Внутренняя нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка

Внутренняя нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка

Апаков Ю. П., Сопуев А. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 2(102), 5-21 (2025)
Скачать статью

УДК 517.956.6 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.201

Аннотация:

Доказано существование единственного решения нелокальной задачи сопряжений для уравнения в частных производных 3-го порядка смешанного параболо-гиперболического типа, когда в верхней полуплоскости уравнение характеристик имеет 3 кратных корня, а в нижней полуплоскости имеет 1 простой и 2 кратных корней. Используя метод понижения порядка уравнения, функции Грина и Римана, метод интегральных уравнений, решение задачи эквивалентным образом сводится к решению нелокальной задачи с интегральным условием для следа искомой функции на линии изменения типа уравнения, а затем к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, разрешимость которого доказывается методом последовательных приближений. Решение задачи в параболической части области строится методом функции Грина, а в гиперболической части области методом функции Римана сведением задачи к двумерному интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода. Приведены примеры.

Литература:
  1. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н.  Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, № 5. C. 58–73.
     
  2. Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689–699.
     
  3. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1999. № 10. С. 73–76.
     
  4. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2001.
     
  5. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. T. 13, № 2. С. 294–304.
     
  6. Золина Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Том 6, № 6. С. 991–1001.
     
  7. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанного-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.
     
  8. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986.
     
  9. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного типа. М. : Физматлит, 2014.
     
  10. Джураев Т. Д., Попёлек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 10. С. 1734. 11
     
  11. Сабитов К. Б. Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. М. : Наука, 2016.
     
  12. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издание, 2009.
     
  13. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. Школа, 1995.
     
  14. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185, № 4. С. 739–740.
     
  15. Жегалов В. И. Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа: Дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 1987.
     
  16. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.
     
  17. Бердышев А. С. Краевые задачи и их спектральные свойства для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Алматы, 2015.
     
  18. Dzhuraev T. D. and Apakov Yu. P. On a self-similar solution of one third-order equation with multiple characteristics // Vestn. Samar. Tekh. Univ., Ser.: Fiz.-Mat. Nauki. 2007. Т. 15, № 2. С. 18–26.
     
  19. Юлдашев Т. К. Нелокальная краевая задача для неоднородного псевдопараболического интегродифференциального уравнения с вырожденным ядром // Вестн. Волгоград. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2017. Т. 38, № 1. С. 42–54.
     
  20. Кожобеков К. Г. Нелокальная задача сопряжения для нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка //Вестн. КазНУ. Сер. мат., мех., инф. 2009. № 1(60). С. 3–40.
     
  21. Apakov Yu. P., Sopuev A. A. Boundary Value Problems for a Mixed Equation of Parabolic-Hyperbolic Type of the Third Order // Lobachevskii J. Mathematics. 2023. V. 44, N 12. P. 5149–5157.
     
  22. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. Л.: Гостехиздат, 1949.
     
  23. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.
     
  24. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями, М.: Едиториал УРСС, 2003.

Данная работа финансировалась за счёт средств бюджетов Института математики им. В. И. Романовского АН РУз, Наманганского государственного технического университета и Ошского государственного университета. Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Ю. П. Апаков
  1. Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз, 
    ул. Университетская, 46, г. Ташкент 100174, Узбекистан
  2. Наманганский государственный технический университет, 
    ул. И. Каримова, 12, г. Наманган 160103, Узбекистан

E-mail: yusupjonapakov@gmail.com

А. А. Сопуев
  1. Ошский государственный университет, 
    ул. Ленина, 331, г. Ош 723500, Кыргызстан

E-mail: sopuevv@gmail.com

Статья поступила 30.10.2023 г. 
После доработки — 23.06.2025 г.
Принята к публикации 23.06.2025 г.

Abstract:

The existence of a unique solution to a nonlocal conjugation problem for a thirdorder partial differential equation of mixed parabolic-hyperbolic type is established. In the upper half-plane, the characteristic equation has a triple root, while in the lower half-plane, it has one simple root and two multiple roots. By applying the method of order reduction, Green’s and Riemann’s functions, and the method of integral equations, the problem is equivalently reduced to a nonlocal problem with an integral condition imposed on the trace of the unknown function along the type-changing line of the equation. This, in turn, is reduced to solving a Fredholm integral equation of the second kind, the solvability of which is proven using the method of successive approximations. The solution in the parabolic part of the domain is constructed using Green’s function, whereas in the hyperbolic part, the Riemann function method is employed, reducing the problem to a two-dimensional Volterra integral equation of the second kind. Examples are provided.

References:
  1. Barenblatt G. I., Zheltov Y. P., Kochina I. N. Ob osnovnyh predstavlenijah teorii fil’tracii v treshhinovatyh sredah [On the basic concepts of filtration theory in fractured media]. Prikl. matematika i mehanika [Appl. Math. Mechanics], 1960, Vol. 24, No. 5, pp. 58–73 (in Russian).
     
  2. Shkhanukov M. Kh. O nekotoryh kraevyh zadachah dlja uravnenija tret’ego porjadka, voznikajushhih pri modelirovanii fil’tracii zhidkosti v poristyh sredah [On some boundary value problems for a third-order equation that arise when modeling liquid filtration in porous media]. Differenc. uravnenija [Differ. Equ.], 1982, Vol. 18, No. 4, pp. 689–699 (in Russian).
     
  3. Zhegalov V. I., Utkina E. A. Ob odnom psevdoparabolicheskom uravnenii tret’ego porjadka [On a pseudoparabolic equation of the third order]. Izv. Vuzov. Matematika, 1999, No. 10, pp. 73–76 (in Russian).
     
  4. Zhegalov V. I., Mironov A. N. Differencial’nye uravnenija so starshimi chastnymi proizvodnymi [High partial differential equations]. Kazan: Publishing House of the Kazan Mathematical Society, 2001 (in Russian).\
     
  5. Ionkin N. I. Reshenie odnoj kraevoj zadachi teorii teploprovodnosti s neklassicheskim kraevym usloviem [The solution of one boundary value problem of the theory of thermal conductivity with a nonclassical boundary condition]. Differ. uravnenija [Differ. Equ.], 1977, Vol. 13, No. 2, pp. 294–304 (in Russian).
     
  6. Zolina L. A. O kraevoj zadache dlja model’nogo uravnenija giperbolo-parabolicheskogo tipa [On a boundary value problem for a model equation of hyperbolic-parabolic typ]. Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiz. [J. Comput. Math. Math. Phys.], 1966, Vol. 6, No. 6, pp. 991–1001 (in Russian).
     
  7. Juraev T. D. Kraevye zadachi dlja uravnenij smeshannogo i smeshannogo-sostavnogo tipov [Boundary value problems for equations of mixed and mixed-composite types]. Tashkent: Fan, 1979 (in Russian).
     
  8. Juraev T. D., Sopuev A., Mamazhanov M. Kraevye zadachi dlja uravnenij parabolo-giperbolicheskogo tipa [Boundary value problems for equations of parabolic-hyperbolic type]. Tashkent: Fan, 1986 (in Russian).
     
  9. Sabitov K. B. K teorii uravnenij smeshannogo tipa [On the theory of mixed type equations]. Moscow: Fizmatlit, 2014 (in Russian).
     
  10. Juraev T. D., Popelek Ya. O klassifikacii i privedenii k kanonicheskomu vidu uravnenij s chastnymi proizvodnymi tret’ego porjadka [On classification and reduction to canonical form of partial differential equations of the third order]. Differenc. Uravnenija [Differ. Equ.], 1991, Vol. 27, No. 10, pp. 1734 (in Russian).
     
  11. Sabitov K. B. Prjamye i obratnye zadachi dlja uravnenij smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo tipa [Direct and Inverse problems for equations of mixed parabolic-hyperbolic type]. Moscow: Nauka, 2016 (in Russian). 
     
  12. Kabanikhin S. I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and Ill-Posed Problems]. Novosibirsk: Siberian Scientific Publication, 2009 (in Russian).
     
  13. Nakhushev A. M. Uravnenija matematicheskoj biologii [Equations of mathematical biology]. Moscow: Vyssh. Shkola, 1995 (in Russian).
     
  14. Bitsadze A. V., Samarsky A. A. O nekotoryh prostejshih obobshhenijah linejnyh jellipticheskih kraevyh zadach [On some simplest generalizations of linear elliptic boundary value problems]. Dokl. AN SSSR [Dokl. USSR Academy of Sciences], 1969, Vol. 185, No. 4, pp. 739–740 (in Russian).
     
  15. Zhegalov V. I. Issledovanie kraevyh zadach so smeshhenijami dlja uravnenij smeshannogo tipa: Dis. dokt. fiz.-mat. nauk: 01.01.02. [Investigation of boundary value problems with offsets for mixed-type equations: PhD thesis: 01.01.02]. Kazan, 1987 (in Russian).
     
  16. Nakhushev A. M. Zadachi so smeshheniem dlja uravnenij v chastnyh proizvodnyh [Offset problems for partial differential equations]. Moscow: Nauka, 2006 (in Russian).
     
  17. Berdyshev A. S. Kraevye zadachi i ih spektral’nye svojstva dlja uravnenij smeshannogo i smeshannosostavnogo tipov [Boundary value problems and their spectral properties for equations of mixed and mixed-composite types]. Almaty, 2015 (in Russian).
     
  18. Dzhuraev T. D., Apakov Yu. P. On a self-similar solution of one third-order equation with multiple characteristics. Vestn. Samar. Tekh. Univ., Ser.: Fiz.-Mat. Nauki, 2007, Vol. 15, No. 2, pp. 18–26.
     
  19. Yuldashev T. K. Nelokal’naja kraevaja zadacha dlja neodnorodnogo psevdoparabolicheskogo integrodifferencial’nogo uravnenija s vyrozhdennym jadrom [A non-local boundary value problem for an inhomogeneous pseudoparabolic integro-differential equation with a degenerate kernel]. Vestn. Volgograd. state University. Ser. 1, Mat. Phys., 2017, Vol. 38, No. 1, pp. 42–54 (in Russian).
     
  20. Kozhobekov K. G. Nelokal’naja zadacha soprjazhenija dlja nelinejnyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh tret’ego porjadka [A non-local conjugation problem for nonlinear partial differential equations of the third order]. Vestn. KazNU. Ser. Mat., Mech., Inf., 2009, Vol. 60, No. 1, pp. 3–40 (in Russian).
     
  21. Apakov Yu. P., Sopuev A. A. Boundary Value Problems for a Mixed Equation of Parabolic-Hyperbolic Type of the Third Order. Lobachevskii J. Mathematics 2023, Vol. 44, No. 12, pp. 5149–5157.
     
  22. Tricomi F. O linejnyh uravnenijah v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka smeshannogo tipa [On linear partial differential equations of the second order of mixed type]. Leningrad: Gostekhizdat, 1949 (in Russian). 
     
  23. Polyanin A. D. Spravochnik po linejnym uravnenijam matematicheskoj fiziki [Handbook of linear equations of mathematical physics]. Moscow: Fizmatlit, 2001 (in Russian).
     
  24. Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Integral’nye uravnenija: Zadachi i primery s podrobnymi reshenijami [Integral equations: Problems and examples with detailed solutions]. Moscow: Unified URSS, 2003 (in Russian).