Декомпозиция сингулярно возмущённых задач оптимального слежения с заданной эталонной траекторией

Декомпозиция сингулярно возмущённых задач оптимального слежения с заданной эталонной траекторией

Соболев В. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 3(95), 112-124 (2023)
Скачать статью

УДК 517.977 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.309

Аннотация:

Впервые рассматривается задача оптимального слежения с заданной эталонной траекторией и интегральным квадратичным критерием качества при наличии сингулярных возмущений. Для анализа возникающих при решении этой задачи сингулярно возмущённых дифференциальных систем применяется метод декомпозиции, в основе которого лежит техника интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Построено субоптимальное управление, применение которого приводит к отличию значений минимизируемого функционала для отптимального и субоптимального управлений на величину порядка второй степени малого параметра, характеризующего сингулярные возмущения.

Литература:
  1. Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 4. Теория оптимизации систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004.  
     
  2. Sontag E. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite-Dimensional Systems. N. Y.: SpringerVerl., 1998.  
     
  3. Смагин В. И., Параев Ю. И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 1996.  
     
  4. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. 1982. Т. 20. С. 3–78.  
     
  5. Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. C. 3–51.  
     
  6. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview // Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. Algorithms. 2002. V. 9, N 2. P. 233–278.  
     
  7. Курина Г. А., Калашникова М. А. Сингулярно возмущённые задачи с разнотемповыми быстрыми переменными // Автоматика и телемеханика. 2022. № 11, C. 3–61.  
     
  8. Kurina G, Kalashnikova M. Justification of direct scheme for asymptotic solving three-tempo linearquadratic control problems under weak nonlinear perturbations // Axioms. 2022. V. 11, N 11. Article 647; https://doi.org/10.3390/axioms11110647  
     
  9. Dr$\check{a}$gan V. On the linear quadratic optimal control for systems described by singularly perturbed Itô differential equations with two fast time scales // Axioms. 2019. V. 8, N 1. Article 30; https://doi.org/10.3390/axioms8010030 
     
  10. Danik Y., Dmitriev M. Padé Approximations and the SDRE technique in the design of parametric families of feedback laws // Internat. Russian Automation Conference (RusAutoCon). Sochi. 2022. P. 587–594; DOI: 10.1109/RusAutoCon54946.2022.9896329 
     
  11. O’Malley R. E., Mortell M. P., Pokrovskii A., Sobolev V. A. Singular Perturbations and Hysteresis. Philadelphia: SIAM, 2005. 
     
  12. Ghorbel F., Spong M. W. Integral manifolds of singularly perturbed systems with application to rigidlink flexible-joint multibody systems // Internat. J. Non-Linear Mech. 2000. V. 35. P. 133–155. 
     
  13. Kokotovi$\acute{c}$ P. V., Khalil H. K., O’Reily J. Singular Perturbations Methods in Control. Analysis and Design. N. Y.: Acad. Press, 1986. 
     
  14. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed system // Syst. Control Lett. 1984. N 5. P. 169–179. 
     
  15. Воропаева Н. В., Соболев В. А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущённых систем. М.: Физматлит, 2009. 
     
  16. Prasov A., Khalil H. K. Tracking performance of a highgain observer in the presence of measurement noise // Internat. J. Adapt. Control Signal Proc. 2016. V. 30, N 8–10. P. 1228–1243. 
     
  17. Sobolev V. Dimensional reduction of optimal tracking problems with a given reference trajectory // 16th Internat. Conf. Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conference). Moscow. 2022. P. 1–3; DOI: 10.1109/STAB54858.2022.9807563 
     
  18. Кононенко Л. И., Соболев В. А. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1264–1278. 
     
  19. O’Malley R. E. Jr. On two methods of solution for a singularly perturbed linear state regulator problem // SIAM Rev. 1975. V. 17, N 1. P. 16–37. 
     
  20. Dr$\check{a}$gan V., Halanay A. Suboptimal linear controller by singular perturbation techniques // Rev. Roumaine Sci. Techn. Ser. Electrotechn. Engrg. 1975. V. 21, N 4. P. 585–591.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-11-00202).

В. А. Соболев
  1. ФИЦ «Информатика и управление» РАН, 
    ул. Вавилова, 44, г. Москва 119333, Россия
  2. Самарский НИУ им. акад. С. П. Королёва, 
    Московское шоссе, 34, г. Самара 443086, Россия

E-mail: v.sobolev@ssau.ru

Статья поступила 28.02.2023 г.
После доработки — 30.03.2023 г.
Принята к публикации 27.04.2023 г.

Abstract:

For the first time, the problem of optimal tracking with a given reference trajectory and an integral quadratic performance criterion in the presence of singular perturbations is considered. To analyze the singularly perturbed differential systems that arise in solving this problem, the decomposition method is used, which is based on the technique of integral manifolds of fast and slow motions. A suboptimal control is constructed, the use of which leads to a difference in the values of the minimized functional for the optimal and suboptimal controls by an amount of the order of the second power of a small parameter characterizing singular perturbations.

References:
  1. Egupov N. D., Pupkov K. A. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija. T. 4. Teorija optimizacii sistem avtomaticheskogo upravlenija [Methods of classical and modern theory of automatic control. Vol. 4. Theory of optimization of automatic control systems]. Moscow: Bauman Moscow State Tech. Univ. Press, 2004 (in Russian).
     
  2. Sontag E. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite-Dimensional Systems. N. Y.: SpringerVerl., 1998.
     
  3. Smagin V. I., Paraev Ju. I. Sintez sledjashhih sistem upravlenija po kvadratichnym kriterijam [Synthesis of tracking control systems by quadratic criteria]. Tomsk: Tomsk State Univ. Press, 1996.
     
  4. Vasil’eva A. B., Dmitriev M. G., Singular perturbations in optimal control problems. J. Math. Sci., 1986, Vol. 34, pp. 1579–1629.
     
  5. Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems. Autom. Remote Control, 2006, Vol. 67, pp. 1–43.
     
  6. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview. Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. Algorithms, 2002, Vol. 9, No. 2, pp. 233–278.
     
  7. Kurina G. A., Kalashnikova M. A. Singulyarno vozmushchennye zadachi s raznotempovymi bystrymi peremennymi [Singularly perturbed problems with different-time fast variables]. Avtomatika i Telemekhanika, 2022, No. 11, pp. 3–61 (in Russian).
     
  8. Kurina G, Kalashnikova M. Justification of direct scheme for asymptotic solving three-tempo linearquadratic control problems under weak nonlinear perturbations. Axioms, 2022, Vol. 11, No. 11, article 647; https://doi.org/10.3390/axioms11110647
     
  9. Dr$\check{a}$gan V. On the linear quadratic optimal control for systems described by singularly perturbed Itô differential equations with two fast time scales. Axioms, 2019, Vol. 8, No. 1, article 30; https://doi.org/10.3390/axioms8010030
     
  10. Danik Y., Dmitriev M. Padé Approximations and the SDRE technique in the design of parametric families of feedback laws. Internat. Russian Automation Conference (RusAutoCon). Sochi, 2022, pp. 587–594; DOI: 10.1109/RusAutoCon54946.2022.9896329
     
  11. O’Malley R. E., Mortell M. P., Pokrovskii A., Sobolev V. A. Singular Perturbations and Hysteresis. Philadelphia: SIAM, 2005.
     
  12. Ghorbel F., Spong M. W. Integral manifolds of singularly perturbed systems with application to rigidlink flexible-joint multibody systems. Internat. J. Non-Linear Mech., 2000, Vol. 35, pp. 133–155.
     
  13. Kokotovi$\acute{c}$ P. V., Khalil H. K., O’Reily J. Singular Perturbations Methods in Control. Analysis and Design. N. Y.: Acad. Press, 1986.
     
  14. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed system. Syst. Control Lett., 1984, No. 5, pp. 169–179.
     
  15. Voropaeva N. V., Sobolev V. A. Geometricheskaya dekompozitsiya singulyarno vozmushchennykh sistem [Geometric decomposition of singularly perturbed systems]. Moscow: Fizmatlit, 2009.
     
  16. Prasov A., Khalil H. K. Tracking performance of a highgain observer in the presence of measurement noise. Internat. J. Adapt. Control Signal Proc., 2016, Vol. 30, No. 8–10, pp. 1228–1243.
     
  17. Sobolev V. Dimensional reduction of optimal tracking problems with a given reference trajectory. 16th Internat. Conf. Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conference). Moscow, 2022, pp. 1–3; DOI: 10.1109/STAB54858.2022.9807563
     
  18. Kononenko L. I., Sobolev V. A. Asymptotic decomposition of slow integral manifolds. Sib. Math. J., 1994, Vol. 35, No. 6, pp. 1119–1132.
     
  19. O’Malley R. E. Jr. On two methods of solution for a singularly perturbed linear state regulator problem. SIAM Rev., 1975, Vol. 17, No. 1, pp. 16–37.
     
  20. Dr$\check{a}$gan V., Halanay A. Suboptimal linear controller by singular perturbation techniques. Rev. Roumaine Sci. Techn. Ser. Electrotechn. Engrg., 1975, Vol. 21, No 4, pp. 585–591.