Об одном асимптотическом методе решений однородных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания объектов с движущимися границами

Об одном асимптотическом методе решений однородных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания объектов с движущимися границами

Литвинов В. Л., Шамолин М. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 2(102), 39-54 (2025)
Скачать статью

УДК 534.11 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.203

Аннотация:

Задача о колебаниях объектов с подвижными границами представлена в виде дифференциального уравнения с граничными и начальными условиями и является неклассическим обобщением задачи гиперболического типа. В работе построены эквивалентные интегро-дифференциальные уравнения с симметричными и зависящими от времени ядрами и изменяющимися во времени пределами интегрирования. Приведено разложение интегро-дифференциального уравнения движения объектов переменной длины в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Определено понятие собственных функций и собственных чисел для краевой задачи в области, ограниченной изменяемыми во времени пределами интегрирования. Построены решения однородных интегро-дифференциальных уравнений описывающих колебания объектов переменной длины и систем обыкновенных дифференциальных уравнений с изменяющимися параметрами при помощи асимптотических методов. Получены выражения для амплитуд и фаз колебаний. Данный подход особенно полезен при исследовании сложных динамических систем с сосредоточенными массами, которые колеблются под влиянием подвижных нагрузок.

Литература:
  1. Горошко О. А., Савин Г. Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наук. думка, 1971.
     
  2. Савин Г. Н., Горошко О. А. Динамика нити переменной длины. Киев: Наук. думка, 1962.
     
  3. Самарин Ю. П. Об одной нелинейной задаче для волнового уравнения в одномерном пространстве // Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 26. № 3. С. 77–80.
     
  4. Литвинов В. Л., Анисимов В. Н. Математическое моделирование и исследование резонансных свойств механических объектов с изменяющейся границей. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2020.
     
  5. Литвинов В. Л., Литвинова К. В. Приближенный метод решения краевых задач с подвижными границами путём сведения к интегро-дифференциальным уравнениям // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2022. Т. 62, № 6. С. 977–986.
     
  6. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001.
     
  7. Ерофеев В. И., Леонтьева А. В. Квазигармоническая продольная волна, распространяющаяся в стержне Миндлина—Германа, погружённом в нелинейно-упругую среду // Теор. и мат. физика. 2022. Т. 211, № 2. С. 216–235.
     
  8. Ерофеев В. И., Лисенкова Е. Е. Общие соотношения для волн, распространяющихся в одномерных упругих системах // Тр. Междунар. конф. Мат. методы мех. 2023. С. 26–27.
     
  9. Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961.
     
  10. Динник А. Н. Об опасности резонанса в подъёмниках с бицилиндро-коническими барабанами // Горный журн. 1932. Т. 108, № 12. С. 45–46.
     
  11. Локшин А. С. О динамических напряжениях в подъёмных канатах // Горный журн. 1929. Т. 105, № 12. Приложение.
     
  12. Неронов Н. П. О максимальных натяжениях в подъёмном шахтном канате при нормальном режиме подъёма // Горный журн. 1959. № 10. С. 107–112.
     
  13. Пеньков A. M. Боковые колебания и резонанс подъёмных канатов // Докл. АН УССР. 1947. № 1. С. 59–65. 
     
  14. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
     
  15. Пинчук Н. А., Столяр А. М. Об одной начально-краевой задаче с подвижной границей // Матем. моделирование и краевые задачи. 2009. С. 189–191.
     
  16. Корчинский В. М. Электромагнитные поля и волны в электродинамических системах с движущимися границами: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.03. Днепропетровск, 1978.
     
  17. Лежнева А. А. Изгибные колебания балки переменной длины // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 1. C. 159–161.
     
  18. Riozi K. Langs-oder Drillungsschwingunger eines Stables mit der zeitlich veranderlichen Langenmenge // Proc. 7th Japan Nat. Congs. Appl. Mech. 1958.
     
  19. Мовсисян Л. А. Колебания полубесконечной балки с перемещающимся концом // Изв. РАН. МТТ. 1966. № 1. С. 174–176.
     
  20. Selivanova N. Yu., Shamolin M. V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary // J. Math. Sci. 2013. V. 189, N 2. P. 274–283.

Исследование выполнено в рамках государственного задания Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, а также за счёт средств бюджета Самарского государственного технического университета. Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. Л. Литвинов
  1. Самарский государственный технический университет, 
    ул. Молодогвардейская, 244, г. Самара 443100, Россия

E-mail: vladlitvinov@rambler.ru

М. В. Шамолин
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 
    Ленинские горы, 1, г. Москва 119991, Россия

E-mail: shamolin@rambler.ru

Статья поступила 17.09.2024 г.
После доработки — 09.06.2025 г.
Принята к публикации 17.06.2025 г.

Abstract:

The problem of oscillations of objects with moving boundaries is presented as a differential equation with boundary and initial conditions and is a non-classical generalization of a hyperbolic problem. In the work, equivalent integro-differential equations with symmetric and time-dependent kernels and time-varying integration limits are constructed. An expansion of the integro-differential equation of motion of variable-length objects into an infinite system of ordinary differential equations with variable coefficients is given. The concept of eigenfunctions and eigenvalues is defined for a boundary value problem in a domain limited by timevarying integration limits. Solutions of homogeneous integro-differential equations describing oscillations of variable-length objects and systems of ordinary differential equations with changing parameters are constructed using asymptotic methods. Expressions for the amplitudes and phases of oscillations are obtained. This approach is especially useful in studying complex dynamic systems with concentrated masses that oscillate under the influence of moving loads.

References:
  1. Goroshko O. A., Savin G. N. Vvedenie v mehaniku deformiruemyh odnomernyh tel peremennoj dliny. Kiev: Nauk. dumka [Introduction to the mechanics of deformable one-dimensional bodies of variable length]. Kiev: Nauk. Dumka, 1971 (in Russian).
     
  2. Savin G. N., Goroshko O. A. Dinamika niti peremennoj dliny. [Dynamics of a thread of variable length]. Kiev: Nauk. Dumka, 1962 (in Russian).
     
  3. Samarin Yu. P. Ob odnoj nelinejnoj zadache dlja volnovogo uravnenija v odnomernom prostranstve [On a nonlinear problem for the wave equation in one-dimensional space] Prikl. Mat. Mekh. [Appl. Math. Mech.], 1964, Vol. 26, No 3, pp. 77–80 (in Russian).
     
  4. Litvinov V. L., Anisimov V. N. Matematicheskoe modelirovanie i issledovanie rezonansnyh svojstv mehanicheskih ob"ektov s izmenjajushhejsja granicej [Mathematical modeling and investigation of resonant properties of mechanical objects with a changing boundary]. Samara: Samara State Techn. Univ., 2020 (in Russian).
     
  5. Litvinov V. L., Litvinova K. V. Priblizhennyj metod reshenija kraevyh zadach s podvizhnymi granicami putjom svedenija k integro-differencial’nym uravnenijam [An approximate method for solving boundary value problems with movable boundaries by reducing them to integro-differential equations]. Zhurn. Vychisl. Matem. Matem. Fiz. [J. Calcul. Math. Math. Phys.], 2022, Vol. 62, No. 6, pp. 977–986 (in Russian).
     
  6. Vesnitsky A. I. Volny v sistemah s dvizhushhimisja granicami i nagruzkami [Waves in systems with moving boundaries and loads]. Moscow: Fizmatlit, 2001 (in Russian).
     
  7. Yerofeev V. I., Leontieva A. V. Kvazigarmonicheskaja prodol’naja volna, rasprostranjajushhajasja v sterzhne Mindlina—Germana, pogruzhjonnom v nelinejno-upruguju sredu [A quasi-harmonic longitudinal wave propagating in a Mindlin-Hermann rod immersed in a nonlinear elastic medium]. Teor. Mat. Fiz. [Theor. Math. Phys.], 2022, Vol. 211, No 2, pp. 216–235 (in Russian).
     
  8. Yerofeev V. I., Lisenkova E. E. Obshhie sootnoshenija dlja voln, rasprostranjajushhihsja v odnomernyh uprugih sistemah [General relations for waves propagating in one-dimensional elastic systems]. Mezhdunar. Konf. Mat. Metody Mekh. [Internat. Conf. Math. Methods Mech.], 2023, pp. 26–27 (in Russian).
     
  9. Rakhmatulin X. A., Demyanov Yu. A. Prochnost’ pri intensivnyh kratkovremennyh nagruzkah [Strength under intense short-term loads]. Moscow: Fizmatgiz, 1961 (in Russian).
     
  10. Dinnik A.N. Ob opasnosti rezonansa v pod"jomnikah s bicilindro-konicheskimi barabanami [On the danger of resonance in lifts with bicylindroconic drums]. Gornyj zhurn. [Mountains J.], 1932, Vol. 108, No. 12, pp. 45–46 (in Russian).
     
  11. Lokshin A. S. O dinamicheskih naprjazhenijah v pod"jomnyh kanatah [On dynamic stresses in lifting ropes]. Gornyj Zhurn. [Mountains J.], 1929, Vol. 105, No. 12 (in Russian).
     
  12. Neronov N. P. O maksimal’nyh natjazhenijah v pod"jomnom shahtnom kanate pri normal’nom rezhime pod’joma [On the maximum tension in a lifting shaft rope during normal lifting mode]. Gornyj Zhurn. [Mountains J.], 1959, No. 10, pp. 107–112 (in Russian).
     
  13. Penkov A. M. Bokovye kolebanija i rezonans pod"jomnyh kanatov [Lateral vibrations and resonance of lifting ropes] Dokl. AN USSR, 1947, No. 1, pp. 59–65 (in Russian).
     
  14. Bogolyubov N. N., Mitropolsky Yu. A. Asimptoticheskie metody v teorii nelinejnyh kolebanij [Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations]. Moscow: Nauka, 1974 (in Russian).
     
  15. Pinchuk N. A., Stolyar A. M. Ob odnoj nachal’no-kraevoj zadache s podvizhnoj granicej [On an initial boundary value problem with a movable boundary] Matem. Model. Kraev. Zadachi. [Math. model. Regional. Probl.], 2009, pp. 189–191 (in Russian).
     
  16. Korchinsky V. M. Jelektromagnitnye polja i volny v jelektrodinamicheskih sistemah s dvizhushhimisja granicami: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk: 01.04.03. [Electromagnetic fields and waves in electrodynamic systems with moving boundaries: dissertation of the Candidate of Physical and Mathematical Sciences: 04.01.03], Dnepropetrovsk, 1978 (in Russian).
     
  17. Lezhneva A. A. Izgibnye kolebanija balki peremennoj dliny [Bending vibrations of a beam of variable length]. Mehanika Tverdogo Tela [Izv. AN SSSR. Solid State Mechanics], 1970, No. 1 pp. 159–161 (in Russian).
     
  18. Riozi K. Langs-oder Drillungsschwingunger eines Stables mit der zeitlich veranderlichen Langenmenge. Proc. 7th Japan Nat. Congs. Appl. Mech., 1958.
     
  19. Movsisyan L. A. Kolebanija polubeskonechnoj balki s peremeshhajushhimsja koncom [Vibrations of a semi-infinite beam with a moving end]. Mehanika Tverdogo Tela [Izv. AN SSSR. Solid State Mechanics], 1966, No. 1, pp. 174–176 (in Russian).
     
  20. Selivanova N. Yu., Shamolin M. V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary. J. Math. Sci., 2013, Vol. 189, No. 2, pp. 274–283.