О существовании решений нелинейных краевых задач для непологих оболочек типа Тимошенко с незакрепленными краями

О существовании решений нелинейных краевых задач для непологих оболочек типа Тимошенко с незакрепленными краями

Тимергалиев С. Н.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 160-179 (2023)
Скачать статью

УДК 517.958:539.3 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.411

Аннотация:

Исследуется существование решений краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка относительно обобщённых перемещений при заданных нелинейных граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих непологих изотропных неоднородных оболочек нулевой гауссовой кривизны с незакреплёнными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко. В основе метода исследования лежат интегральные представления для обобщённых перемещений, содержащие произвольные функции, которые позволяют исходную краевую задачу свести к нелинейному операторному уравнению относительно обобщённых перемещений в соболевском пространстве. Разрешимость операторного уравнения устанавливается с использованием принципа сжатых отображений.

Литература:
  1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. М.: Наука, 1966.
     
  2. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. М.: Наука,1999.
     
  3. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
     
  4. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бургуладзе Т. В. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
     
  5. Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.
     
  6. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: СПбГУ, 1994.
     
  7. Александров А. Я., Соловьёв Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978.
     
  8. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
     
  9. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
     
  10. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
     
  11. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
     
  12. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.
     
  13. Ball J. M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1976. V. 63. P. 337–403.
     
  14. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989.
     
  15. Ворович И. И., Лебедев Л. П. К задаче равновесия пластины, подкреплённой рёбрами жёсткости // Прикл. матем. и механика. 1999. Т. 63, № 1. С. 87–92.
     
  16. Ворович И. И., Лебедев Л. П. Некоторые вопросы механики сплошной среды и математические проблемы теории тонкостенных конструкций // Прикл. механика. 2002. Т. 38, № 4. С. 3–20.
     
  17. Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: ЛГУ, 1978.
     
  18. Карчевский М. М. Исследование разрешимости нелинейной задачи о равновесии пологой незакреплённой оболочки // Учён. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2013. Т. 155, № 3. С. 105–110.
     
  19. Карчевский М. М. Смешанный метод конечных элементов для неклассических граничных задач теории пологих оболочек // Учён. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158, № 3. С. 322–335.
     
  20. Кириченко В. Ф., Крысько В. А. О существовании решения одной нелинейной связанной задачи термоупругости // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 6. С. 1583–1588.
     
  21. Кириченко В. Ф. О существовании решений в связанной задаче термоупругости для трёхслойных оболочек // Изв. вузов. Матем. 2012. № 9. С. 66–71.
     
  22. Галимов К. З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: КГУ, 1975.
     
  23. Галимов К. З., Паймушин В. Н., Терегулов И. Г. Основания нелинейной теории оболочек. Казань: Фэн, 1996.
     
  24. Кабриц С.А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Чёрных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: СПбГУ, 2003.
     
  25. Еремееев В. А., Зубов Л. М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008.
     
  26. Голушко С. К., Немировский Ю. В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. М.: Физматлит, 2008.
     
  27. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е., Товстик Т. П. Обобщённая модель Тимошенко—Рейсснера для многослойной пластины // Изв. РАН. МТТ. 2016. № 5. С. 22–35.
     
  28. Еремеев В. А., Лебедев Л. П. О разрешимости краевых задач теории упругих микрополярных оболочек с жёсткими включениями // Изв. РАН. МТТ. 2020. № 6. С. 111–115.
     
  29. Тимергалиев С. Н. К вопросу о существовании решений нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными теории пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 3. С. 373–386; DOI:10.1134/S0374064115030085
     
  30. Тимергалиев С. Н. К проблеме разрешимости нелинейных задач равновесия пологих оболочек типа Тимошенко // Прикл. матем. и механика. 2018. Т. 82, № 1. С. 98–113.
     
  31. Тимергалиев С. Н. Метод интегральных уравнений исследования разрешимости краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих неоднородных оболочек типа Тимошенко // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 2. С. 239–255; DOI:10.1134/S037406411902
     
  32. Тимергалиев С. Н. К проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для произвольных изотропных пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Матем. 2021. № 4. С. 90–107; DOI:10.26907/0021-3446-2021-4-90-107
     
  33. Тимергалиев С. Н. О существовании решений краевых задач для нелинейных уравнений равновесия пологих анизотропных оболочек типа Тимошенко в соболевском пространстве // Изв. вузов. Матем. 2022. № 4. С. 67–83; DOI:10.26907/0021-3446-2022-4-67-83
     
  34. Векуа И. Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Наука, 1988.
     
  35. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962.
     
  36. Гахов Ф. Д. Краевые задачи, 2-е изд. М.: Физматгиз, 1963.
     
  37. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23-21-00212).

С. Н. Тимергалиев
  1. Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 
    ул. Зелёная, 1, г. Казань 420043, Россия

E-mail: samat_tim@mail.ru

Статья поступила 13.03.2023 г.
После доработки — 12.11.2023 г.
Принята к публикации 15.11.2023 г.

Abstract:

We study the existence of solutions of a boundary value problem for a system of nonlinear second-order partial differential equations for the generalized displacements under given nonlinear boundary conditions that describes the equilibrium state of elastic nonshallow isotropic inhomogeneous shells of zero Gaussian curvature with free edges in the framework of the Timoshenko shear model. The research method is based on integral representations for generalized displacements containing arbitrary functions that allow the original boundary value problem to be reduced to a nonlinear operator equation for generalized displacements in the Sobolev space. The solvability of the operator equation is established using the contraction mapping principle.

References:
  1. N. I. Muskhelishvili, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity (Nauka, Moscow, 1966) [in Russian].
     
  2. A. M. Lin’kov, Complex Method of Boundary Integral Equations of Elasticity Theory (Nauka, Moscow, 1999) [in Russian].
     
  3. A. I. Lurie, Theory of Elasticity (Nauka, Moscow, 1970) [in Russian].
     
  4. V. D. Kupradze, T. G. Gegelia, M. O. Basheleishvili, and T. V. Burguladze, Three-Dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity (Nauka, Moscow, 1976) [in Russian].
     
  5. V. Z. Parton and P. I. Perlin, Methods of Mathematical Theory of Elasticity (Nauka, Moscow, 1981) [in Russian]. 
     
  6. S. G. Mikhlin, N. F. Morozov, and M. V. Paukshto, Integral Equations in the Theory of Elasticity (SPbGU, St. Petersburg, 1994) [in Russian].
     
  7. A. Ya. Aleksandrov and Yu. I. Solov’ev, Spatial Problems of the Theory of Elasticity (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
     
  8. G. Fichera, Existence Theorems in Elasticity (Berlin—Heidelberg—New York, Springer, 1972; Mir, Moscow, 1974).
     
  9. G. Duvaut and J.-L. Lions, Les in equations en mecanique et en physique (Dunod, Paris, 1972; Nauka, Moscow, 1980).
     
  10. N. F. Morozov, Mathematical Issues in the Theory of Cracks (Nauka, Moscow, 1984) [in Russian].
     
  11. A. M. Khludnev, Problems of the Theory of Elasticity in Nonsmooth Domains (Fizmatlit, Moscow, 2010) [in Russian].
     
  12. P. G. Ciarlet, Mathematical Theory of Elasticity (Elsevier, Amsterdam, 1988; Mir, Moscow, 1992).
     
  13. J. M. Ball, “Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity,” Arch. Ration. Mech. Anal. 63, 337–403 (1976).
     
  14. I. I. Vorovich, Mathematical Problems of the Nonlinear Theory of Shallow Shells (Nauka, Moscow, 1989) [in Russian].
     
  15. I. I. Vorovich and L. P. Lebedev, “The problem of the equilibrium of a plate reinforced with stiffeners,” J. Appl. Math. Mech. 63 (1), 79–83 (1999).
     
  16. I. I. Vorovich and L. P. Lebedev, “Some issues of continuum mechanics and mathematical problems in the theory of thin-walled structures,” Int. Appl. Mech. 38 (4), 387–398 (2002).
     
  17. N. F. Morozov, Selected Two-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity (Leningrad. Gos. Univ., Leningrad, 1978) [in Russian].
     
  18. M. M. Karchevsky, “Study of the solvability of the nonlinear problem of the equilibrium of a shallow free shell,” Uchen. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki 155 (3), 105–110 (2013) [in Russian].
     
  19. M. M. Karchevsky, “Mixed finite-element method for the nonclassical boundary problems of the theory of shallow shells,” Uchen. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki 158 (3), 322–335 (2016) [in Russian].
     
  20. V. F. Kirichenko and V. A. Krys’ko, “On the existence of a solution of a nonlinear coupled problem of thermoelasticity,” Differ. Uravn. 20 (6), 1583–1588 (1984) [in Russian].
     
  21. V. F. Kirichenko, “Solvability of a connected thermoelasticity problem for three-layer shells,” Russ. Math. 56 (9), 57–61 (2012).
     
  22. K. Z. Galimov, Fundamentals of the Nonlinear Theory of Thin Shells (Kazan. Gos. Univ, Kazan, 1975) [in Russian].
     
  23. K. Z. Galimov, V. N. Paimushin, and I. G. Teregulov, Foundations of the Nonlinear Theory of Shells (Fen, Kazan, 1996) [in Russian].
     
  24. S. A. Kabrits, E. I. Mikhailovskii, P. E. Tovstik, K. F. Chernykh, and V. A. Shamina, General Nonlinear Theory of Elastic Shells (SPbGU, St. Petersburg, 2003) [in Russian].
     
  25. V. A. Eremeev and L. M. Zubov, Mechanics of Elastic Shells (Nauka, Moscow, 2008) [in Russian].
     
  26. S. K. Golushko and Yu. V. Nemirovskii, Direct and Inverse Problems of Mechanics of Elastic Composite Plates and Shells of Revolution (Fizmatlit, Moscow, 2008) [in Russian].
     
  27. N. F. Morozov, P. E. Tovstik, and T. P. Tovstik, “Generalized Timoshenko—Reissner model for a multilayer plate,” Mech. Solids 51, 527–537 (2016).
     
  28. V. A. Eremeev and L. P. Lebedev, “On solvability of boundary value problems for elastic micropolar shells with rigid inclusions,” Mech. Solids 55, 852–856 (2020).
     
  29. S. N. Timergaliev, “On the existence of solutions of a nonlinear boundary value problem for the system of partial differential equations of the theory of Timoshenko type shallow shells with free edges,” Differ. Equations 51 (3), 73–386 (2015). https://doi.org/10.1134/S0012266115030088
     
  30. S. N. Timergaliev, “On the problem of solvability of nonlinear equilibrium problems for shallow shells of Timoshenko type,” Prikl. Mat. Mekh. 82 (1), 98–113 (2018) [in Russian].
     
  31. S. N. Timergaliev, “Method of integral equations for studying the solvability of boundary value problems for the system of nonlinear differential equations of the theory of Timoshenko type shallow inhomogeneous shells,” Differ. Equations 55 (2), 243–259 (2019). https://doi.org/10.1134/S0012266119020095
     
  32. S. N. Timergaliev, “On the problem of solvability of nonlinear boundary value problems for arbitrary isotropic shallow shells of the Timoshenko type with free edges,” Russ. Math. 65 (4), 81–97 (2021). https://doi.org/10.3103/S1066369X21040071
     
  33. S. N. Timergaliev, “On the existence of solutions to boundary value problems for nonlinear equilibrium equations of shallow anisotropic shells of Timoshenko type in Sobolev space,” Russ. Math. 66 (4), 59–73 (2022). https://doi.org/10.3103/S1066369X22040065
     
  34. I. N. Vekua, Generalized Analytical Functions (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].
     
  35. N. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations (Nauka, Moscow, 1962) [in Russian].
     
  36. F. D. Gakhov, Boundary Value Problems (Fizmatgiz, Moscow, 1963) [in Russian].
     
  37. M. A. Krasnosel’skii, Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations (Gostekhizdat, Moscow, 1956) [in Russian].