Определяющие уравнения анизотропной моментной линейной теории упругости и двумерная задача о чистом сдвиге со стеснённым вращением

Определяющие уравнения анизотропной моментной линейной теории упругости и двумерная задача о чистом сдвиге со стеснённым вращением

Аннин Б. Д., Остросаблин Н. И., Угрюмов Р. И.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 1(93), 5-19 (2023)
Скачать статью

УДК 539.3:517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.101

Аннотация:

Приводятся основные уравнения линейной моментной теории упругости. Определяющие соотношения записаны для случая произвольной анизотропии в виде линейных уравнений. Рассматриваются некоторые упрощённые варианты, в частности со стеснённым вращением, и плоская деформация при наличии только сдвиговых напряжений. Для несимметричных тензоров четвёртого ранга вводятся собственные модули и собственные состояния.

Литература:
  1. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твёрд. тела. 1960. Т. 2, № 7. С. 1399–2409.
     
  2. Кувшинский Е. В., Аэро Э. Л. Континуальная теория асимметричной упругости. Учёт «внутреннего» вращения // Физика твёрд. тела. 1963. Т. 5, № 9. С. 2591–2598.
     
  3. Койтер В. Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика. 1965. № 3. С. 89–112.
     
  4. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, № 3. С. 401–408.
     
  5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
     
  6. Купрадзе В. Д. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 
     
  7. Победря Б. Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твёрдого тела // Проблемы механики: К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 635–657.
     
  8. Победря Б. Е., Омаров С. Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 56–58.
     
  9. Никабадзе М. У. К построению собственных тензорных столбцов в микрополярной линейной теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2014. № 1. С. 30–39.
     
  10. Остросаблин Н. И. Классы симметрии тензоров анизотропии и обобщение подхода Кельвина // Прикл. механика и техн. физика. 2017. Т. 58, № 3. С. 108–129.
     
  11. Остросаблин Н. И. Общее решение двумерной системы статических уравнений Ламе линейной теории упругости с несимметричной матрицей модулей упругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21, № 1. С. 61–71.
     
  12. Емельянов А. Н. Эффективные характеристики в моментной теории упругости: Дис. ... канд. физ.- мат. наук. М., 2016.
     
  13. Никабадзе М. У. О связи тензоров напряжений и моментных напряжений в микроконтинуальной теории упругости. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 6. С. 59–62.
     
  14. Аннин Б. Д., Остросаблин Н. И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49, № 6. С. 131–151.
     
  15. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела // Физика твёрд. тела. 1964. Т. 6, № 9. С. 2689–2699.
     
  16. Никабадзе М. У. О задаче на собственные значения некоторых применяемых в механике тензоров и о числе существенных условий совместности деформаций Сен-Венана // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2017. № 3. С. 54–58.
     
  17. Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во Ленинград. гос. ун-та, 1978. 
     
  18. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
     
  19. Дуйшеналиев Т. Б. Неклассические решения механики деформируемого тела. М.: Изд-во МЭИ, 2017.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований СО РАН (проект 2.3.1.3.1).

Б. Д. Аннин
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: annin@hydro.nsc.ru

Н. И. Остросаблин
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: o.n.i@ngs.ru

Р. И. Угрюмов
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: riugryumov@mail.ru

Статья поступила 25.05.2022 г. 
После доработки — 25.05.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

The paper presents the equations of the linear moment theory of elasticity for the case of arbitrary anisotropy of material tensors of the fourth rank. Symmetric and skew-symmetric components are distinguished in the defining relations. Some simplified variants of linear defining relations are considered. The possibility of Cauchy elasticity is allowed when material tensors of the fourth rank do not have the main symmetry. For material tensors that determine force and moment stresses, eigenmodulus and eigenstates are introduced, which are invariant characteristics of an elastic moment medium. For the case of plane deformation and constrained rotation, an example of a complete solution of a two-dimensional problem is given when there are only shear stresses. For anisotropic and isotropic elastic media, the solutions turn out to be significantly different.

References:
  1. Aero E. L., Kuvshinskii E. V. Osnovnye uravneniya teorii uprugosti sred s vrashchatel’nym vzaimodeistviem chastits [Basic equations of the elasticity theory for media with rotatory interaction of particles]. Fizika Tverd. Tela, 1960, Vol. 2, No. 7, pp. 1399–2409 (in Russian).  
     
  2. Kuvshinskii E. V., Aero E. L. Kontinual’naya teoriya asimmetrichnoi uprugosti. Uchet «vnutrennego» vrashcheniya [Theory of continuum in the asymmetric elasticity. Considerations of the «internal» rotations]. Fizika tverd. tela, 1963, Vol. 5, No. 9, pp. 2591–2598 (in Russian).  
     
  3. Koiter V. T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Proc. Koninklijke Nederlandse Akad. van Wetenschappen, 1964, B. 67, No. 1, pp. 17–44.  
     
  4. Pal’mov V.A. Fundamental equations of the theory of asymmetric elasticity. J. Appl. Math. Mech., 1964, Vol. 28, No. 3, pp. 496–505.  
     
  5. Novatskii V. Teoria sprężystości. Warszawa, 1970, (in Polish).
     
  6. Kupradze V. D. Three-Dimensional Problems of Elasticity and Thermoelasticity. Elsevier, 2012.
     
  7. Pobedrya B. E. O teorii opredelyayushchikh sootnoshenii v mekhanike deformiruemogo tverdogo tela [On constitutive relations theory in solid mechanics]. Moscow: Fizmatlit, 2003, pp. 635–657 (in Russian).
     
  8. Pobedrya B. E., Omarov S. E. Opredelyayushchie sootnosheniya momentnoi teorii uprugosti [Constitutive relations of the moment theory of elasticity]. Vestn. MGU. Ser. 1. Matematika. Mekhanika, 2007, No. 3, pp. 56–58 (in Russian).  
     
  9. Nikabadze M. U. K postroeniyu sobstvennykh tenzornykh stolbtsov v mikropolyarnoi lineinoi teorii uprugosti [Construction of eigentensor columns in the linear micropolar theory of elasticity]. Vestn. MGU. Ser. 1. Matematika. Mekhanika, 2014, No. 1, pp. 30–39 (in Russian).
     
  10. Ostrosablin N. I. Symmetry classes of the anisotropy tensors of quasielastic materials and a generalized Kelvin approach. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2017, Vol. 58, No. 3, pp. 469–488.
     
  11. Ostrosablin N. I. General solution for the two-dimensional system of static lame’s equations with an asymmetric elasticity matrix. J. Appl. Indust. Math., 2018, Vol. 12, No. 1, pp. 126–135.
     
  12. Emel’yanov A. N. Effektivnye kharakteristiki v momentnoi teorii uprugosti: Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Effective characteristics in the moment theory of elasticity: Dis. ... cand. phys. math. sci.]. Moscow, 2016 (in Russian).
     
  13. Nikabadze M. U. Relation between the stress and couple-stress tensors in the microcontinuum theory of elasticity. MGU. Mech. Bull., 2011, Vol. 66, No. 6, pp. 141–143.
     
  14. Annin B. D., Ostrosablin N. I. Anisotropy of elastic properties of materials. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2008, Vol. 49, No. 6, pp. 998–1014.
     
  15. Aero E. L., Kuvshinskii E. V. Kontinual’naya teoriya asimmetricheskoi uprugosti. Ravnovesie izotropnogo tela [Theory of continuum in the asymmetric elasticity. Equilibrium of an isotropic body]. Fizika Tverd. Tela, 1964, Vol. 6, No. 9, pp. 2689–2699.
     
  16. Nikabadze M. U. An eigenvalue problem for tensors used in mechanics and the number of independent Saint-Venant strain compatibility conditions. MGU. Mech. Bull., 2017, Vol. 72, No. 3, pp. 66–69.
     
  17. Morozov N. F. Izbrannye dvumernye zadachi teorii uprugosti [Selected two-dimensional problems of elasticity theory]. Leningrad: Izd-vo Leningr. un-ta, 1978 (in Russian).
     
  18. Morozov N. F. Matematicheskie voprosy teorii treshchin [Mathematical problems of fracture theory]. Moscow: Nauka, 1984 (in Russian).
     
  19. Duishenaliev T. B. Neklassicheskie resheniya mekhaniki deformiruemogo tela [Non-classical solutions of solid mechanics]. Moscow: MEI Press, 2017.