to problems with two boundaries]. Statistics and control of random processes [Statistika i upravlenie sluchainymi protsessami], Moscow: Nauka, 1989, pp. 117–121 (in Russian).
     
  4. Lotov V. I. O tochnykh formulakh v nekotorykh granichnykh zadachakh dlya tselochislennykh sluchainykh bluzhdanii [Exact formulas in some boundary crossing problems for integer-valued random walks]. Izv. RAN. Ser. Mat., 2023, Vol. 87, No. 1, pp. 49–64.
     
  5. Lorden G. On the excess over the boundary. Ann. Math. Stat., 1970, Vol. 41, pp. 520–527.
     
  6. Gut A. Stopped Random Walks. Limit Theorems and Applications. N. Y.: Springer Verl., 1988.
     
  7. Nagaev A. V. Ob odnom sposobe vychisleniya momentov lestnichnoi vysoty [On a method of computing the moments of a ladder variables]. Theory Probab. Appl., 1986, Vol. 30, No. 3, pp. 569–572.
     
  8. Nagaev S. V. Tochnye vyrazheniya dlya momentov lestnichnykh vysot [Exact expressions for the moments of ladder heights]. Sib. Math. J., 2010, Vol. 51, No. 4, pp. 675–695.