Уравнение для вихря в вязкой гидродинамике в канале сложной геометрии

Уравнение для вихря в вязкой гидродинамике в канале сложной геометрии

Васюткин С. А., Чупахин А. П.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 5–15 (2023)
Скачать статью

УДК 532.5 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.401

Аннотация:

Рассматриваются уравнения Навье—Стокса для плоского установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в ортогональной системе координат, в которой линии тока жидкости совпадают с координатными линиями одного из семейств ортогональной системы координат. В этой системе координат вектор скорости имеет только касательную компоненту и система трёх уравнений Навье—Стокса является переопределённой системой для двух функций — касательной компоненты скорости и давления. В работе система приведена в инволюцию, получены условия совместности, которые являются уравнениями для вихря скорости в этой системе координат. В коэффициенты этих уравнений входят кривизны координатных линий и производные от них до второго порядка. Полученные уравнения существенно сложнее уравнений для вихря в канале простой геометрии.

Литература:
  1. Milne-Thomson L. N. Theoretical Hydrodynamics. London: The Macmillan And Company, 1962.
     
  2. Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. Heidelberg: Springer, 2003.
     
  3. Kochin N. E.,Kibel I. A., Roze N. V. Theoretical Hydromechanics. N. Y.: Interscience Publishers, 1964.
     
  4. Shikhmurzaev Y., Sisoev G. Spiralling liquid jets: Verifiable mathematical framework, trajectories and peristaltic waves // J. Fluid Mech. 2017. V. 819. P. 352–400.
     
  5. Chan C. H., Czubak M., Disconzi M. M. The formulation of the Navier—Stokes equations on Riemannian manifolds // J. Geom. Phys. 2017. V. 121. P. 335–346.
     
  6. Marusic-Paloka E. The effects of flexion and torsion on a fluid flow through a curved pipe // Appl. Math. Optim. 2001. V. 44, N 3. P. 245–272.
     
  7. Chen G. Q., Osborne D., Qian Z. The Navier—Stokes equations with the kinematic and vorticity boundary conditions on non-flat boundaries // Acta Math. Sci. 2009. V. 29, N 4. P. 919–948.
     
  8. Коробков М. В., Пилецкас К., Пухначёв В. В., Руссо Р. Задача протекания для уравнений Навье— Стокса // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69, № 6. С. 115–176.
     
  9. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье—Стокса. Новосибирск: НГУ, 2022.
     
  10. Абрашкин А. А., Якубович Е. И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. М.: Физматлит, 2006.
     
  11. Pommaret J. F. Differential Galois Theory. Mathematics and Its Applications: a Series of Monographs and Texts, V. 15. London: Gordon and Breach, Science Publishers, 1983.
     
  12. Паршин Д. В., Гайфутдинов Р. А., Коптюг А. В., Чупахин А. П. Механика скольжения лыж по снегу: современное состояние дел и перспективы // Прикл. механика и техн. физика. 2023. Т. 64, № 4. С. 161–177.
     
  13. Агеев А. И.,Осипцов А. Н. Макро- и микрогидродинамика вязкой жидкости вблизи супергидрофобной поверхности // Коллоидный журн. 2022. T. 84, № 4. С. 380–395.
     
  14. Plotnikov P. I., Sokolowski J. Geometric Aspects of Shape Optimization // J. Geom. Anal. 2023. V. 33. Article 206.
     
  15. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of differential geometry. N. Y.: Interscience Publishers, 1963.
     
  16. Dall’Acqua A., Pozzi P. A Willmore—Helfrich $L^2$-flow of curves with natural boundary conditions // Comm. Anal. Geom. 2014. V. 22, N 4. P. 617–669; DOI: 10.4310/cag.2014.v22.n4.a2
     
  17. Dziuk G., Kuwert E., Schatzle R. Evolution of elastic curves in $\mathbb {R}^n$: Existence and computation // SIAM J. Math. Anal. 2002. V. 33, N 5. P. 1228–1245; DOI: 10.1137/s0036141001383709
     
  18. Lin C. C. $L^2$-flow of elastic curves with clamped boundary conditions // J. Differ. Equ. 2012. V. 252, N 12. P. 6414–6428; DOI: 10.1016/j.jde.2012.03.010
     
  19. Plotnikov P. I., Sokolowski J. Gradient flow for Kohn-Vogelius functional // Siberian Electron. Math. Rep. 2023. V. 20, N 1. P. 524–579.
     
  20. Malkin A. Ya., Patlazhan S. A., Kulichikhin V. G. Physicochemical phenomena leading to slip of a fluid along a solid surface // Usp. Khim. 2019. V. 88, N 3. P. 319–349.
     
  21. Bazant M. Z., Vinogradova O. I. Tensorial Hydrodynamic Slip // J. Fluid Mech. 2008. V. 613. P. 125–134.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-29-01567).

С. А. Васюткин
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: s.vasyutkin@g.nsu.ru

А. П. Чупахин
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: alexander190513@gmail.com

Статья поступила 21.04.2023 г.
После доработки — 13.08.2023 г.
Принята к публикации 01.11.2023 г.

Abstract:

We consider the Navier—Stokes equations for the plane steady motion of a viscous incompressible fluid in an orthogonal coordinate system in which the fluid streamlines coincide with the coordinate lines of one of the families of the orthogonal coordinate system. In this coordinate system, the velocity vector has only the tangential component and the system of three Navier—Stokes equations is an overdetermined system for two functions — the tangential component of velocity and pressure. In the present paper, the system is brought to involution, and the consistency conditions are obtained, which are the equations for the curl of the velocity in this coordinate system. The coefficients of these equations include the curvatures of the coordinate lines and their derivatives up to the second order. The equations obtained are significantly more complicated than the curl equations in a channel of simple geometry.

References:
  1. L. N. Milne-Thomson, Theoretical Hydrodynamics (Macmillan, London, 1962).
     
  2. H. Schlichting and K. Gersten, Boundary-Layer Theory (Springer, Heidelberg, 2003).
     
  3. N. E. Kochin, I. A. Kibel, and N. V. Roze, Theoretical Hydromechanics (Interscience, New York, 1964).
     
  4. Y. Shikhmurzaev and G. Sisoev, “Spiralling liquid jets: Verifiable mathematical framework, trajectories and peristaltic waves,” J. Fluid Mech. 819, 352–400 (2017).
     
  5. C. H. Chan, M. Czubak, and M. M. Disconzi, “The formulation of the Navier—Stokes equations on Riemannian manifolds,” J. Geom. Phys. 121, 335–346 (2017).
     
  6. E. Marusic-Paloka, “The effects of flexion and torsion on a fluid flow through a curved pipe,” Appl. Math. Optim. 44 (3), 245–272 (2001).
     
  7. G. Q. Chen, D. Osborne, and Z. Qian, “The Navier–Stokes equations with the kinematic and vorticity boundary conditions on non-flat boundaries,” Acta Math. Sci. 29 (4), 919–948 (2009).
     
  8. M. V. Korobkov, K. Pileckas, V. V. Pukhnachov, and R. Russo, “The flux problem for the Navier—Stokes equations,” Russ. Math. Surv. 69 (6), 1065–1122 (2014).
     
  9. V. V. Pukhnachov, Symmetries in the Navier—Stokes Equations (Novosibirsk. Gos. Univ., Novosibirsk, 2022) [in Russian].
     
  10. A. A. Abrashkin and E. I. Yakubovich, Vortex Dynamics in the Lagrangian Description (Fizmatlit, Moscow, 2006) [in Russian].
     
  11. J. F. Pommaret, Differential Galois Theory. Mathematics and Its Applications: A Series of Monographs and Texts. Vol. 15 (Gordon and Breach, London, 1983).
     
  12. D. V. Parshin, R. A. Gaifutdinov, A. V. Koptyug, and A. P. Chupakhin, “Mechanics of ski sliding on snow: Current status and prospects,” J. Appl. Mech. Tech. Phys. 64 (4), 693–706 (2023).
     
  13. A. I. Ageev and A. N. Osiptsov, “Macro- and microhydrodynamics of a viscous fluid on a superhydrophobic surface,” Colloid J. 84, 379–393 (2022).
     
  14. P. I. Plotnikov and J. Sokolowski, “Geometric aspects of shape optimization,” J. Geom. Anal. 33, 206 (2023).
     
  15. S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry (Interscience, New York, 1963).
     
  16. A. Dall’Acqua and P. Pozzi, “A Willmore—Helfrich $L^2$ -flow of curves with natural boundary conditions,” Commun. Anal. Geom. 22 (4), 617–669 (2014). https://doi.org/10.4310/cag.2014.v22.n4.a2
     
  17. G. Dziuk, E. Kuwert, and R. Schatzle, “Evolution of elastic curves in $\mathbb {R}^n$: Existence and computation,” SIAM J. Math. Anal. 33 (5), 1228–1245 (2002). https://doi.org/10.1137/s0036141001383709
     
  18. C. C. Lin, “$L^2$-flow of elastic curves with clamped boundary conditions,” J. Differ. Equ. 252 (12), 6414–6428 (2012). https://doi.org/10.1016/j.jde.2012.03.010
     
  19. P. I. Plotnikov and J. Sokolowski, “Gradient flow for Kohn—Vogelius functional,” Sib. Electron. Math. Rep. 20 (1), 524–579 (2023).
     
  20. A. Ya. Malkin, S. A. Patlazhan, and V. G. Kulichikhin, “Physicochemical phenomena leading to slip of a fluid along a solid surface,” Usp. Khim. 88 (3), 319–349 (2019).
     
  21. M. Z. Bazant and O. I. Vinogradova, “Tensorial hydrodynamic slip,” J. Fluid Mech. 613, 125–134 (2008).