Преобразования Бэклунда релятивистского уравнения Шредингера

Преобразования Бэклунда релятивистского уравнения Шредингера

Нещадим М. В., Симонов А. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 109-124 (2023)
Скачать статью

УДК 517.9 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.408

Аннотация:

Исследуется система уравнений, которая получена на основе релятивистского уравнения Шредингера и связывает функции потенциала, амплитуды и фазы. Методами теории совместности систем дифференциальных уравнений в частных производных находятся вполне интегрируемые системы, связывающие только две функции из указанных трёх. Найденные системы связаны преобразованиями Бэклунда.

Литература:
  1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
     
  2. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.
     
  3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
     
  4. Виноградов А. М. Симметрии и законы сохранений уравнений математической физики. М.: Факториал, 1997.
     
  5. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
     
  6. Ибрагимов Н. Х., Шабат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Бэклунда // Функц. анализ и его прил. 1980. Т. 14, № 1. С. 25–36.
     
  7. Ибрагимов Н. Х., Шабат А. Б. О бесконечных алгебрах Ли-Бэклунда // Функц. анализ и его прил. 1980. Т. 14, № 4. С. 79–80.
     
  8. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.
     
  9. Виноградов А. М. Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление. М.: МЦНМО, 2021.
     
  10. Miura R. M. Backlund transformations. Lecture Notes in Mathematics, V. 515. Heidelberg: Springer, 1976.
     
  11. Жаринов В. В. О соответствии Бэклунда // Матем. сб. 1988. Т. 136, № 2. С. 274–291.
     
  12. Жаринов В. В. О соответствии Бэклунда для эволюционных уравнений в многомерном пространстве // Теор. и мат. физика. 2006. Т. 147, № 1. С. 3–13.
     
  13. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.
     
  14. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
     
  15. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Обобщённое преобразование Коула-Хопфа // Сиб. журн. индустр. матем. 2018. Т. 21, № 3. С. 18–25; DOI: 10.17377/sibjim.2018.21.302
     
  16. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Метод дифференциальных связей и нелинейные обратные задачи. Сиб. журн. индустр. матем. 2015. Т. 18, № 2. С. 36–47.
     
  17. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод “прогонки” для решения разностных уравнений // Введение в теорию разностных схем. 1962. С. 283–309.
     
  18. Аккуратов Г. В., Дмитриев В. И. Метод расчёта поля установившихся упругих колебаний в слоистой среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 2. С. 272–286.
     
  19. Фатьянов А. Г., Михайленко Б. Г. Метод расчёта нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах // Доклады РАН. 1988. Т. 301, № 4. С. 834–839.
     
  20. Каpчевcкий А. Л. Аналитичеcкое pешение уpавнений Макcвелла в чаcтотной облаcти для гоpизонтально-cлоиcтыx анизотpопныx cpед // Геология и Геофизика. 2007. Т. 48, № 8. С. 889– 898.
     
  21. Карчевский А. Л. Аналитические решения дифференциального уравнения поперечных колебаний кусочно-однородной балки в частотной области для краевых условий любого вида // Сиб. журн. индустр. матем. 2020. Т. 23, № 4. С. 48–68
     
  22. Konopelchenko B. G. The group structure of Backlund transformations // Phys. Lett. A. 1979. V. 74, N 3–4. P. 189–192.
     
  23. Sasaki R. Canonical structure of Backlund transformations // Phys. Lett. A. 1980. V. 78, N 5–6. P. 7–10.
     
  24. Konopelchenko B. G. Elementary Backlund transformations, nonlinear superposition principle and solution of the integrable equations // Phys. Lett. A. 1982. V. 87, N 9. P. 445–448.
     
  25. Kuznetsov V. B., Sklyanin E. K. On Backlund transformations for many-body systems // J. Physics A. 1998. V. 31, N 9. P. 2241–2251.
     
  26. Белоусов Н. М. Преобразование Бэклунда для нелинейного уравнения Шредингера // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2020. Т. 494. С. 6–22.
     
  27. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры. М.: МЦНМО, 2005.
     
  28. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Теоретическая физика. Квантовая электродинамика, Т. IV. Издание 4-е, исправленное. М.: Физматлит, 2002.
     
  29. Нещадим М. В. Преобразования Бэклунда для одномерного уравнения Шредингера // Сиб. журн. индустр. матем. 2021. Т. 24, № 2. C. 116–125; DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.24.209
     
  30. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИИТЛ, 1948.
     
  31. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983.
     
  32. Нещадим М. В., Чупахин А. П. Частично-инвариантные решения кубического уравнения Шредингера // Вестник УдГУ. 2008. № 3. C. 35–41.
     
  33. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Algebraic-Analytic Methods for Constructing Solutions to Differential Equations and Inverse Problems // J. Math. Sci. 2016. V. 215, N 4. P. 444–459.
     
  34. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Representations for the solutions and coefficients of second-order differential equations // J. Appl. Ind. Math. 2013. V. 7, N 1. P. 1–7.
     
  35. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Представления решений и коэффициентов эволюционных уравнений // Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 2. C. 40–49.
     
  36. Нещадим М. В. Обратная задача теории совместимости и функционально-инвариантные решения волнового уравнения в двумерном пространстве // Вест. ЮУрГУ. Сер. матем. моделир. и программир. 2012. № 14. С. 99–107.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных научных исследований Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0009).

М. В. Нещадим
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: neshch@math.nsc.ru

А. А. Симонов
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: a.simonov@g.nsu.ru

Статья поступила 23.07.2023 г.
После доработки — 12.10.2023 г.
Принята к публикации 01.11.2023 г.

Abstract:

We study the system of equations obtained on the basis of the relativistic Schrodinger equation and relating the potential, amplitude, and phase functions. Using the methods of the theory of consistency of systems of partial differential equations, we obtain completely integrable systems that relate only two functions of the above three. The systems found are related by Backlund transformations.

References:
  1. L. V. Ovsyannikov, Group Analysis of Differential Equations (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
     
  2. N. Kh. Ibragimov, Transformation Groups in Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1983) [in Russian].
     
  3. P. J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations (Springer, New York—Berlin— Heidelberg—Tokyo, 1986; Mir, Moscow, 1989).
     
  4. A. M. Vinogradov, Symmetries and Conservation Laws of Equations of Mathematical Physics (Faktorial, Moscow, 1997) [in Russian].
     
  5. A. F. Sidorov, V. P. Shapeev, and N. N. Yanenko, The differential Constraint Method and Application in Gas Dynamics (Nauka, Novosibirsk, 1984) [in Russian].
     
  6. N. Kh. Ibragimov and A. B. Shabat, “Evolution equations with a nontrivial Lie—Backlund group,” Funkts. Anal. Pril. 14 (1), 25–36 (1980) [in Russian].
     
  7. N. Kh. Ibragimov and A. B. Shabat, “On infinite Lie—Backlund algebras,” Funkts. Anal. Pril. 14 (4), 79–80 (1980) [in Russian].
     
  8. A. M. Vinogradov, I. S. Krasil’shchik, and V. V. Lychagin, Introduction to the Geometry of Nonlinear Differential Equations (Nauka, Moscow, 1983) [in Russian].
     
  9. A. M. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus (MTsNMO, Moscow, 2021) [in Russian].
     
  10. R. M. Miura, Backlund Transformations. Lect. Notes Math., Vol. 515 (Springer, Heidelberg, 1976).
     
  11. V. V. Zharinov, “On Backlund correspondences,” Math. USSR-Sb. 64 (1), 277–293 (1989).
     
  12. V. V. Zharinov, “Backlund correspondences for evolution equations in a multidimensional space,” Theor. Math. Phys. 147 (1), 449–459 (2006).
     
  13. M. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform (SIAM, Philadelphia, 1981; Mir, Moscow, 1987).
     
  14. O. V. Kaptsov, Methods for Integrating Partial Differential Equations (Fizmatlit, Moscow, 2009) [in Russian].
     
  15. Yu. E. Anikonov and M. V. Neshchadim, “Generalized Cole—Hopf transformation,” Sib. Zh. Ind. Mat. 21 (3), 18–25 (2018) https://doi.org/10.17377/sibjim.2018.21.302 [J. Appl. Ind. Math. 12 (3), 409–416 (2018) https://doi.org/10.1134/S199047891803002X]. 
     
  16. Yu. E. Anikonov and M. V. Neshchadim, “The method of differential relations and nonlinear inverse problems,” Sib. Zh. Ind. Mat. 18 (2), 36–47 (2015) [in Russian].
     
  17. I. M. Gel’fand and O. V. Lokutsievskii, “The “sweep” method for solving difference equations,” in Introduction to the Theory of Difference Schemes (1962), pp. 283–309 [in Russian].
     
  18. G. V. Akkuratov and V. I. Dmitriev, “Method for calculating the field of steady elastic vibrations in a layered medium,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 24 (2) 272–286 (1984) [U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 24 (1), 166–176 (1984)].
     
  19. A. G. Fat’yanov and B. G. Mikhailenko, “Method for calculating unsteady wave fields in inelastic layered inhomogeneous media,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 301 (4), 834–839 (1988) [in Russian].
     
  20. A. L. Karchevsky, “Analytical solution of Maxwell’s equations in the frequency domain for horizontally layered anisotropic media,” Geol. Geophys. 48 (8), 889–898 (2007) [in Russian].
     
  21. A. L. Karchevsky, “Analytical solutions to the differential equation of transverse vibrations of a piecewise homogeneous beam in the frequency domain for the boundary conditions of various types,” Sib. Zh. Ind. Mat. 23 (4), 48–68 (2020) [J. Appl. Industrial. Math. 14 (4), 648–665 (2020)].
     
  22. B. G. Konopelchenko, “The group structure of Backlund transformations,” Phys. Lett. A 74 (3–4), 189–192 (1979).
     
  23. R. Sasaki, “Canonical structure of Backlund transformations,” Phys. Lett. A 78 (5–6), 7–10 (1980).
     
  24. B. G. Konopelchenko, “Elementary Backlund transformations, nonlinear superposition principle and solution of the integrable equations,” Phys. Lett. A 87 (9), 445–448 (1982).
     
  25. V. B. Kuznetsov and E. K. Sklyanin, “On Backlund transformations for many-body systems,” J. Phys. A 31 (9), 2241–2251 (1998).
     
  26. N. M. Belousov, “Backlund transformation for the nonlinear Schrodinger equation,” Zap. Nauchn. Semin. POMI 494, 6–22 (2020) [in Russian].
     
  27. T. Miwa, M. Jimbo, and E. Date, Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebras (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000; MTsNMO, Moscow, 2005).
     
  28. V. B. Berestetsky, E. M. Lifshits, and L. P. Pitaevsky, Theoretical Physics. Quantum Electrodynamics, Vol. IV (Fizmatlit, Moscow, 2002) [in Russian].
     
  29. M. V. Neshchadim, “Backlund transformations for the one-dimensional Schrodinger equation,” Sib. Zh. Ind. Mat. 24 (2), 116–125 (2021) https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2021.24.209 [J. Appl. Ind. Math. 15 (2), 307–314 (2021) https://doi.org/10.1134/S1990478921020125].
     
  30. S. P. Finikov, Cartan Method of Exterior Forms (GIITL, Moscow—Leningrad, 1948) [in Russian].
     
  31. J. F. Pommaret, Systems of Partial Differential Equations and Lie Pseudogroups (CRC Press, New York, 1978; Mir, Moscow, 1983).
     
  32. M. V. Neshchadim and A. P. Chupakhin, “Partially invariant solutions of the cubic Schrodinger equation,” Vestn. UdGU (3), 35–41 (2008) [in Russian].
     
  33. Yu. E. Anikonov and M. V. Neshchadim, “Algebraic-analytic methods for constructing solutions to differential equations and inverse problems,” J. Math. Sci. 215 (4), 444–459 (2016).
     
  34. Yu. E. Anikonov and M. V. Neshchadim, “Representations for the solutions and coefficients of secondorder differential equations,” J. Appl. Ind. Math. 7 (1), 1–7 (2013).
     
  35. Yu. E. Anikonov and M. V. Neshchadim, “Representations for the solutions and coefficients of evolution equations,” Sib. Zh. Ind. Mat. 16 (2), 40–49 (2013) [J. Appl. Ind. Math. 7 (3), 326–334 (2013)].
     
  36. M. V. Neshchadim, “Inverse problem of consistency theory and functionally invariant solutions of the wave equation in two-dimensional space,” Vestn. YuUrGU. Ser. Mat. Model. Program. (14), 99–107 (2012) [in Russian].