Кубический вариант метода коллокации и наименьших квадратов и его приложение для расчёта изгиба пластин

Кубический вариант метода коллокации и наименьших квадратов и его приложение для расчёта изгиба пластин

Голушко С. К., Брындин Л. С., Беляев В. А., Горынин А. Г.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 3(99), 36–56 (2024)
Скачать статью

УДК 519.632.4:539.3 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.304

Аннотация:

Разработан новый кубический вариант метода коллокации и наименьших квадратов на адаптивных сетках. Приближённые значения решения и его первых производных в вершинах четырёхугольных ячеек принимались в качестве неизвестных, что позволило исключить традиционные условия согласования из глобальной переопределённой системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из уравнений коллокации и краевых условий. Для решения предобусловленной системы с учётом разреженности её матрицы использовался ортогональный метод, реализованный в библиотеке SuiteSparse с применением технологии параллельного программирования CUDA. Рассмотрена задача изгиба пластин в смешанной постановке в рамках теории Рейсснера—Миндлина. Достигнута более высокая точность расчётных значений прогибов и углов поворота, а также равномерная сходимость расчётных значений перерезывающих сил в случае тонкой пластины в предложенном методе по сравнению с изогеометрическим методом коллокации. Выполнен расчёт изгиба кольцевой пластины и круглых пластин с нецентральным отверстием и продемонстрировано увеличение градиента перерезывающих сил в окрестности отверстия как с уменьшением толщины пластины, так и с увеличением эксцентриситета. В численных экспериментах показан второй порядок сходимости разработанного метода. Проведено сравнение полученных решений в рамках теории Рейсснера—Миндлина с результатами расчётов с использованием теории Кирхгофа—Лява и трёхмерного конечно-элементного моделирования.

Литература:
  1. Reddy J. N. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, 2nd edn. Boca Raton—London—N. Y.—Washington: CRC Press, 2004; DOI: 10.1201/b12409 
     
  2. Голушко С. К., Немировский Ю. В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. М.: Физматлит, 2008. 
     
  3. Григоренко Я. М., Тимонин А. М. Решение задач об изгибе пластин сложной формы в ортогональных криволинейных координатах // Доклады АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и тезн. науки. 1987. № 2. С. 51–54. 
     
  4. Ascher U. M., Mattheij R. M. M., Russell R. D. Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations. Philadelphia: SIAM, 1995; DOI: 10.1137/1.9781611971231 
     
  5. Голушко С. К., Горшков В. В., Юрченко А. В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычисл. технол. 2002. Т. 7, № 2. C. 24—33. 
     
  6. Голушко С. К., Морозова Е. В., Юрченко А. В. О численном решении краевых задач для жёстких систем дифференциальных уравнений // Вестн. КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2005. Т. 10, № 2. C. 12—26. 
     
  7. Luo Y. Shear Locking in Finite Elements: licentiate thesis. Stockholm: Kungliga Tekniska h¨ogskolan, 1997. 
     
  8. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания, 2-е изд. М.: Наука, 1987. 
     
  9. Идимешев С. В. Модифицированный метод коллокаций и наименьших невязок и его приложение в механике многослойных композитных балок и пластин: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2016. 
     
  10. Garcia O., Fancello E. A., de Barcellos C. S., Duarte C. A. hp-Clouds in Mindlin’s thick plate model // Int. J. Numer. Methods Eng. 2000. V. 47, N 8. P. 1381–1400; DOI: 10.1002/(SICI)1097-0207(20000320)47:8<1381::AID-NME833>3.0.CO;2-9 
     
  11. Kiendl J., Auricchio F., Beiraõ da Veiga L., Lovadina C., Reali A. Isogeometric collocation methods for the Reissner—Mindlin plate problem // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2015. V. 284, N 12. P. 489–507; DOI: 10.1016/j.cma.2014.09.011 
     
  12. Ben-Artzi M., Chorev I., Croisille J.-P., Fishelov D. A compact difference scheme for the biharmonic equation in planar irregular domains // SIAM J. Numer. Anal. 2009. V. 47, N 4. P. 3087–3108; DOI: 10.1137/080718784 
     
  13. Shao W., Wu X., Chen S. Chebyshev tau meshless method based on the integration-differentiation for biharmonic-type equations on irregular domain // Eng. Anal. Bound. Elem. 2012. V. 36, N 12. P. 1787–1798; DOI: 10.1016/j.enganabound.2012.06.005 
     
  14. Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин // Вычисл. технол. 2013. Т. 18, № 6. С. 31–43. 
     
  15. Беляев В. А., Брындин Л. С., Голушко С. К., Семисалов Б. В., Шапеев В. П. $H$-, $p$- и $hp$-варианты метода коллокации и наименьших квадратов для решения краевых задач для бигармонического уравнения в нерегулярных областях и их приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62, № 4. С. 531–552; DOI: 10.31857/S0044466922040020 
     
  16. Беляев В. А., Шапеев В. П. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в выпуклых четырёхугольных областях // Модел. и анализ информ. систем. 2017. Т. 24, № 5. С. 629–648. 
     
  17. Аннин Б. Д., Волчков Ю. М. Неклассические модели теории пластин и оболочек // Прикл. мех. и технич. физ. 2016. Т. 57, № 5. С. 5–14; DOI: 10.15372/PMTF20160501 
     
  18. Drozdov G. M., Shapeev V. P. CAS application to the construction of high-order difference schemes for solving Poisson equation // Lect. Notes Comput. Sci. 2014. V. 8660. P. 99–110; DOI: 10.1007/978-3-319-10515-4_8 
     
  19. Беляев В. А. Решение уравнения Пуассона с особенностями методом коллокации и наименьших квадратов // Сиб. журн. вычисл. матем. 2020. Т. 23, № 3. С. 249–263; DOI: 10.15372/SJNM20200302 
     
  20. Слепцов А. Г., Шокин Ю. И. Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 5. С. 572–586. 
     
  21. Semisalov B. V., Belyaev V. A., Bryndin L. S., Gorynin A. G., Blokhin A. M., Golushko S. K., Shapeev V. P. Verified simulation of the stationary polymer fluid flows in the channel with elliptical crosssection // Appl. Math. Comput. 2022. V. 430. P. 1–25. Article 127294; DOI: 10.1016/j.amc.2022.127294 
     
  22. Katsikadelis J. T. Boundary Elements: Theory and Applications. Amsterdam—London—New York— Oxford—Paris—Tokyo—Boston—San Diego—San Francisco—Singapore—Sydney: Elsevier, 2002. 
     
  23. Schillinger D., Evans J. A., Reali A., Scott M. A., Hughes T. J. R. Isogeometric collocation: Cost comparison with Galerkin methods and extension to adaptive hierarchical NURBS discretizations // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2013. V. 267. P. 170–232; DOI: 10.1016/j.cma.2013.07.017 
     
  24. Исаев В. И., Шапеев В. П., Ерёмин С. А. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье—Стокса // Вычисл. технол. 2007. Т. 12, № 3. С. 53–70. 
     
  25. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, еth edn. Amsterdam—Boston—Heidelberg—London—New York—Oxford—Paris—San Diego—San Francisco—Singapore—Sydney—Tokyo: Elsevier, 2013. 
     
  26. Cho J. Y., Atluri S. N. Analysis of shear flexible beams, using the meshless local Petrov—Galerkin method, based on a locking-free formulation // Eng. Comput. 2001. V. 18, N 1/2. P. 215–240; DOI: 10.1108/02644400110365888 
     
  27. Нестеров В. А. Конечно-элементный расчёт цилиндрической оболочки, податливой при трансверсальном сдвиге // Вестн. СибГУ им. акад. М. Ф. Решетнёва. 2013. № 2. С. 64–70. 
     
  28. Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к решению задач механики анизотропных слоистых пластин // Вычисл. технол. 2014. Т. 19, № 5. С. 24–36. 
     
  29. Reberol M, Georgiadis C, Remacle J.-F. Quasi-structured quadrilateral meshing in Gmsh — a robust pipeline for complex CAD models // arXiv. 2021; DOI: 10.48550/arXiv.2103.04652 
     
  30. Киреев В. А. Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в области с криволинейной границей // Вестник СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетнёва. 2014. № 3. С. 73–77. 
     
  31. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.
     
  32. Ram$\check{s}$ak M., $\check{S}$kerget L. A subdomain boundary element method for high-Reynolds laminar flow using stream function-vorticity formulation // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2004. V. 46, N 8. P. 815–847; DOI: 10.1002/fld.776
     
  33. Davis T. A. Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal multithreaded rank-revealing sparse QR factorization // ACM Trans. Math. Softw. 2011. V. 38, N 1. P. 1–22; DOI: 10.1145/2049662.2049670
     
  34. SuiteSparse. https://github.com/DrTimothyAldenDavis/SuiteSparse/blob/dev/SPQR/Demo/qrdemo_gpu.cpp 
     
  35. Ike C. C. Mathematical solutions for the flexural analysis of Mindlin’s first order shear deformable circular plates // Math. Models Eng. 2018. V. 4, N 2. P. 50–72; DOI: 10.21595/mme.2018.19825
     
  36. Dhondt G. CalculiX crunchix user’s manual version 2.12. https://www.dhondt.de/ccx_2.12.pdf

Работа выполнена в рамках реализации Программы Центра Национальной технологической инициативы по направлению «Технологии моделирования и разработки новых функциональных материалов с заданными свойствами» на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» (проект 4.1).

С. К. Голушко
  1. Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 6, Новосибирск 630090, Россия

E-mail: s.golushko@g.nsu.ru

Л. С. Брындин
  1. Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 
    ул. Институтская, 4/1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: l.bryndin@g.nsu.ru

В. А. Беляев
  1. Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 
    ул. Институтская, 4/1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: v.beliaev9@g.nsu.ru

А. Г. Горынин
  1. Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: a.gorynin@g.nsu.ru

Статья поступила 17.10.2023 г.
После доработки — 25.04.2024 г.
Принята к публикации 03.07.2024 г.

Abstract:

A new cubic version of the least-squares collocation method based on adaptive grids is developed. The approximate values of the solution and its first derivatives at the vertices of quadrangular cells are the unknowns. This approach has made it possible to eliminate the matching conditions from the global overdetermined system of linear algebraic equations consisting of collocation equations and boundary conditions. The preconditioned system is solved using the SuiteSparse library by the orthogonal method with the CUDA parallel programming technology. We consider the Reissner—Mindlin plate problem in a mixed setting. A higher accuracy of deflections and rotations of the transverse normal in comparison with the isogeometric collocation method as well as the uniform convergence of shear forces in the case of a thin plate are shown in the proposed method. Bending of an annular plate and round plates with an off-center hole is analyzed. An increase in the shear force gradient in the vicinity of the hole is shown both with a decrease in the plate thickness and with an increase in the eccentricity. The second order of convergence of the developed method is shown numerically. The results obtained using the Reissner—Mindlin theory are compared with the ones in the Kirchhoff—Love theory and three-dimensional finite element simulation.

References:
  1. J. N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis (CRC Press, Boca Raton—London—New York—Washington, 2004) 2nd Ed. https://doi.org/10.1201/b12409
     
  2. S. K. Golushko and Yu. V. Nemirovskii, Direct and Inverse Problems of Mechanics of Elastic Composite Plates and Shells of Revolution (Fizmatlit, Moscow, 2008) [in Russian].
     
  3. Ya. M. Grigorenko and A. M. Timonin, “Solution of problems on bending of plates of complex shape in orthogonal curvilinear coordinates,” Dokl. Akad. Nauk. Ukr. SSR. Ser. A. Fiz.-Mat. Tekh. Nauki no. 2, 51–54 (1987) [in Russian].
     
  4. U. M. Ascher, R. M. M. Mattheij, and R. D. Russell, Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations (SIAM, Philadelphia, 1995). https://doi.org/10.1137/1.9781611971231 
     
  5. S. K. Golushko, V. V. Gorshkov, and A. V. Yurchenko, “On two numerical methods for solving multipoint nonlinear boundary value problems,” Vychisl. Tekhnol. 7 (2), 24–33 (2002) [in Russian].
     
  6. S. K. Golushko, E. V. Morozova, and A. V. Yurchenko, “On the numerical solution of boundary value problems for stiff systems of differential equations,” Vestn. KazNU. Ser. Mat. Mekh. Inf. 10 (2), 12–26 (2005) [in Russian]. 
     
  7. Y. Luo, Shear Locking in Finite Elements: Licentiate Thesis (Kungliga Tekniska h¨ogskolan, Stockholm, 1997).
     
  8. S. A. Ambartsumyan, Theory of Anisotropic Plates: Strength, Stability, and Vibrations (Nauka, Moscow, 1987) [in Russian].
     
  9. S. V. Idimeshev, “A modified method of collocations and least residuals and its application in mechanics of multilayer composite beams and plates,” Cand. of. Sci. (Phys.-Math.) Dissertation (IVT SO RAN, Novosibirsk, 2016) [in Russian].
     
  10. O. Garcia, E. A. Fancello, C. S. de Barcellos, and C. A. Duarte, “$hp$-Clouds in Mindlin’s thick plate model,” Int. J. Numer. Methods Eng. 47 (8), 1381–1400 (2000). https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(20000320)47:8<1381::AID-NME833>3.0.CO;2-9
     
  11. J. Kiendl, F. Auricchio, L. Beiraõ da Veiga, C. Lovadina, and A. Reali, “Isogeometric collocation methods for the Reissner—Mindlin plate problem,” Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 284 (12), 489– 507 (2015). https://doi.org/10.1016/j.cma.2014.09.011
     
  12. M. Ben-Artzi, I. Chorev, J.-P. Croisille, and D. Fishelov, “A compact difference scheme for the biharmonic equation in planar irregular domains,” SIAM J. Numer. Anal. 47 (4), 3087–3108 (2009). https://doi.org//10.1137/080718784
     
  13. W. Shao, X. Wu, and S. Chen, “Chebyshev tau meshless method based on the integration-differentiation for biharmonic-type equations on irregular domain,” Eng. Anal. Boundary Elem. 36 (12), 1787–1798 (2012). https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2012.06.005
     
  14. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Method of collocations and least residuals in application to problems of mechanics of isotropic plates,” Vychisl. Tekhnol. 18 (6), 31–43 (2013) [in Russian].
     
  15. V. A. Belyaev, L. S. Bryndin, S. K. Golushko, B. V. Semisalov, and V. P. Shapeev, “$h$-, $p$-, and $hp$versions of the least-squares collocation method for solving boundary value problems for biharmonic equation in irregular domains and their applications,” Comput Math. Math. Phys. 62 (4), 517–537 (2022). https://doi.org/10.1134/S0965542522040029
     
  16. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “Variants of the collocation and least residual methods for solving problems of mathematical physics in convex quadrangular domains,” Model. Anal. Inf. Sist. 24 (5), 629–648 (2017) [in Russian].
     
  17. B. D. Annin and Y. M. Volchkov, “Nonclassical models of the theory of plates and shells,” J. Appl. Mech. Tech. Phys. 57 (5), 769–776 (2016). https://doi.org/10.1134/S0021894416050011
     
  18. G. M. Drozdov and V. P. Shapeev, “CAS application to the construction of high-order difference schemes for solving Poisson equation,” Lect. Notes Comput. Sci. 8660, 99–110 (2014). https://doi.org/10.1007/978-3-319-10515-4_8
     
  19. V. A. Belyaev, “Solving a Poisson equation with singularities by the least-squares collocation method,” Numer. Anal. Appl. 13 (3), 207–218 (2020). https://doi.org/10.1134/S1995423920030027
     
  20. A. G. Sleptsov and Yu. I. Shokin, “An adaptive grid-projection method for elliptic problems,” Comput. Math. Math. Phys. 37 (5), 558–571 (1997).
     
  21. B. V. Semisalov, V. A. Belyaev, L. S. Bryndin, A. G. Gorynin, A. M. Blokhin, S. K. Golushko, and V. P. Shapeev, “Verified simulation of the stationary polymer fluid flows in the channel with elliptical cross-section,” Appl. Math. Comput. 430, 1–25, article ID 127294 (2022). https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127294
     
  22. J. T. Katsikadelis, Boundary Elements: Theory and Applications (Elsevier, Amsterdam—London—New York—Oxford—Paris—Tokyo—Boston—San Diego—San Francisco—Singapore—Sydney, 2002).
     
  23. D. Schillinger, J. A. Evans, A. Reali, M. A. Scott, and T. J. R. Hughes, “Isogeometric collocation: Cost comparison with Galerkin methods and extension to adaptive hierarchical NURBS discretizations,” Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 267, 170–232 (2013). https://doi.org/10.1016/j.cma.2013.7.017
     
  24. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, “Study of the properties of the collocation and least squares method for solving boundary value problems for the Poisson equation and the Navier—Stokes equations,” Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53–70 (2007) [in Russian].
     
  25. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, and J. Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (Elsevier, Amsterdam—Boston—Heidelberg—London—New York—Oxford—Paris—San Diego—San Francisco— Singapore—Sydney—Tokyo, 2013).
     
  26. J. Y. Cho and S. N. Atluri, “Analysis of shear flexible beams, using the meshless local Petrov—Galerkin method, based on a locking-free formulation,” Eng. Comput. 18 (1/2), 215–240 (2001). https://doi.org/10.1108/02644400110365888
     
  27. V. A. Nesterov, “Finite element calculation of a cylindrical shell pliable under transverse shear,” Vestn. SibGU im. akad. M. F. Reshetneva no. 2, 64–70 (2013) [in Russian].
     
  28. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Development and application of the collocation and least residuals method to solving problems of mechanics of anisotropic layered plates,” Komp’ut. Tekh. 19 (5), 24–36 (2014) [in Russian].
     
  29. M. Reberol, C. Georgiadis, and J.-F. Remacle, “Quasi-structured quadrilateral meshing in Gmsh — a robust pipeline for complex CAD models,” 2021. https://arxiv.org/abs/2103.04652
     
  30. V. A. Kireev, “Collocation method with bicubic Hermitian basis in a domain with a curvilinear boundary,” Vestn. SibGU im. akad. M. F. Reshetneva no. 3, 73–77 (2014) [in Russian].
     
  31. J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra (SIAM, Philadelphia, 1997; Mir, Moscow, 2001). https://doi.org/10.1137/1.9781611971446
     
  32. M. Ram$\check{s}$ak and L. $\check{S}$kerget, “A subdomain boundary element method for high-Reynolds laminar flow using stream function-vorticity formulation,” Int. J. Numer. Meth. Fluids. 46 (8), 815–847 (2004). https://doi.org/10.1002/fld.776
     
  33. T. A. Davis, “Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal multithreaded rankrevealing sparse QR factorization,” ACM Trans. Math. Software 38 (1), 1–22 (2011). https://doi.org/10.1145/2049662.2049670
     
  34. SuiteSparse. https://github.com/DrTimothyAldenDavis/SuiteSparse/blob/dev/SPQR/Demo/qrdemo_gpu.cpp. 
     
  35. C. C. Ike, “Mathematical solutions for the flexural analysis of Mindlin’s first order shear deformable circular plates,” Math. Models Eng. 4 (2), 50–72 (2018). https://doi.org/10.21595/mme.2018.19825
     
  36. G. Dhondt, CalculiX Crunchix User’s Manual Version 2.12. https://www.dhondt.de/ccx_2.12.pdf.