Разрешимость и управляемость дифференциально-алгебраических уравнений с гистерезисом

Разрешимость и управляемость дифференциально-алгебраических уравнений с гистерезисом

Петренко П. С.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 2(102), 55-67 (2025)
Скачать статью

УДК 517.922:517.977.1:517.926.4 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.204

Аннотация:

В работе исследуется класс дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) с нелинейностью в виде гистерезиса (моделируемого процессом выметания). ДАУ являются общепризнанной и широко изученной областью современной прикладной математики, возникая как естественное обобщение концепции обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Мерой неразрешённости ДАУ относительно производных служит целочисленная величина, называемая индексом. Анализ проводится в предположении существования структурной формы с разделёнными «дифференциальной» и «алгебраической» подсистемами. Эта структурная форма эквивалентна исходной системе в смысле решений, а оператор, преобразующий систему ДАУ к данной структурной форме, обладает левым обратным. Построение данной формы носит конструктивный характер и не использует замену переменных, при этом автоматически решается проблема согласования начальных данных. Рассматриваемые в работе системы возникают при моделировании различных физических процессов, в частности, при описании электрических схем. Для такого класса ДАУ построена эквивалентная структурная форма, доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости начальной задачи, а также управляемости. В конце статьи приведены иллюстрирующие примеры.

Литература:
  1. Kunze M., Marques M. D. M. An Introduction to Moreau’s Sweeping Process // Lect. Notes Phys. 2000. V. 551. P. 1–60; DOI: 10.1007/3-540-45501-9_1
     
  2. Moreau J.-J. Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space // J. Differ. Eq. 1977. V. 26. P. 347–374; DOI: 10.1016/0022-0396(77)90085-7
     
  3. Brokate M., Sprekels J. Hysteresis and Phase Transitions. N. Y.: Springer, 1996; DOI: 10.1007/978-1-4612-4048-8
     
  4. Krejčí P. Vector hysteresis models // European J. Appl. Math. 1996. V. 2. P. 281–292; DOI: 10.1017/S0956792500000541
     
  5. Petrenko P., Samsonyuk O., Staritsyn M. A note on Differential-Algebraic Systems with Impulsive and Hysteresis Phenomena // Cybern. Phys. 2020. V. 9, N 1. P. 51–56; DOI: 10.35470/2226-4116-2020-9-1-51-56
     
  6. Щеглова А. А. Cуществование решения начальной задачи для вырожденной линейной гибридной системы с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 2010. № 9. С. 57–70.
     
  7. Щеглова А. А., Петренко П. С. $R$-наблюдаемость и $R$-управляемость линейных алгебро-дифференциальных систем // Изв. вузов. Матем. 2012. № 3. С. 74–91.
     
  8. Щеглова А. А., Петренко П. С. Стабилизация решений нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений // Автомат. и телемех. 2015. № 4. С. 32–50.
     
  9. Petrenko P. S. Differential controllability of linear systems of differential-algebraic equations // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2017. V. 10, N 3. P. 320–329; DOI: 10.17516/1997-1397-2017-10-3-320-329
     
  10. Brenan K. E., Campbell S. L., Petzold L. R. Numerical solution of initial-value problems in differentialalgebraic equations. Philadelphia: SIAM, 1996; DOI: 10.1137/1.9781611971224
     
  11. Campbell S. L., Griepentrog E. Solvability of general differential algebraic equations // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1995. V. 16, N 2. P. 257–270; DOI: 10.1137/0916017
     
  12. Dai L. Singular control system. Berlin—Heidelberg: Springer. 1989.
     
  13. Mehrmann V., Stykel T. Descriptor systems: a general mathematical framework for modelling, simulation and control // Automatisierungstechnik. 2006. V. 54, N 8. P. 405–415; DOI: 10.1524/auto.2006.54.8.405
     
  14. Adly S., Haddad T., Thibault L. Convex sweeping process in the framework of measure differential inclusions and evolution variational inequalities // Math. Program. 2014. V. 148, N 1. P. 5–47; DOI: 10.1007/s10107-014-0754-4
     
  15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
     
  16. Щеглова А. А. Управляемость нелинейных алгебро-дифференциальных систем // Автомат. и телемех. 2008. № 10. С. 57–80.
     
  17. Rockafellar R. T. Convex Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970.
     
  18. Moreau J.-J. On unilateral constraints, friction and plasticity // New Variational Techniques in Mathematical Physics. 1974. P. 173-–322.
     
  19. Moreau J. J. An introduction to unilateral dynamics // Novel Approaches in Civil Engineering. 2002. P. 1–46.
     
  20. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

Результаты получены в рамках государственного задания Минобрнауки России по проекту «Теория и методы исследования эволюционных уравнений и управляемых систем с их приложениями» (проект № 121041300060-4). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

П. С. Петренко
  1. Институт динамики систем и теории управления СО РАН им. В. М. Матросова, 
    ул. Лермонтова, 134, г. Иркутск 664033, Россия
  2. Иркутский государственный университет, 
    ул. Карла Маркса, 1, г. Иркутск 664033, Россия

E-mail: petrenko_p@mail.ru

Статья поступила 11.03.2024 г.
После доработки — 04.12.2024 г.
Принята к публикации 04.06.2025 г.

Abstract:

In this note, we single out some promising classes of differential-algebraic equations (DAEs) with non-linearity of hysteresis type modeled by a sweeping process. DAEs is a well recognized and extensively studied area of the modern applied mathematics, arisen as a natural generalization of the concept of ordinary differential equations (ODEs). The unsolvability measure with respect to the derivatives for some DAE is an integer that is called the index of the DAE. The analysis is carried out under the assumption of the existence of a structural form with separated ”differential” and ”algebraic” subsystems. This structural form is equivalent to the initial system in the sense of solution, and the operator which transformes the DAE into the structural form possesses the left inverse operator. The finding of the structural form is constructive and do not use a change of variables. In addition the problem of consistency of the initial data is solved automatically. The systems under investigation arise in modeling various physical processes, in particular, in electrical circuits with hysteresis phenomena. For such a DAE, we design an equivalent structural form (with a sense of solutions). Necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to an initial value problem and controllability are proved. Illustrative examples are given in the conclusion.

References:
  1. Kunze M., Marques M. D. M. An Introduction to Moreau’s Sweeping Process. Lect. Notes Phys., 2000, Vol. 551, pp. 1–60; DOI: 10.1007/3-540-45501-9_1
     
  2. Moreau J.-J. Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space. J. Differ. Equ., 1977, Vol. 26, pp. 347–374; DOI: 10.1016/0022-0396(77)90085-7
     
  3. Brokate M., Sprekels J. Hysteresis and Phase Transitions. N. Y.: Springer, 1996; DOI: 10.1007/978-1-4612-4048-8
     
  4. Krejčí P. Vector hysteresis models. European J. Appl. Math., 1996, Vol. 2, pp. 281–292; DOI: 10.1017/S0956792500000541
     
  5. Petrenko P., Samsonyuk O., Staritsyn M. A note on differential-algebraic systems with impulsive and hysteresis phenomena. Cybern. Phys., 2020, Vol. 9, No. 1, pp. 51–56; DOI: 10.35470/2226-4116-2020-9-1-51-56
     
  6. Shcheglova A. A. Cushhestvovanie reshenija nachal’noj zadachi dlja vyrozhdennoj linejnoj gibridnoj sistemy s peremennymi kojefficientami [The existence of a solution to the initial problem for a degenerate linear hybrid system with variable coefficients]. Izv. Vuzov. Matem., 2010, No. 9, pp. 57–70 (in Russian).
     
  7. Shcheglova A. A., Petrenko P. S. $R$-nabljudaemost’ i $R$-upravljaemost’ linejnyh algebro-differencial’nyh sistem [$R$-observability and $R$-controllability of linear algebra-differential systems]. Izv. Vuzov. Matem., 2012, No. 3, pp. 74–91 (in Russian).
     
  8. Shcheglova A. A., Petrenko P. S. Stabilizacija reshenij nelinejnyh differencial’no-algebraicheskih uravnenij [Stabilization of solutions of nonlinear differential algebraic equations]. Avtomat. Telemekh., 2015, No. 4, pp. 32–50 (in Russian).
     
  9. Petrenko P. S. Differential controllability of linear systems of differential-algebraic equations. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2017, Vol. 10, No. 3, pp. 320–329; DOI: 10.17516/1997-1397-2017-10-3-320-329
     
  10. Brenan K. E., Campbell S. L., Petzold L. R. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: SIAM, 1996; DOI: 10.1137/1.9781611971224
     
  11. Campbell S. L., Griepentrog E. Solvability of general differential algebraic equations. SIAM J. Sci. Stat. Comp., 1995, Vol. 16, No. 2, pp. 257–270; DOI: 10.1137/0916017
     
  12. Dai L. Singular Control System. Berlin—Heidelberg: Springer. 1989.
     
  13. Mehrmann V., Stykel T. Descriptor systems: a general mathematical framework for modelling, simulation and control. Automatisierungstechnik, 2006, Vol. 54, No. 8, pp. 405–415; DOI: 10.1524/auto.2006.54.8.405
     
  14. Adly S., Haddad T., Thibault L. Convex sweeping process in the framework of measure differential inclusions and evolution variational inequalities. Math. Program., 2014, Vol. 148, No. 1, pp. 5–47; DOI: 10.1007/s10107-014-0754-4
     
  15. Gantmacher F. R. Teorija matric [Theory of matrices]. Moscow: Nauka, 1988 (in Russian).
     
  16. Shcheglova A. A. Upravljaemost’ nelinejnyh algebro-differencial’nyh sistem [Controllability of nonlinear algebraic-differential systems]. Avtomat. Telemekh., 2008, No. 10, pp. 57–80 (in Russian).
     
  17. Rockafellar R. T. Convex Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970.
     
  18. Moreau J.-J. On unilateral constraints, friction and plasticity. New Variational Techn. Math. Phys., 1974, pp. 173–322.
     
  19. Moreau J. J. An introduction to unilateral dynamics. Novel Approaches in Civil Engrg., 2002, pp. 1–46.
     
  20. Krasnoselsky M. A., Pokrovsky A. V. Sistemy s gisterezisom [Systems with hysteresis]. Moscow: Nauka, 1983 (in Russian).