Об интегрируемости и устойчивости стационарных решений гиростата Горячева — Сретенского

Об интегрируемости и устойчивости стационарных решений гиростата Горячева — Сретенского

Косов А. А., Семенов Э. И.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 3(95), 56-72 (2023)
Скачать статью

УДК 531.36 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.305

Аннотация:

Изучаются уравнения движения гиростата Горячева — Сретенского. Найдены все стационарные решения на инвариантном множестве нулевого уровня интеграла площадей и проведён анализ их устойчивости. Для случая совпадения точки подвеса с центром масс и действия гироскопического момента специального вида выполнено интегрирование в квадратурах.

Литература:
  1. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения твёрдого тела около неподвижной точки. М: Гостехиздат, 1953.
     
  2. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твёрдого тела. Ижевск: изд. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
     
  3. Гашененко И. Н., Горр Г. В., Ковалев А. М. Классические задачи динамики твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 2012.
     
  4. Горячев Д. Н. О движении тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки в случае $A = B = 4C$ // Мат. сб. 1900. Т. 21, №. 3. С. 431–438.
     
  5. Чаплыгин С. А. Новый случай вращения тяжёлого твёрдого тела, подпёртого в одной точке // Тр. Отд. физ. наук об-ва любителей естествознания. 1901. Т. 10, вып. 3. С. 32–34.
     
  6. Сретенский Л. Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 2. С. 292–294.
     
  7. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твёрдого тела. Ижевск: изд. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
     
  8. Polekhin I. Yu. Precession of the Kovalevskaya and Goryachev—Chaplygin tops // Regular and Chaotic Dynamics. 2019. V. 24, N 3. P. 281–297.
     
  9. Гашененко И. Н. О решении Д. Н. Горячева // Механика твёрдого тела. 2009. №. 39. С. 29–41.
     
  10. Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твёрдого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.
     
  11. Маркеев А. П. О тождественном резонансе в одном частном случае задачи об устойчивости периодических движений твёрдого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 32–37.
     
  12. Бардин Б. С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твёрдого тела в случае Горячева — Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14–21.
     
  13. Горр Г. В., Мазнев А. В. О решениях уравнений движения твёрдого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента // Механика твёрдого тела. 2017. №. 47. С. 12–24. 
     
  14. Yehia H. M. Regular precession of a rigid body (gyrostat) acted upon by an irreducible combination of three classical fields // J. Egyptian. Math. Soc. 2017. V. 25. P. 216–219; DOI: https://doi.org/10.1016/j.joems.2016.08.001
     
  15. Зыза А. В. Компьютерное исследование полиномиальных решений уравнений динамики гиростата // Компьютерные исследования и моделирование. 2018. Т. 10, № 1. С. 7–25; DOI: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2018-10-1-7-25
     
  16. Kosov A. A., Semenov E. I. On first integrals and stability of stationary motions of gyrostat // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2022. V. 430. Article 133103; DOI: https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.133103
     
  17. Козлов В. В. К задаче о вращении твёрдого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 6. С. 28–33.
     
  18. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962.
     
  19. Рубановский В. Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
     
  20. Прудников А. П, Брычков Ю. А, Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-29-00819).

А. А. Косов
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, г. Иркутск 664033, Россия

E-mail: kosov_idstu@mail.ru

Э. И. Семенов
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, г. Иркутск 664033, Россия

E-mail: edwseiz@gmail.com

Статья поступила 16.08.2022 г.
После доработки — 05.06.2023 г.
Принята к публикации 07.06.2023 г.

Abstract:

The equations of motion of the Goryachev-Sretensky gyrostat are studied. All stationary solutions are found on the invariant set of the zero level of the area integral and their stability is analyzed. For the case where the suspension point coincides with the center of mass and the action of a gyroscopic moment of a special type, integration in quadratures is performed.

References:
  1. Golubev V.V. Lekcii po integrirovaniju uravnenij dvizhenija tverdogo tela okolo nepodvizhnoj tochki [Lectures on the integration of the equations of motion of a rigid body around a fixed point]. Moscow: Gostekhizdat, 1953 (in Russian).
     
  2. Borisov A. V., Mamaev I. S. Dinamika tverdogo tela [Rigid Body Dynamics]. Izhevsk: Pabl. NIC «Reguljarnaja i haoticheskaja dinamika», 2001 (in Russian).
     
  3. Gashenenko I. N., Gorr G. V., Kovalev A. M. Klassicheskie zadachi dinamiki tverdogo tela [Classical problems of rigid body dynamics]. Kiev: Naukova dumka, 2012 (in Russian).
     
  4. Gorjachev D. N. O dvizhenii tjazhelogo tverdogo tela vokrug nepodvizhnoj tochki v sluchae $A = B = 4C$ [On the motion of a heavy rigid body around a fixed point in the case $A = B = 4C$]. Mat. Sbornik, 1900, Vol. 21, No. 3, pp. 431–438 (in Russian).
     
  5. Chaplygin S. A. Novyj sluchaj vrashhenija tjazhelogo tverdogo tela, podpertogo v odnoj tochke [A new case of rotation of a heavy rigid body supported at one point]. Tr. Otd. Fiz. Nauk Obshchestva Lyubitelei Estestvoznaniya, 1901, Vol. 10, No. 3, pp. 32–34 (in Russian).
     
  6. Sretenskij L. N. O nekotoryh sluchajah integriruemosti uravnenij dvizhenija girostata [On some cases of integrability of the equations of motion of a gyrostat]. Dokl. AN SSSR, 1963, Vol. 149, No. 2, pp. 292–294 (in Russian).
     
  7. Kozlov V. V. Metody kachestvennogo analiza v dinamike tverdogo tela [Qualitative Analysis Methods in Rigid Body Dynamics]. Izhevsk: Pabl. NIC «Reguljarnaja i Haoticheskaja Dinamika», 2000 (in Russian).
     
  8. Polekhin I. Yu. Precession of the Kovalevskaya and Goryachev—Chaplygin Tops. Regular and Chaotic Dynamics, 2019, Vol. 24, No. 3, pp. 281–297.
     
  9. Gashenenko I. N. O reshenii D. N. Gorjacheva [On D. N. Goryachev’s decision]. Solid State Mechanics [Mehanika Tverdogo Tela], 2009, No. 39, pp. 29–41 (in Russian).
     
  10. Harlamov M. P. Topologicheskij analiz integriruemyh zadach dinamiki tverdogo tela [Topological analysis of integrable problems of rigid body dynamics]. Leningrad: Izd-vo LGU, 1988 (in Russian).
     
  11. Markeev A. P. O tozhdestvennom rezonanse v odnom chastnom sluchae zadachi ob ustojchivosti periodicheskih dvizhenij tverdogo tela [On identical resonance in one particular case of the problem of stability of periodic motions of a rigid body]. Izv. RAN. MTT, 2003, No. 3, pp. 32–37 (in Russian).
     
  12. Bardin B. S. K zadache ob ustojchivosti majatnikoobraznyh dvizhenij tverdogo tela v sluchae Gorjacheva—Chaplygina [On the problem of stability of pendulum motions of a rigid body in the case of Goryachev—Chaplygin]. Izv. RAN. MTT, 2007, No. 2, pp. 14–21 (in Russian).
     
  13. Gorr G. V., Maznev A. V. O reshenijah uravnenij dvizhenija tverdogo tela v potencial’nom silovom pole v sluchae postojannogo modulja kineticheskogo momenta [On solutions of the equations of motion of a rigid body in a potential force field in the case of a constant modulus of angular momentum]. Solid State Mechanics [Mehanika Tverdogo Tela], 2017, No. 47, pp. 12–24 (in Russian).
     
  14. Yehia H. M. Regular precession of a rigid body (gyrostat) acted upon by an irreducible combination of three classical fields. J. Egyptian. Math. Soc., 2017, Vol. 25, pp. 216–219; DOI: https://doi.org/10.1016/j.joems.2016.08.001
     
  15. Zyza A. V. Komp’juternoe issledovanie polinomial’nyh reshenij uravnenij dinamiki girostata [Computer study of polynomial solutions of equations of gyrostat dynamics]. Computer Research and Modeling [Komp’juternye issledovanija i modelirovanie], 2018, Vol. 10, No. 1, pp. 7–25 (in Russian); DOI: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2018-10-1-7-25
     
  16. Kosov A. A., Semenov E. I. On first integrals and stability of stationary motions of gyrostat. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2022, Vol. 430, article 133103; DOI: https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.133103
     
  17. Kozlov V. V. K zadache o vrashhenii tverdogo tela v magnitnom pole [On the problem of rotation of a rigid body in a magnetic field]. Izv. AN SSSR. MTT, 1985, No. 6, pp. 28–33 (in Russian).
     
  18. Chetaev N. G. Ustojchivost’ dvizhenija. Raboty po analiticheskoj mehanike [Movement stability. Works on analytical mechanics]. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1962 (in Russian).
     
  19. Rubanovskij V. N., Samsonov V. A. Ustojchivost’ stacionarnyh dvizhenij v primerah i zadachah [Stability of stationary motions in examples and problems]. Moscow: Nauka, 1988 (in Russian).
     
  20. Prudnikov A. P, Brychkov Ju. A, Marichev O. I. Integraly i rjady [Integrals and series]. Moscow: Nauka, 1981 (in Russian).