Эффективный многосеточный метод решения задач высокочастотной вибрационной конвекции

Эффективный многосеточный метод решения задач высокочастотной вибрационной конвекции

Федюшкин А. И., Иванов К. А., Пунтус А. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 2(94), 171-187 (2023)
Скачать статью

УДК 519.63 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.214

Аннотация:

Описана реализация алгоритма решения задачи о вибрационной конвекции в прямоугольной области, заполненной неравномерно нагретой несжимаемой жидкостью. Математическая модель основана на решении уравнений Симоненко — Зеньковской, полученных осреднением уравнений Навье — Стокса в предположении, что объём жидкости совершает высокочастотные поступательные вибрации. Для решения уравнений Пуассона реализован алгебраический многосеточный метод в сочетании c высокоэффективным методом динамического программирования (на основе принципа оптимального управления Беллмана) и дискретным преобразованием Фурье. Разработано математическое программное обеспечение, написанное на языке С/С++. Приводятся примеры решения модельных задач с различными направлениями потока нагрева квадратной области относительно вектора вибраций.

Литература:
  1. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures // Philos. Trans. Royal Soc. 1831. N 121. P. 299–340.
     
  2. Lord Rayleigh On the circulation of air observed in Kundt’s tubes, and on some allied acoustical problems // Trans. Royal Soc. London. 1883. V. 175, N 1. P. 1–21.
     
  3. Gershuni G.Z., Lubimov D.V. Termal Vibrational Convection. John Willey & Sons, 1998.
     
  4. Гершуни Г.З. , Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 
     
  5. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5. С. 51–55.
     
  6. Farooq A., Homsy G.M. Streaming flows due to g-jitter-induced natural convection // J. Fluid Mech. 2006. V. 271. P. 351–378; DOI: https://doi.org/10.1017/S0022112094001801
     
  7. Zyuzgin A.V., Putin G.F., Kharisov A.F. Ground modeling of thermovibrational convection in real weightlessness // Fluid Dynamics. 2007. V. 42, N 3. P. 354–361.
     
  8. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Иванцов А.О. Влияние вибраций на гидродинамику расплава при выращивании кристаллов бесконтактным методом Бриджмена // Вычисл. механика сплошных сред. 2011. V. 4, N 4. P. 52–62; https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2011.4.4
     
  9. Аветисов И.Х., Жариков Е.В., Зиновьев А.Ю., Садовский А.П. Новый метод управления тепломассопереносом в расплаве при выращивании кристаллов по Чохральскому // Докл. АН. 2009. Т. 428, № 2. С. 177–179.
     
  10. Fedyushkin A.I., Bourago N.G., Polezhaev V.I., Zharikov E.V. The influence of vibration on hydrodynamics and heat-mass transfer during crystal growth // J. Crystal Growth. 2005. V. 275. P. e1557–e1563.
     
  11. Федюшкин А.И., Иванов К.А. Гидродинамика и теплообмен при вибрационных воздействиях на расплав в процессах выращивания монокристаллов, М., 2014. (Препринт ИПМех РАН, № 1085).
     
  12. Fedyushkin A.I., Burago N.G., Puntus A.A. Convective heat and mass transfer modeling under crystal growth by vertical Bridgman method // J. Phys. Conf. Ser. 2020. V. 1479. Article 012029; DOI: 10.1088/1742-6596/1479/1/012029
     
  13. Федюшкин А.И. Влияние управляемых вибраций на гидродинамику и теплоперенос при росте кристаллов методом Чохральского // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Тр. Межд. научн. конф., Воронеж, 17–19 декабря 2018 г., Воронеж, 2018. С. 955–962.
     
  14. Федюшкин А.И. Влияние вибраций на пограничные слои в задачах свободной и вынужденной конвекции // Материалы XIII Межд. конф. по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (AMMAI’2020), 6–13 сентября 2020 г., Алушта, 2020. С. 594–596; http://www.npnj.ru/files/npnj2020_web.pdf
     
  15. Федюшкин А.И. Влияния управляемых вибраций на гидродинамику и теплоперенос при росте кристаллов // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XX Межд. конф. (Ростов-на-Дону, 18–21 июня 2020 г.). Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во Южного фед. ун-та, 2020. С. 236–240; ISBN 978-5-9275-3486-9.
     
  16. Fedyushkin A.I. Heat and mass transfer during crystal growing by the Czochralski method with a submerged vibrator // J. Phys. Conf. Ser. 2019. V. 1359. Article 012054; DOI: 10.1088/1742- 6596/1359/1/012054
     
  17. Fedyushkin A.I. The effect of controlled vibrations on Rayleigh—Benard convection // J. Phys. Conf. Ser. 2021. V. 2057, N 1. Article 012012; DOI: 10.1088/1742-6596/2057/1/012012.
     
  18. Fedyushkin A.I. Numerical simulation of gas-liquid flows and boiling under effect of vibrations and gravity // J. Phys. Conf. Ser. 2020. Article 1479; DOI: 10.1088/1742-6596/1479/1/012094.
     
  19. Иванов К.А., Золотарёв А.А., Юрасов А.Н. Численные методы решения стационарных задач теплопроводности многосеточными методами. М.: изд. ВНИИгеосистем, 2021.
     
  20. Федюшкин А.И. Исследование матричного метода решения уравнений конвекции. Комплекс программ «МАРЕНА». М., 1990. (Препринт Ин-та прикл. математики; № 471).
     
  21. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т. 1, № 5. С. 922–927.
     
  22. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Методы расчёта нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесённых сетках // Мат. моделирование. 1996. Т. 8, № 7. С. 1–29.
     
  23. Волков К.Н., Дерюгин Ю.Н., Емельянов В.Н. и др. Методы ускорения газодинамических расчётов на неструктурированных сетках. М.: Физматлит, 2014.
     
  24. Ермаков М.К. Использование многосеточного метода в задачах физической механики // Физ.-хим. кинетика в газовой динамике. 2014. Т. 15, № 2; http://chemphys.edu.ru/issues/2014-15-2/articles/116/
     
  25. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.
     
  26. Davis de V.G., Jones I.P. Natural convection in square cavity: A comparison execise // Internat. J. Numer. Meth. Fluids. 1983. V. 3. Article 227.
     
  27. Патанкар С. Численные моды решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984.
     
  28. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.
     
  29. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.
     
  30. Иванов К.А. и др. Свидетельство № 2021668343 о государственной регистрации программы AliceFlow2D в российском Реестре программ для ЭВМ от 15.11.2021 г.
А. И. Федюшкин
  1. Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, 
    просп. Вернадского, 101, корпус 1, г. Москва 119526, Россия

E-mail: fai@ipmnet.ru

К. А. Иванов
  1. АО «НПП «Пульсар», 
    Окружной проезд, 27, г. Москва 105187, Россия

E-mail: kirill7785@mail.ru

А. А. Пунтус
  1. Московский авиационный институт, 
    Волоколамское шоссе, 4, г. Москва 125993, Россия

E-mail: artpuntus@yandex.ru

Статья поступила 29.08.2022 г. 
После доработки — 29.08.2022 г.
Принята к публикации 29.09.2022 г.

Abstract:

The paper describes an implemented algorithm for solving the problem of vibrational convection in a rectangular area filled with an unevenly heated incompressible fluid. The mathematical model is based on the solution of the Simonenko—Zenkovskaya equations obtained by averaging the Navier—Stokes equations under the assumption that the volume of liquid performs high-frequency translational vibrations. To solve the Poisson equations, an algebraic multigrid method is implemented in combination with a highly efficient dynamic programming method (based on the optimal control principle of R. Bellman) and discrete Fourier transform. Mathematical software written in C/C++ has been developed. Examples of solving model problems with different directions of the heating flow of a square region relative to the vibration vector are given.

References:
  1. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures. Philos. Trans. Royal Soc., 1831, No. 121, pp. 299–340.
     
  2. Lord Rayleigh On the circulation of air observed in Kundt’s tubes, and on some allied acoustical problems. Trans. Royal Soc. London, 1883, Vol. 175, No. 1, pp. 1–21.
     
  3. Gershuni G.Z., Lubimov D.V. Termal Vibrational Convection. John Willey & Sons, 1998.Ge
     
  4. rshuni G.Z. , Zhukhovitskii E.M., Nepomnyashchii A.A. Ustoichivost’ konvektivnykh techenii [Stability of convective currents]. Moscow: Nauka, 1989 (in Russian).Ze
     
  5. Zen’kovskaya S.M., Simoneneko I.B. O vliyanii vibratsii vysokoi chastoty na vozniknovenie konvektsii [About the influence of high frequency vibrations on the occurrence of convection]. Izv. AN SSSR. Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 1966, No. 5, pp. 51–55 (in Russian).
     
  6. Farooq A., Homsy G.M. Streaming flows due to g-jitter-induced natural convection. J. Fluid Mech., 2006, Vol. 271, pp. 351–378; DOI: https://doi.org/10.1017/S0022112094001801
     
  7. Zyuzgin A.V., Putin G.F., Kharisov A.F. Ground modeling of thermovibrational convection in real weightlessness. Fluid Dynamics, 2007, Vol. 42, No. 3, pp. 354–361.
     
  8. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Ivantsov A.O. Vliyanie vibratsii na gidrodinamiku rasplava pri vyrashchivanii kristallov beskontaktnym metodom Bridzhmena [The effect of vibrations on the hydrodynamics of the melt during crystal growth by the contactless Bridgman method]. Vychisl. Mekhanika Sploshnykh Sred, 2011, Vol. 4, No. 4, pp. 52–62 (in Russian); https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2011.4.4
     
  9. Avetisov I.Kh., Zharikov E.V., Zinov’ev A.Yu., Sadovskii A.P. Novyi metod upravleniya teplomassoperenosom v rasplave pri vyrashchivanii kristallov po Chokhral’skomu [A new method for controlling heat and mass transfer in a melt during crystal growth according to Chokhralsky]. Dokl. Akad. Nauk, 2009, Vol. 428, No. 2, pp. 177–179 (in Russian). Fed
     
  10. yushkin A.I., Bourago N.G., Polezhaev V.I., Zharikov E.V. The influence of vibration on hydrodynamics and heat-mass transfer during crystal growth. J. Crystal Growth, 2005, Vol. 275, pp. e1557–e1563.
     
  11. Fedyushkin A.I., Ivanov K.A. Gidrodinamika i teploobmen pri vibratsionnykh vozdeistviyakh na rasplav v protsessakh vyrashchivaniya monokristallov [Hydrodynamics and heat transfer under vibration effects on the melt in the processes of growing single crystals]. Moscow, 2014. (Preprint Institute of Applied Mechanics Russian Akad. Nauk, No. 1085) (in Russian).
     
  12. Fedyushkin A.I., Burago N.G., Puntus A.A. Convective heat and mass transfer modeling under crystal growth by vertical Bridgman method. J. Phys. Conf. Ser., 2020, Vol. 1479, article 012029; DOI: 10.1088/1742-6596/1479/1/012029
     
  13. Fedyushkin A.I. Vliyanie upravlyaemykh vibratsii na gidrodinamiku i teploperenos pri roste kristallov metodom Chokhral’skogo [The effect of controlled vibrations on hydrodynamics and heat transfer during crystal growth by the Chokhralsky method]. Proc. Internat. Conf. Actual Probl. Appl. Math., Comput. Sci. Mech. (Voronezh, December 17–19, 2018). Voronezh, 2018, pp. 955–962 (in Russian).
     
  14. Fedyushkin A.I. Vliyanie vibratsii na pogranichnye sloi v zadachakh svobodnoi i vynuzhdennoi konvektsii [Influence of vibrations on boundary layers in problems of free and forced convection]. Proc. XIII Internat. Conf. Appl. Math. Mech. Aerospace Industry (AMMAI’2020) ( Alushta, September 6–13, 2020). Moscow, 2020, pp. 594–596 (in Russian); http://www.npnj.ru/files/npnj2020_web.pdf
     
  15. Fedyushkin A.I. Effects of controlled vibrations on hydrodynamics and heat transfer during crystal growth [The effects of controlled vibrations on hydrodynamics and heat transfer dur-ing crystal growth]. Proc. XX Internat. Conf. Modern Problems of Continuum Mechanics (Rostov-on-Don, June 18-21, 2020). Rostov-on-Don; Taganrog: Southern Federal Univ. Press, 2020, Vol. 2, pp. 236–240; ISBN 978-5-9275-3488-3 (in Russian).
     
  16. Fedyushkin A.I. Heat and mass transfer during crystal growing by the Czochralski method with a submerged vibrator. J. Phys. Conf. Ser., 2019, Vol. 1359, article 012054; DOI: 10.1088/1742- 6596/1359/1/012054
     
  17. Fedyushkin A.I. The effect of controlled vibrations on Rayleigh—Benard convection. J. Phys. Conf. Ser., 2021, Vol. 2057, No. 1, article 012012; DOI: 10.1088/1742-6596/2057/1/012012.
     
  18. Fedyushkin A.I. Numerical simulation of gas-liquid flows and boiling under effect of vibrations and gravity. J. Phys. Conf. Ser., 2020, article 1479; DOI: 10.1088/1742-6596/1479/1/012094.
     
  19. Ivanov K.A., Zolotarev A.A., Yurasov A.N. Chislennye metody resheniya statsionarnykh zadach teploprovodnosti mnogosetochnymi metodami [Numerical methods for solving stationary heat conduction problems by multigrid methods]. Moscow: VNII geosistem Press, 2021 (in Russian).
     
  20. Fedyushkin A.I. Issledovanie matrichnogo metoda resheniya uravnenii konvektsii. Kompleks programm «MARENA» [Investigation of the matrix method for solving convection equations. A set of programs «MADDER»]. Moscow, 1990. (Preprint In-ta Prikl. Mat., No. 471) (in Russian).
     
  21. Fedorenko R.P. Relaksatsionnyi metod resheniya raznostnykh ellipticheskikh uravnenii [Relaxation method for solving difference elliptic equations]. Zhurn. Vychisl. Matematiki i Mat. Fiziki, 1961, Vol. 1, No. 5, pp. 922–927 (in Russian).
     
  22. Vabishchevich P.N., Pavlov A.N., Churbanov A.G. Metody rascheta nestatsionarnykh neszhimaemykh techenii v estestvennykh peremennykh na neraznesennykh setkakh [Methods for calculating unsteady incompressible flows in natural variables on non-weighted grids]. Mat. Model., 1996, Vol. 8, No. 7, pp. 1–29 (in Russian).
     
  23. Volkov K.N., Deryugin Yu.N., Emel’yanov V.N. i dr. Metody uskoreniya gazodinamicheskikh raschetov na nestrukturirovannykh setkakh [Methods for accelerating gas-dynamic calculations on unstructured grids.]. Moscow: Fizmatlit, 2014 (in Russian).
     
  24. Ermakov M.K. Ispol’zovanie mnogosetochnogo metoda v zadachakh fizicheskoi mekhaniki [Using the multigrid method in problems of physical mechanics]. Phys.-Chem. Kinetics in Gas Dynamics., 2014, Vol. 15, No. 2 (in Russian); http://chemphys.edu.ru/issues/2014-15-2/articles/116/
     
  25. Bellman R., Endzhel E. Dinamicheskoe programmirovanie i uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Dynamic programming and partial differential equations]. Moscow: Mir, 1974 (in Russian).
     
  26. Davis de V.G., Jones I.P. Natural convection in square cavity: A comparison execise. Internat. J. Numer. Meth. Fluids, 1983, Vol. 3, article 227.
     
  27. Patankar S. Chislennye mody resheniya zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti [Numerical modes for solving problems of heat transfer and fluid dynamics]. Moscow: Energoatomizdat, 1984 (in Russian).
     
  28. Rouch P. Vychislitel’naya gidrodinamika [Computational fluid dynamics]. Moscow: Mir, 1980 (in Russian).
     
  29. Paskonov V.M., Polezhaev V.I., Chudov L.A. Chislennoe modelirovanie protsessov teplo- i massoobmena [Numerical modeling of heat and mass transfer processes]. Moscow: Nauka, 1984 (in Russian).
     
  30. Ivanov K.A., etc. Svidetel’stvo No. 2021668343 o gosudarstvennoi registratsii programmy AliceFlow2D v rossiiskom Reestre programm dlya EVM ot 15.11.2021 [Certificate No. 2021668343 on state registration of the AliceFlow2D program in the Russian Register of Comput. Programs, 15.11.2021] (in Russian).