Аналитическое решение задачи о схлопывании присоединённой каверны после кавитационного удара круглого диска

Аналитическое решение задачи о схлопывании присоединённой каверны после кавитационного удара круглого диска

Норкин М. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 1(93), 118-131 (2023)
Скачать статью

УДК 519.634 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.111

Аннотация:

Рассматривается осесимметричная задача о вертикальном отрывном ударе круглого диска, герметично закрывающего дно бассейна, имеющего форму слоя. После удара диск движется вдоль вектора силы тяжести (вне слоя) с постоянной скоростью. При этом предполагается, что диск скользит вдоль твёрдых цилиндрических стенок как поршень. Особенностью этой задачи является то, что после удара образуется присоединённая каверна и появляется новая внутренняя свободная граница жидкости. Требуется изучить процесс схлопывания каверны при малых скоростях движения диска, которые соответствуют небольшим числам Фруда. В главном асимптотическом приближении формулируется задача с односторонними ограничениями, на основе которой определяется динамика линии отрыва и описывается процесс схлопывания каверны с учётом подьема внутренней свободной границы жидкости. При помощи метода разделения переменных в цилиндрических координатах и техники парных интегральных уравнений данная задача сводится к связанной нелинейной проблеме, включающей в себя трансцендентное уравнение для определения радиуса круговой линии отрыва и интегральное уравнение Фредгольма второго рода с гладким ядром. Показывается хорошее согласование аналитических результатов, полученных для большой толщины слоя, с прямыми численными расчётами.

Литература:
  1. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966.
     
  2. Норкин М. В. Движение прямоугольного цилиндра в жидкости после удара на малых временах с образованием каверны // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. T. 23, № 2. C. 106–118; doi.org/10.33048/SIBJIM.2020.23.208
     
  3. Норкин М. В. Динамика точек отрыва при ударе плавающего кругового цилиндра // Прикл. механика и техн. физика. 2019. Т. 60, № 5. С. 19–27; doi.org/10.15372/PMTF20190503
     
  4. Лионс Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
     
  5. Поляков Н. В., Гоман О. Г., Катан В. А. К вопросу об ударном взаимодействии тела и жидкости со свободной поверхностью при наличии отрыва // Докл. НАН Украины. 2016. № 8. С. 46–52; doi.org/10.15407/dopovidi2016.08.046
     
  6. Голиков А. Е., Макаренко Н. И. Гидродинамические нагрузки при разгоне цилиндра под свободной поверхностью // Прикл. механика и техн. физика. 2022. Т. 63, № 5. С. 89–99; DOI: 10.15372/PMTF20220509
     
  7. Reinhard M., Korobkin A. A., Cooker M. J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration// J. Engrg. Math. 2016. V. 96, N 1. P. 155–174; doi.org/10.1007/s10665-015-9788-8
     
  8. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder// J. Engrg. Math. 2011. V. 70. P. 239-254; doi.org/10.1007/s10665-010-9416-6
     
  9. Юдович В. И. Однозначная разрешимость задачи об ударе с отрывом твердого тела о неоднородную жидкость // Владикавказ. мат. журн. 2005. Т. 7, № 3. С. 79–91; http://mi.mathnet.ru/vmj168
     
  10. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977.
     
  11. Вирченко Н. А. Парные (тройные) интегральные уравнения. Киев: Выща школа, 1989. 
     
  12. Mandal B. N., Mandal N. Advances in Dual Integral Equations. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 1999. 
     
  13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974.
     
  14. Ворович И. И., Юдович В. И. Удар круглого диска о жидкость конечной глубины // Прикл. математика и механика. 1957. Т. 21, № 4. C. 525–532.
     
  15. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элеметов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2008.
М. В. Норкин
  1. Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук, 
    ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону 344090, Россия

E-mail: norkinmi@mail.ru

Статья поступила 10.11.2021 г. 
После доработки — 08.12.2021 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

We consider the axisymmetric problem of the vertical separation impact of a circular disk that hermetically closes the bottom of a pool in the form of a layer. After the impact, the disk moves along the gravity vector (outside the layer) at a constant speed. In this case, it is assumed that the disc slides along the solid cylindrical walls like a piston. A feature of this problem is that after the impact, an attached cavity is formed and a new internal free boundary of the fluid appears. It is required to study the process of collapse of the cavity at low velocities of the disk, which correspond to small Froude numbers. In the leading asymptotic approximation, a problem with one-sided constraints is formulated, on the basis of which the dynamics of the separation line is determined and the process of collapse of the cavity is described taking into account the rise of the internal free boundary of the liquid. Using the method of separating variables in cylindrical coordinates and the technique of paired integral equations, this problem is reduced to a coupled nonlinear problem that includes a transcendental equation for determining the radius of a circular separation line and av Fredholm integral equation of the second kind with a smooth kernel. A good agreement of analytical results obtained for a large layer thickness with direct numerical calculations is shown.

References:
  1. Sedov L. I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aerodinamiki [Two-dimensional problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow: Nauka, 1966 (in Russian).
     
  2. Norkin M. V. The movement of a rectangular cylinder in a liquid at short times after impact with formation of a cavity. J. Appl. Indust. Math., 2020, Vol. 14, No. 2, pp. 385–395; doi.org/10.1134/S1990478920020155
     
  3. Norkin M. V. Dynamics of separation points upon impact of a floating circular cylinder. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2019, Vol. 60, No. 5, pp. 798–804; doi.org/10.1134/S0021894419050031
     
  4. Lions J. L. Optimal’noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi [Optimal control of systems described by partial differential equations]. Moscow: Mir, 1972 (in Russian).
     
  5. Polyakov N. V., Goman O. G., Katan V. A. K voprosu ob udarnom vzaimodeistvii tela i zhidkosti so svobodnoi poverkhnost’yu pri nalichii otryva [Impact interaction of a solid and a fluid with a free surface in the presence of separation]. Dokl. Nats. Akad. Nauk Ukrainy, 2016, No. 8, pp. 46–52 (in Russian); doi.org/10.15407/dopovidi2016.08.046
     
  6. Golikov A. E., Makarenko N. I. Gidrodinamicheskie nagruzki pri razgone tsilindra pod svobodnoi poverkhnost’yu [Hydrodynamic loads during cylinder acceleration under a free surface]. Prikl. Mech. Tech. Phys., 2022, Vol. 63, No. 5, pp. 89–99 (in Russian); DOI: 10.15372/PMTF20220509
     
  7. Reinhard M., Korobkin A. A., Cooker M. J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration. J. Engrg. Math., 2016, Vol. 96, No. 1, pp. 155–174; doi.org/10.1007/s10665-015-9788-8
     
  8. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder. J. Engrg. Math., 2011, Vol. 70, pp. 239-254; doi.org/10.1007/s10665-010-9416-6
     
  9. Yudovoch V. I. Однозначная разрешимость задачи об ударе с отрывом твердого тела о неоднородную жидкость [One-valued solvability of a problem of a solid body impact on a inhomogeneous liquid]. Vladikavkaz. Mat. Zh., 2005, Vol. 7, No. 3, pp. 79–91 (in Russian); http://mi.mathnet.ru/vmj168
     
  10. Uflyand Ya. S. Metod parnykh uravnenii v zadachakh matematicheskoi fiziki [Method of pair equations in problems of mathematical physics]. Leningrad: Nauka, 1977 (in Russian).
     
  11. Virchenko N. A. Parnye (troinye) integral’nye uravneniya [Double (triple) integral equations]. Kiev: Vyshcha Shkola, 1989 (in Russian).
     
  12. Mandal B. N., Mandal N. Advances in Dual Integral Equations. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 1999. 
     
  13. Bateman H., Erdelyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]. Vol. 2. Moscow: Nauka, 1974 (in Russian).
     
  14. Vorovich I. I., Yudovich V. I. Udar kruglogo diska o zhidkost’ konechnoi glubiny [Impact round disc of finite depth fluid]. Prikl. Mat. Mekh., 1957, Vol. 21, No. 4, pp. 525–532 (in Russian).
     
  15. Zhukov M. Yu., Shiryaeva E. V. Ispol’zovanie paketa konechnykh elemetov FreeFem++ dlya zadach gidrodinamiki, elektroforeza i biologii [Application of software package of finite elements Freefem++ for problems of hydrodynamics, electrophoresis, and biology]. Rostov-on-Don: Izd. Yuzhn. Federal. Univ., 2008 (in Russian).