Математическая модель фильтра для водоочистки с использованием биопленок

Математическая модель фильтра для водоочистки с использованием биопленок

Бобылева Т. Н., Шамаев А. С., Янцен О. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 2(94), 25-36 (2023)
Скачать статью

УДК 628.35 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.203

Аннотация:

Предложена математическая модель очистки сточных вод в фильтрах на основе использования биопленки, в которой микроорганизмы разрушают вредные примеси, содержащиеся в воде. Фильтр содержит большое количество элементов загрузки. Приведена система уравнений в частных производных с граничными условиями для одного элемента загрузки, представляющего собой цилиндрический стержень, поверхность которого покрыта биологически активной плёнкой. Эта система содержит параболическое уравнение в трёхмерной области и гиперболическое уравнение на части поверхности этой области, связанные друг с другом с помощью граничного условия и потенциала в гиперболическом уравнении. Проводится асимптотический анализ этой системы, позволяющий свести данную модель к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Используется математический метод построения асимптотики в так называемых тонких областях. Даётся математическое обоснование предлагаемого метода. Метод представляет собой упрощение сложной комбинированной модели, основанной на законах гидродинамики и диффузии. На этой основе предлагается модель работы всего устройства очистки сточных вод, содержащего большое количество (миллионы) таких элементов.

Литература:
  1. Хенце М., Армоэс П., Ля-Кур-Янсен Й., Арван Э. Очистка сточных вод. М.: Мир, 2006.
     
  2. Bitton G. Wastewater Microbiology. N. Y.: Wiley-Interscience, 2005.
     
  3. D’Acunto B., Frunzo L., Mattei M. R. Continuum approach to mathematical modelling of multispecies biofilms // Ricerche di Matematica. 2017. V. 66. P. 153–169; https://doi.org/10.1007/s11587-016-0294-8
     
  4. Boltz J. P., Mongenroth E., Sen D. Mathematical modelling of biofilms and biofilm reactors for engineering design // Water Sci. Technology. 2010. V. 62. P. 1821–1836; https://doi.org/10.2166/wst.2010.076
     
  5. Guo C.M., Chen J.F., Zhang Z.Z., Zhao L.J. Mathematical model of biofilm reactor treating industrial wastewater – a review // Adv. Materials Res. 2011. V. 356-360. P. 1739–1742; https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.356-360.1739
     
  6. Wanner O., Reichert R. Mathematical modelling of mixed-culture biofilms // Biotechnol. Bioengrg. 1996. V. 48. P. 172–184; https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/(SICI)1097-0290(19960120)49:2%3C172::AID-BIT6%3E3.0.CO;2-N
     
  7. Alpkvist E., Klapper I.Yu. A multidimensional multispecies continuum model for heterogeneous biofilm development // Bull. Math. Biol. 2007. V. 69, N 2. P. 765–789; https://doi.org/10.1007/s11538-006-9168-7
     
  8.  D’Acunto B., Frunzo L., Mattei M. R. Qualitative analysis of the moving boundary problem for a biofilm reactor model // Math. Anal. Appl. 2016. V. 438. P. 474–491; https://doi.org/10.1016/J.JMAA.2016.02.008
     
  9. Masic A., Eberl H. J. A modeling and simulation study of the role of suspended microbial populations in nitrification in a biofilm reactor // Bull. Math. Biol. 2014. V. 76. P. 27–58; https://doi.org/10.1007/s11538-013-9898-2
     
  10. Олейник А.Я., Василенко Т.В., Рыбаченко С.А., Хамад И.А. Моделирование процессов доочистки хозяйственно-бытовых сточных вод на фильтрах // Проблемы водопостачання, водовидведення та гидравлики. 2006. Т. 7. С. 85–97.
     
  11. Christiansen R., Hollesen L., Harremoes R. Liquid film diffusion of reaction rate in submergen biofilters. // Water Res. 1995. V. 29, N 1. P. 947–952; https://doi.org/10.1016/0043- 1354(94)00206-m
     
  12. Taylor S.V., Milly P.C.D., JaffeP. R. Biofilm growth and the related changes in the physical properties of a porous medium // Water Resources Res. 1990. V. 26, N 9. P. 2161–2169; https://doi.org/10.1029/WR026i009p02153 
     
  13. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках. М.: Наука, 1983.
     
  14. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонкий пластин и стержней. Новосибирск: Научн. книга, 2002.
     
  15. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
     
  16. Агранович М.С. Смешанные задачи в липшицевой области для сильно эллиптических систем 2-го порядка // Функц. анализ и его прил. 2011. Т. 45, № 2. С. 1–22; https://doi.org/10.4213/faa3039

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 075-15-2022-284) и Госзадания Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (проект АААА-А20-120011690138-6).

Т. Н. Бобылева
  1. Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, 
    Ярославское шоссе, 26, г. Москва 129337, Россия

E-mail: tatyana2211@outlook.com

А. С. Шамаев
  1. Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского, 
    просп. Вернадского, 101-1, г. Москва 119526, Россия

E-mail: sham@rambler.ru

О. В. Янцен
  1. Научно-технический центр, ООО «ВТ Эксперт», 
    ул. Саморы Машела, 2а, г. Москва 117198, Россия
  2. Российский государственный геологоразведочный университет им. С. Орджоникидзе, 
    ул. Миклухо-Маклая, 23, г. Москва 117485, Россия

E-mail: yantsenov@bk.ru

Статья поступила 26.08.2022 г. 
После доработки — 20.11.2022 г.
Принята к публикации 12.01.2023 г.

Abstract:

The article proposes a mathematical model of wastewater treatment based on the use of biofilm; whose microorganisms destroy harmful impurities contained in water. For microorganisms, impurities are "food". A system of partial differential equations with boundary conditions is given. A system of partial differential equations with boundary conditions is given for one loading element, which is a cylindrical rod whose surface is covered with a biologically active film. This system includes a parabolic equation in a three-dimensional domain and a hyperbolic equation on a part of the surface of this domain connected to each other through a boundary condition and a potential in a hyperbolic equation. Further, an asymptotic analysis of this system is carried out, which makes it possible to reduce the model of an individual element to the solution of a simple ordinary differential equation, and a strict mathematical justification of this method is given. In this case, a mathematical method is used to construct asymptotics in the so-called «thin regions». The proposed method is a simplification of a complex combined model based on the laws of hydrodynamics and diffusion. On this basis, a model of the operation of the entire wastewater treatment device containing a large (millions) of such elements is proposed.

References:
  1. Henze M., Harremoës P., La Cour J.J, E. Arvin E. Wastewater Treatment. Biological and Chemical Processes. Berlin: Springer-Verl., 1997.
     
  2. Bitton G. Wastewater Microbiology. N. Y.: Wiley-Interscience, 2005.
     
  3. D’Acunto B., Frunzo L., Mattei M. R. Continuum approach to mathematical modelling of multispecies biofilms. Ricerche di Matematica, 2017, Vol. 66, pp. 153–169; https://doi.org/10.1007/s11587-016-0294-8
     
  4. Boltz J. P., Mongenroth E., Sen D. Mathematical modelling of biofilms and biofilm reactors for engineering design. Water Sci. Technology, 2010, Vol. 62, pp. 1821–1836; https://doi.org/10.2166/wst.2010.076 
     
  5. Guo C.M., Chen J.F., Zhang Z.Z., Zhao L.J. Mathematical model of biofilm reactor treating industrial wastewater – a review. Adv. Materials Res., 2011, Vol. 356-360, pp. 1739–1742; https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.356-360.1739
     
  6. Wanner O., Reichert R. Mathematical modelling of mixed-culture biofilms. Biotechnol. Bioengrg., 1996, Vol. 48, pp. 172–184; https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/(SICI)1097-0290(19960120)49:2%3C172::AID-BIT6%3E3.0.CO;2-N
     
  7. Alpkvist E., Klapper I.Yu. A multidimensional multispecies continuum model for heterogeneous biofilm development. Bull. Math. Biol., 2007, Vol. 69, No. 2, pp. 765–789; https://doi.org/10.1007/s11538-006-9168-7 
     
  8. D’Acunto B., Frunzo L., Mattei M. R. Qualitative analysis of the moving boundary problem for a biofilm reactor model. Math. Anal. Appl., 2016, Vol. 438, pp. 474–491; https://doi.org/10.1016/J.JMAA.2016.02.008
     
  9. Masic A., Eberl H. J. A modeling and simulation study of the role of suspended microbial populations in nitrification in a biofilm reactor // Bull. Math. Biol. 2014. V. 76. P. 27–58; https://doi.org/10.1007/s11538-013-9898-2
     
  10. Oleinik A.Ya., Vasilenko T.V., Rybachenko S.A., Khamad I.A. Modelirovanie protsessov doochistki khozyaistvenno-bytovykh stochnykh vod na fil’trakh [Modeling of post-treatment processes of household wastewater on filters]. Probl. Vodopostachannya, Vodovidvedennya ta Gidravliki, 2006, Vol. 7, pp. 85–97 (in Russian).
     
  11. Christiansen R., Hollesen L., Harremoes R. Liquid film diffusion of reaction rate in submergen biofilters. Water Res., 1995, Vol. 29, No. 1, pp. 947–952; https://doi.org/10.1016/0043- 1354(94)00206-m
     
  12. Taylor S.V., Milly P.C.D., JaffeP. R. Biofilm growth and the related changes in the physical properties of a porous medium. Water. Resources Res., 1990, Vol. 26, No. 9, pp. 2161–2169; https://doi.org/10.1029/WR026i009p02153
     
  13. Vavilin V.A. Nelineinye modeli biologicheskoi ochistki i protsessov samoochishcheniya v rekakh [Nonlinear models of biological purification and self-purification processes in rivers]. Moscow: Nauka, 1983 (in Russian). 
     
  14. Nazarov S.A. Asimptoticheskaya teoriya tonkii plastin i sterzhnei [Asymptotic theory of thin plates and rods]. Novosibirsk: Nauchn. Kniga, 2002 (in Russian).
     
  15. Oleinik O.A., Iosif’yan G.A., Shamaev A.S. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization. North-Holland: Elsevier, 1992; eBook ISBN: 9780080875477
     
  16. Agranovich M.S. Mixed problems in a Lipschitz domain for strongly elliptic second-order systems. Funct. Anal. Appl., 2011, Vol. 45, No. 2, pp. 81–98; https://doi.org/10.1007/s10688-011-0011-z