Дифференциальные уравнения с малым параметром и многопиковые автоколебания

Дифференциальные уравнения с малым параметром и многопиковые автоколебания

Чумаков Г. А., Чумакова Н. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 1(97), 87–107 (2024)
Скачать статью

УДК 517.928.4:517.929.5 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.107

Аннотация:

Работа посвящена изучению нелинейной динамической системы, состоящей из автономных обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя быстрыми переменными $x$ и $y$, и одной медленной $z$. Уравнение для переменной $z$ содержит малый параметр $\mu$, причём при $\mu = 0$ система быстрых движений входит в однопараметрическое семейство двумерных подсистем с параметром $z$. Предполагается, что у каждой подсистемы существует грубое периодическое решение $l_z$. Кроме того, в полной системе существует грубое периодическое решение $L$, которое при стремлении $\mu$ к нулю стремится к периодическому решению $l_{z_0}$ при некотором $z = z_0$. В данной работе на трансверсальной площадке к $L$ в плоскости $(y, z)$ построено двумерное точечное отображение Пуанкаре, для которого доказана теорема существования инвариантного многообразия для стационарной точки, соответствующей периодическому решению $L$. Это периодическое решение имеет инвариантное многообразие на гарантированном интервале по переменной $y$ и этот интервал отделён от нуля при стремлении $\mu$ к нулю. Доказанная теорема позволяет сформулировать достаточные условия существования и отсутствия многопиковых автоколебаний в рассмотренной динамической системе. В качестве примера приложения полученных результатов в работе рассмотрена кинетическая модель каталитической реакции окисления водорода на никеле.

Литература:
  1. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.
     
  2. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.
     
  3. Ertl G. Oscillatory Catalytic Reactions at Single-Crystal Surfaces // Adv. Catal. 1990. V. 37. P. 213–277.
     
  4. Schüth F., Henry B. E., Schmidt L. D. Oscillatory Reactions in Heterogeneous Catalysis // Adv. Catal. 1993. V. 39. P. 51–127.
     
  5. Imbihl R. Oscillatory Reactions on Single-Crystal Surfaces // Prog. Surf. Sci. 1993. V. 44. P. 185–343.
     
  6. Imbihl R., Ertl G. Oscillatory Kinetics in Heterogenious Catalysis // Chem. Rev. 1995. V. 95, N 3. P. 697-733; DOI: 10.1021/cr00035a012
     
  7. Slinko M. M., Jaeger N. I. Oscillating Heterogenious Catalytic Systems. Amsterdam: Elsevier, 1994.
     
  8. Беляев В. Д., Слинько М. М., Слинько М. Г., Тимошенко В. И. Автоколебания в гетерогенной каталитической реакции водорода с кислородом // Доклады АН СССР. 1974. Т. 214, № 5. С. 1098– 1100.
     
  9. Слинько М. Г. Динамика химических процессов и реакторов // Химич. пром. 1979. № 11. С. 260– 268.
     
  10. Куркина Е. С., Песков Н. В., Слинько М. М., Слинько М. Г. О природе хаотических колебаний скорости реакции окисления CO на Pd-цеолитном катализаторе // Доклады РАН. 1996. Т. 351, № 4. С. 497–501.
     
  11. Lashina E. A., Kaichev V. V., Chumakova N. A., Ustyugov V. V., Chumakov G. A., Bukhtiyarov V. I. Mathematical Simulation of Self-Oscillations in Methane Oxidation on Nickel: An Isothermal Model // Kinet. Catal. 2012. V. 53. P. 374-383; DOI: 10.1134/S0023158412030081
     
  12. Lashina E. A., Kaichev V. V., Saraev A. A., Vinokurov Z. S., Chumakova N. A., Chumakov G. A., Bukhtiyarov V. I. Experimental Study and Mathematical Modeling of Self-Sustained Kinetic Oscillations in Catalytic Oxidation of Methane over Nickel // J. Phys. Chem. A. 2017. V. 121. P. 6874–6886; DOI: 10.1021/acs.jpca.7b04525
     
  13. Lashina E. A., Kaichev V. V., Saraev A. A., Chumakova N. A., Chumakov G. A., Bukhtiyarov V. I. Self-Sustained Oscillations in Oxidation of Propane over Nickel: Experimental Study and Mathematical Modelling // Top. Catal. 2020, V. 63, N 1–2. P. 33–48; DOI: 10.1007/s11244-019-01219-5
     
  14. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
     
  15. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
     
  16. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.: Мир. 1980.
     
  17. Robinson C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Boca Raton: CRC Press, 1995.
     
  18. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. Москва—Ижевск: ИКИ, 2004.
     
  19. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва—Ижевск: ИКИ, 2009.
     
  20. Abbondandolo A., Asselle L., Benedetti G., Mazzucchelli M., Taimanov I. A. The Multiplicity Problem for Periodic Orbits of Magnetic Flows on the 2-Sphere // Adv. Nonlinear Stud. 2017. V. 17, N 1. P. 17–30; DIO: 10.1515/ans-2016-6003
     
  21. Звонкин А. К., Шубин М. А. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, № 2. С. 77–127.
     
  22. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
     
  23. Solari H. G., Natiello M. A., Mindlin G. B. Nonlinear Dynamics: A Two-way Trip from Physics to Math. London—Bristol—Philadelphia: Institute of Physics, 1996.
     
  24. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. N. Y.: Springer, 1998.
     
  25. Гукенхаймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва—Ижевск: ИКИ, 2002.
     
  26. Чумаков Г. А., Слинько М. Г., Беляев В. Д. Сложные изменения скорости гетерогенных каталитических реакций // Доклады АН СССР. 1980. Т. 253, № 3. С. 653–658.
     
  27. Чумаков Г. А., Слинько М. Г. Кинетическая турбулентность (хаос) скорости реакции взаимодействия водорода с кислородом на металлических катализаторах // Доклады АН СССР. 1982. Т. 266, № 5. С. 1194–1198.
     
  28. Chumakov G. A., Chumakova N. A. Relaxation Oscillations in a Kinetic Model of Catalytic Hydrogen Oxidation Involving a Chase on Canards // Chem. Eng. J. 2003. V. 91. P. 151–158; DOI: 10.1016/S1385-8947(02)00148-1 
     
  29. Чумаков Г. А. Математические вопросы моделирования автоколебаний скорости гетерогенной каталитической реакции. I // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 5. С. 1179–1189.
     
  30. Чумаков Г. А. Динамика нелинейной системы дифференциальных уравнений // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 1180–1195.
     
  31. Chumakov G. A., Chumakova N. A., Lashina E. A. Modeling the Complex Dynamics of Heterogeneous Catalytic Reactions with Fast, Intermediate, and Slow Variables // Chem. Eng. J. 2015. V. 282. P. 11–19; DOI: 10.1016/j.cej.2015.03.017
     
  32. Чумаков Г. А., Чумакова Н. А. О локализации неустойчивого решения одной системы трёх нелинейных обыкновенных диференциальных уравнений с малым параметром // Сиб. журн. индустр. матем. 2022. Т. 25, № 4. С. 221–238; DOI: 10.33048/SIBJIM.2022.25.417
     
  33. Быков В. И., Цыбенова С. Б. Реализация метода продолжения по параметру для системы двух уравнений // Вычисл. технол. 2002. Т. 7, № 5. С. 21–28.
     
  34. Понтрягин Л. С., Родыгин Л. В. Периодическое решение одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Доклады АН СССР. 1960. Т. 132, № 3. С. 537–540.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках государственных заданий Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0005) и Института катализа им. Г. К. Борескова СО РАН (проект FWUR-2024-0037). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Г. А. Чумаков
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: chumakov@math.nsc.ru

Н. А. Чумакова
  1. Институт катализа им. Г. К. Борескова СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 5, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: chum@catalysis.ru

Статья поступила 25.09.2023 г.
После доработки — 21.01.2024 г.
Принята к публикации 07.02.2024 г.

Abstract:

In this paper, we study a nonlinear dynamical system of autonomous ordinary differential equations with a small parameter $\mu$ such that two variables $x$ and $y$ are fast and another one $z$ is slow. If we take the limit as $\mu \to 0$, then this becomes a “degenerate system” included in the one-parameter family of two-dimensional subsystems of fast motions with the parameter $z$ in some interval. It is assumed that in each subsystem there exists a structurally stable limit cycle $l_z$. In addition, in the complete dynamical system there is some structurally stable periodic orbit L that tends to a limit cycle $l_{z_0}$ for some $z = z_0$ as $\mu$ tends to zero. We can define the first return map, or the Poincaré map, on a local cross section in the hyperplane $(y, z)$ orthogonal to $L$ at some point. We prove that the Poincaré map has an invariant manifold for the fixed point corresponding to the periodic orbit $L$ on a guaranteed interval over the variable y, and the interval length is separated from zero as $\mu$ tends to zero. The proved theorem allows one to formulate some sufficient conditions for the existence and/or absence of multipeak oscillations in the complete dynamical system. As an example of application of the obtained results, we consider some kinetic model of the catalytic reaction of hydrogen oxidation on nickel.

References:
  1. A. M. Zhabotinskii, Concentration Self-Oscillations (Nauka, Moscow, 1974) [in Russian].
     
  2. D. Gurel and O. Gurel, Oscillations in Chemical Reactions (Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York—Tokyo, 1983; Mir, Moscow, 1986).
     
  3. G. Ertl, “Oscillatory catalytic reactions at single-crystal surfaces,” Adv. Catal. 37, 213–277 (1990).
     
  4. F. Schüth, B. E. Henry, and L. D. Schmidt, “Oscillatory reactions in heterogeneous catalysis,” Adv. Catal. 39, 51–127 (1993).
     
  5. R. Imbihl, “Oscillatory reactions on single-crystal surfaces,” Prog. Surf. Sci. 44, 185–343 (1993).
     
  6. R. Imbihl and G. Ertl, “Oscillatory kinetics in heterogeneous catalysis,” Chem. Rev. 95 (3), 697–733 (1995). https://doi.org/10.1021/cr00035a012
     
  7. M. M. Slinko and N. I. Jaeger, Oscillating Heterogeneous Catalytic Systems (Elsevier, Amsterdam, 1994).
     
  8. V. D. Belyaev, M. M. Slinko, M. G. Slinko, and V. I. Timoshenko, “Self-oscillations in the heterogeneous catalytic reaction of hydrogen with oxygen,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 214 (5), 1098–1100 (1974) [in Russian].
     
  9. M. G. Slinko, “Dynamics of chemical processes and reactors,” Khim. Prom-st. (11), 260–268 (1979) [in Russian]. 
     
  10. E. S. Kurkina, N. V. Peskov, M. M. Slinko, and M. G. Slinko, “On the nature of chaotic fluctuations in the rate of the CO oxidation reaction on a Pd-zeolite catalyst,” Dokl. Ross. Akad. Nauk 351 (4), 497–501 (1996) [in Russian].
     
  11. E. A. Lashina, V. V. Kaichev, N. A. Chumakova, V. V. Ustyugov, G. A. Chumakov, and V. I. Bukhtiyarov, “Mathematical simulation of self-oscillations in methane oxidation on nickel: An isothermal model,” Kinet. Catal. 53, 374–383 (2012). https://doi.org/10.1134/S0023158412030081
     
  12. E. A. Lashina, V. V. Kaichev, A. A. Saraev, Z. S. Vinokurov, N. A. Chumakova, G. A. Chumakov, and V. I. Bukhtiyarov, “Experimental study and mathematical modeling of self-sustained kinetic oscillations in catalytic oxidation of methane over nickel,” J. Phys. Chem. A 121, 6874–6886 (2017). https://doi.org/10.1021/acs.jpca.7b04525
     
  13. E. A. Lashina, V. V. Kaichev, A. A. Saraev, N. A. Chumakova, G. A. Chumakov, and V. I. Bukhtiyarov, “Self-sustained oscillations in oxidation of propane over nickel: Experimental study and mathematical modelling,” Top. Catal. 63 (1–2), 33–48 (2020). https://doi.org/10.1007/s11244-019-01219-5
     
  14. A. A. Andronov, E. A. Leontovich, I. I. Gordon, and A. G. Mayer, Qualitative Theory of Second-Order Dynamical Systems (Nauka, Moscow, 1966) [in Russian].
     
  15. P. Hartman, Ordinary Differential Equations (John Wiley & Sons, New York—London—Sydney, 1964; Mir, Moscow, 1970).
     
  16. T. Poston and I. Stuart, Catastrophe Theory and Its Applications (Pitman, London—San Francisco, 1978; Mir, Moscow, 1980).
     
  17. C. Robinson, Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos (CRC Press, Boca Raton, 1995).
     
  18. L. P. Shil’nikov, A. L. Shil’nikov, D. V. Turaev, and L. Chua, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part 1 (World Scientific, Singapore, 1998; Inst. Komp’yut. Issled., Moscow—Izhevsk, 2004).
     
  19. L. P. Shil’nikov, A. L. Shil’nikov, D. V. Turaev, and L. Chua, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part 2 (World Scientific, Singapore, 2001; Inst. Komp’yut. Issled., Moscow—Izhevsk, 2009).
     
  20. A. Abbondandolo, L. Asselle, G. Benedetti, M. Mazzucchelli, and I. A. Taimanov, “The multiplicity problem for periodic orbits of magnetic flows on the 2-sphere,” Adv. Nonlinear Stud. 17 (1), 17–30 (2017). https://doi.org/10.1515/ans-2016-6003
     
  21. A. K. Zvonkin and M. A. Shubin, “Non-standard analysis and singular perturbations of ordinary differential equations,” Russ. Math. Surv. 39 (2), 69–131 (1984).
     
  22. A. B. Vasil’eva and V. F. Butuzov, Asymptotic Methods in the Theory of Singular Perturbations (Vyssh. Shkola, Moscow, 1990) [in Russian].
     
  23. H. G. Solari, M. A. Natiello, and G. B. Mindlin, Nonlinear Dynamics: A Two-way Trip from Physics to Math (Inst. Phys., London—Bristol—Philadelphia, 1996).
     
  24. Yu. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory (Springer, New York, 1998).
     
  25. J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Springer, New York, 1983; Inst. Kom’yut. Issled., Moscow—Izhevsk, 2002).
     
  26. G. A. Chumakov, M. G. Slinko, and V. D. Belyaev, “Complex changes in the rate of heterogeneous catalytic reactions,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 253 (3), 653–658 (1980) [in Russian].
     
  27. G. A. Chumakov and M. G. Slinko, “Kinetic turbulence (chaos) of the reaction rate of interaction of hydrogen with oxygen over metal catalysts,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 266 (5), 1194–1198 (1982) [in Russian].
     
  28. G. A. Chumakov and N. A. Chumakova, “Relaxation oscillations in a kinetic model of catalytic hydrogen oxidation involving a chase on canards,” Chem. Eng. J. 91, 151–158 (2003). https://doi.org/10.1016/S1385-8947(02)00148-1
     
  29. G. A. Chumakov, “Mathematical aspects of modeling the self-oscillations of the heterogeneous catalytic reaction rate. I,” Sib. Math. J. 46 (5), 948–956 (2005). https://doi.org/10.1007/s11202-005-0091-1
     
  30. G. A. Chumakov, “Dynamics of a system of nonlinear differential equations,” Sib. Math. J. 48 (5), 949–960 (2007). https://doi.org/10.1007/s11202-007-0098-x
     
  31. G. A. Chumakov, N. A. Chumakova, and E. A. Lashina, “Modeling the complex dynamics of heterogeneous catalytic reactions with fast, intermediate, and slow variables,” Chem. Eng. J. 282, 11–19 (2015). https://doi.org/10.1016/j.cej.2015.03.017
     
  32. G. A. Chumakov and N. A. Chumakova, “Localization of an unstable solution of a system of three nonlinear ordinary differential equations with a small parameter,” J. Appl. Ind. Math. 16 (4), 606–620 (2022). https://doi.org/10.1134/S1990478922040032
     
  33. V. I. Bykov and S. B. Tsybenova, “Implementation of the parameter continuation method for a system of two equations,” Vychisl. Tekhnol. 7 (5), 21–28 (2002) [in Russian].
     
  34. L. S. Pontryagin and L. V. Rodygin, “Periodic solution of one system of ordinary differential equations with a small parameter multiplying the derivatives,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 132 (3), 537–540 (1960) [in Russian].