О погрешности в определении границы защитного слоя в обратной задаче теплопроводности

О погрешности в определении границы защитного слоя в обратной задаче теплопроводности

Танана В. П., Марков Б. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 143-159 (2023)
Скачать статью

УДК 517.948 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.410

Аннотация:

В статье изучается задача об определении погрешности, вносимой неточностью определения толщины защитного теплостойкого покрытия для композиционных материалов. Математическая задача представляет собой уравнение теплопроводности на неоднородной полупрямой. Температура на внешней стороне полупрямой ($x = 0$) считается неизвестной на бесконечном интервале времени. Для её отыскания измеряется температура на разделе сред в точке $x = x_0$. В работе проведено аналитическое исследование прямой задачи, которое позволило дать строгую постановку обратной задачи и определить функциональные пространства, в которых естественно решать обратную задачу. Основная трудность, на решение которой направлена статья, заключается в получении оценки погрешности приближенного решения. Для оценки модуля условной корректности используется метод проекционной регуляризации, который позволяет получить точные по порядку оценки.

Литература:
  1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. М.: Наука, 1988.
     
  2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.
     
  3. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976.
     
  4. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.
     
  5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
     
  6. Денисов В. Я. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994.
     
  7. Леонов А. С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: УРСС, 2013.
     
  8. Ягола А. Г., Ван Янфей, Степанова И. Э., Титаренко В. Н. Обратные задачи и методы их решения. М.: Лаборатория знаний, 2014.
     
  9. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1967. № 4. С. 910–914.
     
  10. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некоторые задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
     
  11. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.
     
  12. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978.
     
  13. Васин В. В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве $C(−\infty, \infty)$ // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1973. Т. 13. № 6. С. 1383–1389.
     
  14. Долгополова Т. Ф., Иванов В. К. О численном дифференцировании // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1966. Т. 6. № 3. С. 570–576.
     
  15. Танана В. П. О сведении обратной граничной задачи к последовательному решению двух некорректных задач // Сиб. журн. вычисл. матем. 2020. Т. 23. № 2. С. 219–232.
     
  16. Зорич В. А. Математический анализ, Т. 2. М.: Наука, 1984.
     
  17. Tanana V., Sidikova A. Optimal Methods for Ill-Posed Problems With Applications to Heat Conduction. Berlin: De Gruyter, 2018.
     
  18. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. М.: МГУ, 2004.
В. П. Танана
  1. Южно-Уральский государственный университет, Кафедра системного программирования, 
    пр. Ленина, 78, г. Челябинск 454080, Россия

E-mail: tananavp@susu.ru

Б. А. Марков
  1. Южно-Уральский государственный университет, Кафедра системного программирования, 
    пр. Ленина, 78, г. Челябинск 454080, Россия

E-mail: markovba@susu.ru

Статья поступила 12.09.2023 г.
После доработки — 28.10.2023 г.
Принята к публикации 16.11.2023 г.

Abstract:

The paper studies the problem of determining the error introduced by inaccuracy in determining the thickness of a protective heat-resistant coating of composite materials. The mathematical problem is the heat equation on an inhomogeneous half-line. The temperature on the outer side of the half-line ($x = 0$) is considered unknown over an infinite time interval. To find it, the temperature is measured at the interface of the media at the point $x = x_0$. An analytical study of the direct problem is carried out and enables a rigorous statement of the inverse problem and determining the functional spaces in which it is natural to solve the inverse problem. The main difficulty that the present paper aims at solving is obtaining an estimate for the error of the approximate solution. To estimate the conditional correctness modulus, the projection regularization method is used; this allows obtaining order-accurate estimates.

References:
  1. O. M. Alifanov, E. A. Artyukhin, and S. V. Rumyantsev, Extreme Methods for Solving Ill-Posed Problems and Applications to Inverse Heat Transfer Problems (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].
     
  2. H. S. Carslaw and J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids (Clarendon, Oxford, 1959; Nauka, Moscow, 1964). 
     
  3. A. F. Chudnovskii, Thermophysics of Soils (Nauka, Moscow, 1976) [in Russian].
     
  4. A. N. Tikhonov, A. S. Leonov, and A. G. Yagola, Nonlinear Ill-Posed Problems (Fizmatlit, Moscow, 1995) [in Russian].
     
  5. A. N. Tikhonov and V. Ya. Arsenin, Methods for Solving Ill-Posed Problems (Nauka, Moscow, 1979) [in Russian]. 
     
  6. V. Ya. Denisov, Introduction to the Theory of Inverse Problems (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1994) [in Russian]. 
     
  7. A. S. Leonov, Solving Ill-Posed Inverse Problems. An Outline of the Theory, Practical Algorithms, and Demonstrations in MATLAB (URSS, Moscow, 2013) [in Russian].
     
  8. A. G. Yagola, Wang Yanfei, I. E. Stepanova, and V. N. Titarenko, Inverse Problems and Methods for Their Solution (Lab. Znanii, Moscow, 2014) [in Russian].
     
  9. A. N. Tikhonov and V. B. Glasko, “Methods of determining the surface temperature of a body,” USSR Comput. Math. Math. Phys. 7 (4), 267–273 (1967).
     
  10. M. M. Lavrentyev, V. G. Romanov, and S. P. Shishatskii, Some Problems of Mathematical Physics and Analysis (Nauka, Moscow, 1980) [in Russian].
     
  11. S. I. Kabanikhin, Inverse and Ill-Posed problems (Sib. Nauchn. Izd., Novosibirsk, 2009) [in Russian].
     
  12. V. K. Ivanov, V. V. Vasin, and V. P. Tanana, Theory of Linear Ill-Posed Problems and Applications (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
     
  13. V. V. Vasin, “The stable evaluation of a derivative in space $C(−\infty, \infty)$,” USSR Comput. Math. Math. Phys. 13 (6), 16–24 (1973).
     
  14. T. F. Dolgopolova and V. K. Ivanov, “On numerical differentiation,” USSR Comput. Math. Math. Phys. 6 (3), 223–232 (1966).
     
  15. V. P. Tanana, “On the reduction of an inverse boundary value problem to a sequential solution of two ill-posed problems,” Sib. Zh. Vychisl. Mat. 23 (2), 219–232 (2020) [in Russian].
     
  16. V. A. Zorich, Mathematical Analysis. Vol. 2 (Nauka, Moscow, 1984) [in Russian].
     
  17. V. Tanana and A. Sidikova, Optimal Methods for Ill-Posed Problems With Applications to Heat Conduction (De Gruyter, Berlin, 2018).
     
  18. A. G. Sveshnikov, A. N. Bogolyubov, and V. V. Kravtsov, Lectures on Mathematical Physics (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 2004) [in Russian].