О нелокальных осцилляциях в трёхмерных моделях кольцевых генных сетей

О нелокальных осцилляциях в трёхмерных моделях кольцевых генных сетей

Глубоких А. В., Голубятников В. П.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 2(98), 34-42 (2024)
Скачать статью

УДК 517.938 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.203

Аннотация:

Построены динамические системы размерности три с блочно-линейными разрывными правыми частями, моделирующие простейший молекулярный осциллятор. В фазовом портрете каждой такой системы имеется единственная устойчивая стационарная точка и цикл, лежащий в дополнении к области притяжения этой точки. Других стационарных точек у таких систем нет.

Литература:
  1. Hastings S., Tyson J., Webster D. Existence of periodic solutions for negative feedback cellular control system // J. Differ. Equ. 1977. V. 25. P. 39–64.
     
  2. Banks H. T., Mahaffy J. M. Stability of cyclic gene models for systems involving repression // J. Theor. Biol. 1978. V. 74. P. 323–334.
     
  3. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Существование и устойчивость релаксационного цикла в математической модели репрессилятора // Матем. заметки. 2017. Т. 101, № 1. С. 58–67; DOI: 10.4213/mzm11039
     
  4. Golubyatnikov V. P., Kirillova N. E. On cycles in models of functioning of circular gene networks // J. Math. Sci. 2020. V. 246, N 6. P. 779–787; DOI: 10.1007/s10958-020-04780-7
     
  5. Golubyatnikov V. P., Minushkina L. S. Combinatorics and geometry of circular gene networks models // Vavilov J. Genet. Breed. 2020. V. 6, N 4. P. 188–192; DOI: 10.18699/Letters2020-6-24
     
  6. Golubyatnikov V. P., Minushkina L. S. On uniqueness and stability of a cycle in one gene network // Siberian Electron. Math. Rep. 2021. V. 1, N 1. P. 464–473; DOI: 10.33048/semi.2021.18.032
     
  7. Иванов В. В. Притягивающий предельный цикл модели нечётномерной кольцевой генной сети // Сиб. журн. индустр. матем. 2022. Т. 25, № 3. С. 25–32; DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.25.303
     
  8. Tchuraev R. N., Galimzyanov A. V. Modeling of actual eukaryotic control gene subnetworks based on the method of generalized threshold models // Mol. Biol. 2001. V. 35, N 6. P. 933–939.
     
  9. Tchuraev R. N. General principles of organization and laws of functioning in governing gene networks // Bioinformatics of Genome Regulation and Structure. 2006. P. 367–377.
     
  10. Böttner R., Bellmann K., Tchuraev R. N., Ratner V. A. Modelling of epigenetic networks composed of monogenetic units of gene expression, with reference to bacteriophage lambda development // Molecular Genetic Information Systems. 1983. P. 81–132.
     
  11. Аюпова Н. Б., Голубятников В. П., Волокитин Е. П. О нелокальных осцилляциях в моделях генных сетей // Математические заметки СВФУ. 2024. Т. 31, № 1. С. 7–20; DOI: 10.25587/2411-9326-2024-1-7-20
     
  12. Голубятников В. П., Иванов В. В., Минушкина Л. С. О существовании цикла в одной несимметричной модели кольцевой генной сети // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. 2018. Т. 18, № 3. C. 26–32; DOI: 10.17377/PAM.2018.18.4
     
  13. Аюпова Н. Б., Голубятников В. П. Об одном цикле в пятимерной модели кольцевой генной сети // Сиб. журн. индустр. матем. 2021. Т. 24, № 3. C. 19–29; DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.24.302
     
  14. Волокитин Е. П. О предельных циклах в простейшей модели гипотетической генной сети // Сиб. журн. индустр. матем. 2004. Т. 7, № 3. С. 57–65.
     
  15. Elowitz M. B., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature. 2000. V. 403. P. 335–338.
     
  16. Likhoshvai V. A., Kogai V. V., Fadeev S. I., Khlebodarova T. M. On the chaos in gene networks // J. Bioinform. Comput. Biol. 2013. V. 11. Article 1340009; DOI: 10.1142/S021972001340009X
     
  17. Golubyatnikov V. P., Akinshin A. A., Ayupova N. B., Minushkina L. S. Stratifications and foliations in phase portraits of gene network models // Vavilov J. Genet. Breed. 2022. V. 26, N 8. P. 758–764; DOI: 10.18699/VJGB-22-91
     
  18. Glass L., Pasternack J. S. Stable oscillations in mathematical models of biological control systems // J. Math. Biol. 1978. V. 6. P. 207–223.
     
  19. Казанцев М. В. О некоторых свойствах графов доменов динамических систем // Сиб. журн. индустр. матем. 2015. Т. 18, № 4. С. 42–49; DOI: 10.17377/sibjim.2015.18.405
     
  20. Golubyatnikov V. P., Gradov V. S. Non-uniqueness of cycles in piecewise-linear models of circular gene networks // Siberian Adv. Math. 2021. V. 31, N 1. С. 1–12; DOI: 10.3103/S1055134421010016
     
  21. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.
     
  22. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984.
     
  23. Dudkowski D., Jafari S., Kapitaniak T., Kuznetsov N. V., Leonov G.A., Prasad A. Hidden attractors in dynamical systems // Phys. Rep. 2016. V. 637. P. 1–50; DOI: 10.1016/j.physrep.2016.05.002
     
  24. Голубятников В. П. О неединственности циклов в трёхмерных моделях кольцевых генных сетей // Челяб. физ.-матем. журн. 2024. Т. 9, № 1. С. 23–34.
     
  25. Акиньшин А. А. Бифуркация Андронова—Хопфа для некоторых нелинейных уравнений с запаздыванием // Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 3. С. 3–15.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0009). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. В. Глубоких
  1. 1Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: a.glubokikh@g.nsu.ru

В. П. Голубятников
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: vladimir.golubyatnikov1@fulbrightmail.org

Статья поступила 01.12.2023 г.
После доработки — 11.03.2024 г.
Принята к публикации 17.04.2024 г.

Abstract:

We construct three-dimensional dynamical systems with piecewise block-linear discontinuous right-hand side that simulate the simplest molecular oscillators. The phase portrait of each of these systems contains a unique equilibrium point and a cycle lying in the complement of the basin of attraction of this point. There are no other equilibrium points in these phase portraits.

References:
  1. S. Hastings, J. Tyson, and D. Webster, “Existence of periodic solutions for negative feedback cellular control system,” J. Differ. Equ. 25, 39–64 (1977).
     
  2. H. T. Banks and J. M. Mahaffy, “Stability of cyclic gene models for systems involving repression,” J. Theor. Biol. 74, 323–334 (1978).
     
  3. S. D. Glyzin, A. Yu. Kolesov, and N. Kh. Rozov, “Existence and stability of the relaxation cycle in a mathematical repressilator model,” Math. Notes 101 (1), 71–86 (2017). https://doi.org/10.1134/S0001434617010072
     
  4. V. P. Golubyatnikov and N. E. Kirillova, “On cycles in models of functioning of circular gene networks,” J. Math. Sci. 246 (6), 779–787 (2020). https://doi.org/10.1007/s10958-020-04780-7
     
  5. V. P. Golubyatnikov and L. S. Minushkina, “Combinatorics and geometry of circular gene networks models,” Lett. Vavilov J. Genet. Breed. 6 (4), 188–192 (2020). https://doi.org/10.18699/Letters2020-6-24
     
  6. V. P. Golubyatnikov and L. S. Minushkina, “On uniqueness and stability of a cycle in one gene network,” Sib. Electron. Math. Rep. 1 (1), 464–473 (2021). https://doi.org/10.33048/semi.2021.18.032
     
  7. V. V. Ivanov, “Attracting limit cycle of the odd-dimensional ring gene network model,” Sib. Zh. Ind. Mat. 25 (3), 25–32 (2022) [in Russian]. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2021.25.303
     
  8. R. N. Tchuraev and A. V. Galimzyanov, “Modeling of actual eukaryotic control gene subnetworks based on the method of generalized threshold models,” Mol. Biol. 35 (6), 933–939 (2001).
     
  9. R. N. Tchuraev, “General principles of organization and laws of functioning in governing gene networks,” in Bioinformatics of Genome Regulation and Structure (2006), 367–377.
     
  10. R. Böttner, K. Bellmann, R. N. Tchuraev, and V. A. Ratner, “Modelling of epigenetic networks composed of monogenetic units of gene expression, with reference to bacteriophage lambda development,” in Molecular Genetic Information Systems (1983), 81–132.
     
  11. N. B. Ayupova, V. P. Golubyatnikov, and E. P. Volokitin, “On nonlocal oscillations in gene network models,” Mat. Zametki SVFU 31 (1), 7–20 (2024) [in Russian]. https://doi.org/10.25587/2411-9326-2024-1-7-20
     
  12. V. P. Golubyatnikov, V. V. Ivanov, and L. S. Minushkina, “On the existence of a cycle in one asymmetric model of a ring gene network,” Sib. Zh. Chist. Prikl. Mat. 18 (3), 26–32 (2018) [in Russian]. https://doi.org/10.17377/PAM.2018.18.4
     
  13. N. B. Ayupova and V. P. Golubyatnikov, “On one cycle in a five-dimensional model of a ring gene network,” Sib. Zh. Ind. Mat. 24 (3), 19–29 (2021) [in Russian]. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2021.24.302
     
  14. E. P. Volokitin, “On limit cycles in the simplest model of a hypothetical gene network,” Sib. Zh. Ind. Mat. 7 (30), 57–65 (2004) [in Russian].
     
  15. M. B. Elowitz and S. Leibler, “A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators,” Nature 403, 335–338 (2000).
     
  16. V. A. Likhoshvai, V. V. Kogai, S. I. Fadeev, and T. M. Khlebodarova, “On the chaos in gene networks,” J. Bioinf. Comput. Biol. 11, 1340009 (2013). https://doi.org/10.1142/S021972001340009X
     
  17. V. P. Golubyatnikov, A. A. Akinshin, N. B. Ayupova, and L. S. Minushkina, “Stratifications and foliations in phase portraits of gene network models,” Vavilov J. Genet. Breed. 26 (8), 758–764 (2022). https://doi.org/10.18699/VJGB-22-91
     
  18. L. Glass and J. S. Pasternack, “Stable oscillations in mathematical models of biological control systems,” J. Math. Biol. 6, 207–223 (1978).
     
  19. M. V. Kazantsev, “On some properties of domain graphs of dynamic systems,” Sib. Zh. Ind. Mat. 18 (4), 42–49 (2015) [in Russian].
     
  20. V. P. Golubyatnikov and V. S. Gradov, “Non-uniqueness of cycles in piecewise-linear models of circular gene networks,” Sib. Adv. Math. 31 (1), 1–12 (2021). https://doi.org/10.3103/S1055134421010016
     
  21. V. A. Pliss, Nonlocal Problems of the Theory of Oscillations (Nauka, Moscow, 1964) [in Russian].
     
  22. I. G. Petrovskii, Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1984) [in Russian].
     
  23. D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, and A. Prasad, “Hidden attractors in dynamical systems,” Phys. Rep. 637, 1–50 (2016). https://doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.002
     
  24. V. P. Golubyatnikov, “On the nonuniqueness of cycles in three-dimensional models of ring gene networks,” Chelyab. Fiz.-Mat. Zh. 9 (1), 23–24 (2024) [in Russian].
     
  25. A. A. Akinshin, “Andronov—Hopf bifurcation for some nonlinear equations with delay,” Sib. Zh. Ind. Mat. 16 (3), 3–15 (2013) [in Russian].