Вязкостное пальцеобразование в условиях сверхкритической флюидной экстракции: полидисперсный зернистый слой

Вязкостное пальцеобразование в условиях сверхкритической флюидной экстракции: полидисперсный зернистый слой

Саламатин А. А., Халиуллина А. С., Даутов Р. З.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 156-173 (2025)
Скачать статью

УДК 66.011 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.411

Аннотация:

Исследуется возможность образования промытых каналов (процесс пальцеобразования) при фильтрации раствора в условиях сверхкритической флюидной экстракции (СФЭ) из частиц молотого высокомасличного растительного сырья (семена). Фильтрация подчиняется закону Дарси при постоянной проницаемости. Вязкость раствора изменяется экспоненциально с концентрацией. Учитывается переменный во времени и пространстве межфазный массообмен, характерный для СФЭ. Он определяет изменение локальной концентрации раствора в поровом пространстве засыпки наряду с фильтрационным переносом. Рассмотрены типичные для реализованных технологий СФЭ времена, когда полного истощения сырья ещё не наблюдается. С применением методов замороженных коэффициентов, разделения переменных и нормальных мод показано, что для полидисперсного зернистого слоя процесс СФЭ является устойчивым к малым возмущениям, и образование пальцев маловероятно. В то же время идентифицировано сочетание параметров, при котором решение задачи перестаёт быть устойчивым. Однако такие режимы СФЭ не осуществляются на практике.

Литература:
  1. Гумеров Ф. М., Хайрутдинов В. Ф., Зарипов З. И. Дополнительное условие эффективности сверхкритического флюидного экстракционного процесса // Теорет. основы хим. технологии. 2021. Т. 55, № 23. С. 273–285; DOI: 10.31857/S0040357121030076
     
  2. del Valle J. M. Extraction of natural compounds using supercritical $CO_2$ Going from the laboratory to the industrial application // J. Supercrit. Fluids. 2015. V. 96. P. 180–199; DOI: 10.1016/j.supflu.2014.10.001
     
  3. Гилев П. В., Панин А. А. Фильтрация двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в тонком пороупругом слое // Сиб. журн. индустр. математики. 2024. Т. 27, № 2. С. 20–33; DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.202
     
  4. Tan C. T., Homsy G. M. Stability of miscible displacements in porous media: Rectilinear flow // Phys. Fluids. 1986. V. 29. P. 3549–3556; DOI: 10.1063/1.865832
     
  5. Tan C. T., Homsy G. M. Stability of miscible displacements in porous media: Radial source flow // Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 1239–1245; DOI: 10.1063/1.866289
     
  6. Tan C. T., Homsy G. M. Simulation of nonlinear viscous fingering in miscible displacement // Phys. Fluids. 1988. V. 31. P. 1330–1338; DOI: 10.1063/1.866726
     
  7. Hill S. Channeling in packed columns // Chem. Eng. Sci. 1952. V. 1. P. 247–253; DOI: 10.1016/0009-2509(52)87017-4
     
  8. Homsy G. M. Viscous fingering in porous media // Annu. Rev. Fluid Mech. 1987. V. 19. P. 271–311; DOI: 10.1146/ANNUREV.FL.19.010187.001415
     
  9. Kim M. C., Pramanik S. Miscible viscous fingering in a packed cylindrical column: Theory and numerics // Phys. Rev. Fluids. 2023. V. 8. Paper 013901; DOI: 10.1103/PHYSREVFLUIDS.8.013901
     
  10. Ladd A. J. C., Szymczak P. Reactive flows in porous media: Challenges in theoretical and numerical methods // Annu. Rev. Chem. Biomol. Eng. 2021. V. 12. P. 543–571; DOI: 10.1146/annurev-chembioeng-092920-102703
     
  11. Szymczak P., Ladd A. J. C. The initial stages of cave formation: Beyond the one-dimensional paradigm // Earth Planet. Sci. Lett. 2011. V. 301. P. 424–432; DOI: 10.1016/J.EPSL.2010.10.026
     
  12. Hinch E. J., Bhatt B. S. Stability of an acid front moving through porous rock // J. Fluid Mech. 1990. V. 212. P. 279–288; DOI: 10.1017/S0022112090001963
     
  13. De Wit A. Chemo-hydrodynamic patterns and instabilities // Annu. Rev. Fluid Mech. 2020. V. 52. P. 531–555; DOI: 10.1146/ANNUREV-FLUID-010719-060349
     
  14. Егоров А. Г., Саламатин А. А. Оптимизационные задачи в теории сверхкритической флюидной экстракции масла // Изв. вузов. Математика. 2015. Т. 59, № 2. С. 59–69; DOI: 10.3103/S1066369X15020073 
     
  15. Саламатин А. А., Халиуллина А. С., Калинина М. В. Вязкостное пальцеобразование в условиях сверхкритической флюидной экстракции // Теорет. основы хим. технологии. 2024. Т. 59. С. 243– 255; DOI: 10.31857/S0040357124020135
     
  16. Егоров А. Г., Мазо А. Б., Максудов Р. Н. Экстракция полидисперсного зернистого слоя молотых семян масличных культур сверхкритическим диоксидом углерода // Теорет. основы хим. технологии. 2010. Т. 44, С. 498–506.
     
  17. Саламатин А. А. Оценка влияния конвективной диффузии на кинетику сверхкритической флюидной экстракции из бидисперсных зернистых слоёв // Сверхкритические флюиды: теория и практика. 2016. Т. 11, № 4. С. 41–53.
     
  18. Саламатин А. А., Халиуллина А. С. Оценка параметров модели процесса сверхкритической флюидной экстракции методом Монте-Карло // Теорет. основы хим. технологии. 2022. Т. 56. С. 72–87; DOI: 10.31857/S0040357121060117
     
  19. del Valle J. M., de la Fuente J. C., Uquiche E. A refined equation for predicting the solubility of vegetable oils in high-pressure CO2 // J. Supercrit. Fluids. 2012. V. 67. P. 60–70; DOI: 10.1016/j.supflu.2012.02.004
     
  20. Саламатин А. А., Егоров А. Г., Халиуллина А. С. Характерные масштабы процесса сверхкритической флюидной экстракции // Теорет. основы хим. технологии. 2022. Т. 56, № 5. С. 615–626; DOI: 10.31857/S0040357122050207
     
  21. Goto M., Roy B. C., Hirose T. Shrinking-core leaching model for supercritical-fluid extraction // J. Supercrit. Fluids. 1996. V. 9. P. 128–133. DOI: 10.1016/S0896-8446(96)90009-1
     
  22. Salgin U., Korkmaz H. A green separation process for recovery of healthy oil from pumpkin seed // J. Supercrit. Fluids. 2011. V. 58. P. 239–248; DOI: 10.1016/j.supflu.2011.06.002
     
  23. Yener M. E., Kashulines P., Rizvi S. S. H., Harriott P. Viscosity measurement and modeling of lipidsupercritical carbon dioxide mixtures // J. Supercrit. Fluids. 1998. V. 11. P. 151–162; DOI: 10.1016/S0896-8446(97)00036-3 
     
  24. Tuan D. Q., Zollweg J. A., Harriott P., Rizvi S. S. H. Measurement and modeling of viscosity of supercritical carbon dioxide/biomaterial(s) mixtures // Ind. Eng. Chem. Res. 1999. V. 38. P. 2129– 2136; DOI: 10.1021/IE980363W
     
  25. Dindar C., Kiran E. High-pressure viscosity and density of polymer solutions at the critical polymer concentration in near-critical and supercritical fluids // Ind. Eng. Chem. Res. 2002. V. 41. P. 6354– 6362; DOI:10.1021/IE0108999
     
  26. Mertsch R., Wolf B. A. Solutions of poly(dimethylsiloxane) in supercritical $CO_2$: Viscometric and volumetric behavior // Macromolecules. 1994. V. 27. P. 3289–3294; DOI: 10.1021/MA00090A023
     
  27. Al-Gwaiz M. A. Sturm—Liouville theory and its applications. London: Springer London, 2007; DOI: 10.1007/978-1-84628-972-9
     
  28. Ascher U. M., Petzold L. R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and DifferentialAlgebraic Equations. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998; DOI: 10.1137/1.9781611971392
     
  29. Yortsos Y. C. Stability of displacement processes in porous media in radial flow geometries // Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 2928–2935; DOI: 10.1063/1.866070
     
  30. Hammerling R., Koch O., Simon C., Weinmuller E. B. Numerical solution of singular ODE eigenvalue problems in electronic structure computations // Comput. Phys. Commun. 2010. V. 181. P. 1557–1561; DOI: 10.1016/J.CPC.2010.05.006
     
  31. Brabston D. C., Keller H. B. Numerical Method for Singular Two Point Boundary Value Problems // SIAM J. Numerical Analysis. 1977. V. 14, N 5. P. 779–791; DOI: 10.1137/0714054
     
  32. Hickernell F. J., Yortsos Y. C. Linear stability of miscible displacement processes in porous media in the absence of dispersion // Stud. Appl. Math. 1986. V. 74. P. 93–115; DOI: 10.1002/SAPM198674293
     
  33. Kyle C. R., Perrine R. L. Experimental studies of miscible displacement instability // Soc. Pet. Eng. J. 1965. V. 5. P. 188–195; DOI: 10.2118/1113-PA
     
  34. Chang S. H., Slattery J. C. A linear stability analysis for miscible displacements // Transp. Porous Media. 1986. V. 1. P. 179–199; DOI: 10.1007/BF00714691

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 24-71-00047). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. А. Саламатин
  1. Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН, 
    ул. Лобачевского, 2/31, г. Казань 420111, Россия
  2. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 
    ул. Кремлёвская, 18, г. Казань 420008, Россия

E-mail: arthur.salamatin2@gmail.com 

А. С. Халиуллина
  1. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 
    ул. Кремлёвская, 18, г. Казань 420008, Россия

E-mail: anela_90@mail.ru 

Р. З. Даутов
  1. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 
    ул. Кремлёвская, 18, г. Казань 420008, Россия

E-mail: rafail.dautov@gmail.com 

Статья поступила 29.04.2025 г.
После доработки — 19.10.2025 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

The onset of fingering instability under supercritical fluid extraction (SFE) conditions is studied for packed beds of groud raw material with high initial oil content. Filtration under Darcy’s law at constant permeability of the packed bed is assumed. Solution viscosity depends on its concentration according to Arrhenius law. Significantly variable in space and time interfacial mass transfer typical for SFE is taken into account. The mass transfer and convective flow both affect local solute concentration in the pores of the packed bed. Characteristic times of industrially implemented SFE processes are considered, when depletion of the raw material does not take place. It is shown though the quasi steady state analysis and using the normal modes approach that the SFE from the polydisperse packed beds is stable to small perturbations. The finger formation should not be expected at time scales of the SFE process. At the same time, the conditions for loss of stability have been determined, which, however, are not typical for the industrially implemented SFE processes.

References:
  1. Gumerov F. M., Khairutdinov V. F., Zaripov Z. I. An additional condition of efficiency of the supercritical fluid extraction process. Theor. Found. Chem. Eng., 2021. Vol. 55, No. 23, pp. 348–358; DOI: 10.1134/S0040579521030076
     
  2. del Valle J. M. Extraction of natural compounds using supercritical $CO_2$: Going from the laboratory to the industrial application. J. Supercrit. Fluids, 2015, Vol. 96, pp. 180–199; DOI: 10.1016/j.supflu.2014.10.001
     
  3. Gilev P. V., Panin A. A. Fil’tratsiya dvukh nesmeshivayushchikhsya neszhimaemykh zhidkostei v tonkom porouprugom sloe [Filtration of two immiscible incompressible liquids in a thin poroelastic layer]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2024, Vol. 27, No. 2, pp. 20–33 (in Russian); DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.202
     
  4. Tan C. T., Homsy G. M. Stability of miscible displacements in porous media: Rectilinear flow. Phys. Fluids, 1986, Vol. 29, pp. 3549–3556; DOI: 10.1063/1.865832
     
  5. Tan C. T., Homsy G. M. Stability of miscible displacements in porous media: Radial source flow. Phys. Fluids, 1987, Vol. 30, pp. 1239–1245; DOI: 10.1063/1.866289
     
  6. Tan C. T., Homsy G. M. Simulation of nonlinear viscous fingering in miscible displacement. Phys. Fluids, 1988, Vol. 31, pp. 1330–1338; DOI: 10.1063/1.866726
     
  7. Hill S. Channeling in packed columns. Chem. Eng. Sci., 1952, Vol. 1, pp. 247–253; DOI: 10.1016/0009-2509(52)87017-4
     
  8. Homsy G. M. Viscous fingering in porous media. Annu. Rev. Fluid Mech., 1987, Vol. 19, pp. 271–311; DOI: 10.1146/ANNUREV.FL.19.010187.001415
     
  9. Kim M. C., Pramanik S. Miscible viscous fingering in a packed cylindrical column: Theory and numerics. Phys. Rev. Fluids, 2023, Vol. 8, Article number 013901; DOI: 10.1103/PHYSREVFLUIDS.8.013901
     
  10. Ladd A. J. C., Szymczak P. Reactive flows in porous media: Challenges in theoretical and numerical methods. Annu. Rev. Chem. Biomol. Eng., 2021, Vol. 12, pp. 543–571; DOI: 10.1146/annurev-chembioeng-092920-102703 
     
  11. Szymczak P., Ladd A. J. C. The initial stages of cave formation: Beyond the one-dimensional paradigm. Earth Planet. Sci. Lett., 2011, Vol. 301, pp. 424–432; DOI: 10.1016/J.EPSL.2010.10.026
     
  12. Hinch E. J., Bhatt B. S. Stability of an acid front moving through porous rock. J. Fluid Mech., 1990, Vol. 212, pp. 279–288; DOI: 10.1017/S0022112090001963
     
  13. De Wit A. Chemo-hydrodynamic patterns and instabilities. Annu. Rev. Fluid Mech., 2020, Vol. 52, pp. 531–555; DOI: 10.1146/ANNUREV-FLUID-010719-060349
     
  14. Egorov A. G., Salamatin A. A. Optimization problems in a theory of supercritical fluid extraction of oil. Russ. Math., 2015, Vol. 59, pp. 48–56; DOI: 10.3103/S1066369X15020073
     
  15. Salamatin A. A., Haliullina A. S., Kalinina M. V. Viscous fingering in supercritical fluid extraction. Theor. Found. Chem. Eng., 2024, Vol. 58, pp. 1193–1205; DOI: 10.31857/S0040357124020135
     
  16. Egorov A. G., Mazo A. B., Maksudov R. N. Extraction from a polydisperse granular layer of milled oilseeds with supercritical carbon dioxide. Theor. Found. Chem. Eng., 2010, Vol. 44, pp. 642–650; DOI: 10.1134/S0040579510050027
     
  17. Salamatin A. A. Estimation of the axial dispersion effect on supercritical fluid extraction from bidisperse packed beds. Russ. J. Phys. Chem. B., 2017, Vol. 11, pp. 1180–1187; DOI: 10.1134/S1990793117070156
     
  18. Salamatin A. A., Haliullina A. S. Evaluation of supercritical fluid extraction model parameters by Monte-Carlo methods. Theor. Found. Chem. Eng., 2022, Vol. 56, pp. 69–83; DOI: 10.1134/S0040579521060117
     
  19. del Valle J. M., de la Fuente J. C., Uquiche E. A refined equation for predicting the solubility of vegetable oils in high-pressure $CO_2$. J. Supercrit. Fluids, 2012, Vol. 67, pp. 60–70; DOI: 10.1016/j.supflu.2012.02.004
     
  20. Salamatin A. A., Egorov A. G., Haliullina A. S. Characteristic scales of the supercritical fluid extraction process. Theor. Found. Chem. Eng., 2022, Vol. 56, pp. 742–753; DOI: 10.1134/S0040579522050384
     
  21. Goto M., Roy B. C., Hirose T. Shrinking-core leaching model for supercritical-fluid extraction. J. Supercrit. Fluids, 1996, Vol. 9, pp. 128–133; DOI: 10.1016/S0896-8446(96)90009-1
     
  22. Salgin U., Korkmaz H. A green separation process for recovery of healthy oil from pumpkin seed. J. Supercrit. Fluids, 2011, Vol. 58, pp. 239–248; DOI: 10.1016/j.supflu.2011.06.002
     
  23. Yener M. E., Kashulines P., Rizvi S. S. H., Harriott P. Viscosity measurement and modeling of lipidsupercritical carbon dioxide mixtures. J. Supercrit. Fluids, 1998, Vol. 11, pp. 151–162; DOI: 10.1016/S0896-8446(97)00036-3 
     
  24. Tuan D. Q., Zollweg J. A., Harriott P., Rizvi S. S. H. Measurement and modeling of viscosity of supercritical carbon dioxide/biomaterial(s) mixtures. Ind. Eng. Chem. Res., 1999, Vol. 38, pp. 2129– 2136; DOI: 10.1021/IE980363W
     
  25. Dindar C., Kiran E. High-pressure viscosity and density of polymer solutions at the critical polymer concentration in near-critical and supercritical fluids. Ind. Eng. Chem. Res., 2002, Vol. 41, pp. 6354– 6362; DOI:10.1021/IE0108999
     
  26. Mertsch R., Wolf B. A. Solutions of poly(dimethylsiloxane) in supercritical $CO_2$: Viscometric and volumetric behavior. Macromolecules, 1994, Vol. 27, pp. 3289–3294; DOI: 10.1021/MA00090A023
     
  27. Al-Gwaiz M. A. Sturm—Liouville theory and its applications. London: Springer London, 2007; DOI: 10.1007/978-1-84628-972-9
     
  28. Ascher U. M., Petzold L. R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998; DOI: 10.1137/1.9781611971392
     
  29. Yortsos Y. C. Stability of displacement processes in porous media in radial flow geometries. Phys. Fluids, 1987, Vol. 30, pp. 2928–2935; DOI: 10.1063/1.866070
     
  30. Hammerling R., Koch O., Simon C., Weinmuller E. B. Numerical solution of singular ODE eigenvalue problems in electronic structure computations. Comput. Phys. Commun., 2010, Vol. 181, pp. 1557–1561; DOI: 10.1016/J.CPC.2010.05.006
     
  31. Brabston D. C., Keller H. B. Numerical Method for Singular Two Point Boundary Value Problems. SIAM J. Numerical Analysis, 1977, Vol. 14, No. 5, pp. 779–791; DOI: 10.1137/0714054
     
  32. Hickernell F. J., Yortsos Y. C. Linear stability of miscible displacement processes in porous media in the absence of dispersion. Stud. Appl. Math., 1986, Vol. 74, pp. 93–115; DOI: 10.1002/SAPM198674293
     
  33. Kyle C. R., Perrine R. L. Experimental studies of miscible displacement instability. Soc. Pet. Eng. J., 1965, Vol. 5, pp. 188–195; DOI: 10.2118/1113-PA
     
  34. Chang S. H., Slattery J. C. A linear stability analysis for miscible displacements. Transp. Porous Media, 1986, Vol. 1, pp. 179–199; DOI: 10.1007/BF00714691