Алгоритмы численного решения дробнодифференциальных уравнений с интервальными параметрами

Алгоритмы численного решения дробнодифференциальных уравнений с интервальными параметрами

Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 93-108 (2023)
Скачать статью

УДК 519.63 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.407

Аннотация:

В работе рассматриваются вопросы численного решения дробно-дифференциальных уравнений с интервальными параметрами в показателях производных, описывающих процессы аномальной диффузии. Представлены вычислительные алгоритмы решения начальнокраевых задач, а также соответствующих обратных задач для уравнений, содержащих интервальные дробные производные по времени и по пространству. В основе алгоритмов лежит ранее разработанный, теоретически обоснованный и апробированный на ряде прикладных задач алгоритм адаптивной интерполяции для моделирования динамических систем с интервальными параметрами, позволяющий в явном виде получать параметрические множества состояний динамических систем. На нескольких задачах продемонстрирована эффективность и работоспособность предлагаемых алгоритмов.

Литература:
  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
     
  2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
     
  3. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А., Юрков Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. Препринт IBRAE-2002-01. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002.
     
  4. Meerschaert M. M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations // Appl. Numer. Math. 2006. V. 56, N 1. P. 80–90.
     
  5. Zhang Y., Benson D. A., Meerschaert M. M., LaBolle E. M. Space-fractional advection-dispersion equations with variable parameters: Diverse formulas, numerical solutions, and application to the MADEsite data // Water Resour. Res. 2007. V. 43. Article W05439.
     
  6. Мороз Л. И., Масловская А. Г. Дробно-дифференциальная модель процесса теплопроводности сегнетоэлектрических материалов в условиях интенсивного нагрева // Математика и мат. моделирование. 2019. Т. 2. С. 29–47.
     
  7. Maslovskaya A. G., Moroz L. I., Chebotarev A. Yu., Kovtanyuk A. E. Theoretical and numerical analysis of the Landau–Khalatnikov model of ferroelectric hysteresis // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2021. V. 93. Article 105524.
     
  8. Мороз Л. И., Масловская А. Г. Численное моделирование процесса аномальной диффузии на основе схемы повышенного порядка точности // Матем. моделирование. 2020. Т. 32, № 10. С. 62–76; DOI: 10.20948/mm-2020-10-05
     
  9. Ревизников Д. Л., Сластушенский Ю. В. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале // Матем. моделирование. 2013. Т. 25, № 5. С. 3–14.
     
  10. Tverdyi D., Parovik R. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect // Fractal Fract. 2022. V. 6, N 3. Article 163; DOI: 10.3390/fractalfract6030163
     
  11. Zaky M. A., Van Bockstal K., Taha T. R., Suragan D., Hendy A. S. An L1 type difference/Galerkin spectral scheme for variable-order time-fractional nonlinear diffusion–reaction equations with fixed delay // J. Comput. Appl. Math. 2023. V. 420. Article 114832; DOI: 10.1016/j.cam.2022.114832
     
  12. Moore R. Interval analysis. N. J.: Prentice-Hall, 1966.
     
  13. Moore R. E., Kearfott R. B., Cloud M. J. Introduction to Interval Analysis. Philadelphia: SIAM, 2009.
     
  14. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2019.
     
  15. Добронец Б. С. Интервальная математика. Красноярск: Красноярский государственный университет, 2007.
     
  16. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции на основе kd-дерева для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными начальными условиями // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 7. С. 963–974; DOI: 10.1134/S0374064118070130
     
  17. Морозов А. Ю., Журавлев А. А., Ревизников Д. Л. Анализ и оптимизация алгоритма адаптивной интерполяции численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными параметрами // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 7. С. 960–974; DOI: 10.1134/S0374064120070122
     
  18. Morozov A. Yu., Zhuravlev A. A., Reviznikov D. L. Sparse Grid Adaptive Interpolation in Problems of Modeling Dynamic Systems with Interval Parameters // Mathematics. 2021. V. 9. Article 298; DOI: 10.3390/math9040298 
     
  19. Гидаспов В. Ю., Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции с использованием TT-разложения для моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61, № 9. С. 1416–1430; DOI: 10.31857/S0044466921090106
     
  20. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции на разреженных сетках для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными неопределённостями // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, № 7. С. 976–987; DOI: 10.31857/S0374064121070104
     
  21. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Интервальный подход к решению задач параметрической идентификации динамических систем // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58, № 7. С. 962–976; DOI: 10.31857/S0374064122070081
     
  22. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм подвижного окна для параметрической идентификации динамических систем с прямоугольными и эллипсоидными областями неопределённости параметров // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 6. С. 814–827; DOI: 10.31857/S0374064123060110
     
  23. Eijgenraam P. The Solution of Initial Value Problems Using Interval Arithmetic. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1981.
     
  24. Lohner R. J. Enclosing the solutions of ordinary initial and boundary value problems // Comput. Arith. Sci. Comput. Program. Lang. 1987. P. 255–286.
     
  25. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазовых состояний динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.
     
  26. Makino K., Berz M. Models and Their Applications // Numer. Softw. Verificat. 2017. P. 3–13.
     
  27. Nataraj P. S. V., Sondur S. The Extrapolated Taylor Model // Reliab. Comput. 2011. V. 15, N 3. P. 251–278.
     
  28. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 5. С. 102–116.
     
  29. Fu C., Ren X., Yang Y.-F., Lu K., Qin W. Steady-state response analysis of cracked rotors with uncertain but bounded parameters using a polynomial surrogate method // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2019. V. 68. P. 240–256; DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.08.004
     
  30. Fu C., Xu Y., Yang Y., Lu K., Gu F., Ball A. Response analysis of an accelerating unbalanced rotating system with both random and interval variables J. Sound Vib. 2020. V. 466. Article 115047; DOI: 10.1016/j.jsv.2019.115047 
     
  31. Xiao N., Fedele F., Muhanna R. L. Inverse Problems Under Uncertainties — An Interval Solution for the Beam Finite Element // Proc. 11th Internat. Conf. Struct. Safety Reliab. 2013; DOI: 10.1201/b16387-430
     
  32. Петрикевич Я. И. Структурно-параметрическая идентификация динамических объектов по интервальным исходным данным: дис. . . . канд. техн. наук: 05.13.18. Кемерово: КГУ, 2006.
     
  33. Дилигенская А. Н., Самокиш А. В. Параметрическая идентификация в обратных задачах теплопроводности в условиях интервальной неопределённости на основе нейронных сетей // Вестник СГТУ. 2020. Т. 28, № 4. С. 6–18.
     
  34. Петухов А. А., Ревизников Д. Л. Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16, № 6. С. 228–243.
     
  35. Gill Ph., Murray W., Wright M. Practical Optimization. London–New York: Academic Press, 1981.
     
  36. Shary S. P. Randomized algorithms in interval global optimization // Numer. Anal. Appl. 2008. V. 1. P. 376–389; DOI: 10.1134/S1995423908040083
     
  37. Shary S. P. A Surprising Approach in Interval Global Optimization // Reliab. Comput. 2001. V. 7, N 6. P. 497–505; DOI: 10.1023/A:1014754803382

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 075-15-2020-799).

А. Ю. Морозов
  1. Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, 
    ул. Вавилова, 44, корп. 2, г. Москва 119333, Россия
  2. Московский авиационный институт, 
    Волоколамское шоссе, 4, г. Москва 125993, Россия

E-mail: morozov@infway.ru

Д. Л. Ревизников
  1. Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, 
    ул. Вавилова, 44, корп. 2, г. Москва 119333, Россия
  2. Московский авиационный институт, 
    Волоколамское шоссе, 4, г. Москва 125993, Россия

E-mail: reviznikov@mai.ru

Статья поступила 01.08.2023 г.
После доработки — 28.09.2023 г.
Принята к публикации 01.11.2023 г.

Abstract:

The paper deals with the numerical solution of fractional differential equations with interval parameters in terms of derivatives describing anomalous diffusion processes. Computational algorithms for solving initial-boundary value problems as well as the corresponding inverse problems for equations containing interval fractional derivatives with respect to time and space are presented. The algorithms are based on the previously developed and theoretically substantiated adaptive interpolation algorithm tested on a number of applied problems for modeling dynamical systems with interval parameters; this makes it possible to explicitly obtain parametric sets of states of dynamical systems. The efficiency and workability of the proposed algorithms are demonstrated in several problems.

References:
  1. S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives and Some Applications (Nauka Tekh., Minsk, 1987) [in Russian].
     
  2. A. M. Nakhushev, Fractional Calculus and Applications (Fizmatlit, Moscow, 2003) [in Russian].
     
  3. V. M. Goloviznin, V. P. Kiselev, I. A. Korotkin, and Yu. I. Yurkov, “Some features of computational algorithms for fractional diffusion equations,” Preprint IBRAE-2002-01 (Nuclear Safety Institute, Russia Academy of Sciences, Moscow, 2002).
     
  4. M. M. Meerschaert and C. Tadjeran, “Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations,” Appl. Numer. Math. 56 (1), 80–90 (2006).
     
  5. Zhang Yong, D. A. Benson, M. M. Meerschaert, and E. M. LaBolle, “Space-fractional advection– dispersion equations with variable parameters: Diverse formulas, numerical solutions, and application to the MADE-site data,” Water Resour. Res. 43, W05439 (2007).
     
  6. L. I. Moroz and A. G. Maslovskaya, “Fractional-differential model of the process of thermal conduction of ferroelectric materials under conditions of intense heating,” Mat. Mat. Model. 2, 29–47 (2019) [in Russian].
     
  7. A. G. Maslovskaya, L. I. Moroz, A. Yu. Chebotarev, and A. E. Kovtanyuk, “Theoretical and numerical analysis of the Landau—Khalatnikov model of ferroelectric hysteresis,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 93, 105524 (13) (2021).
     
  8. L. I. Moroz and A. G. Maslovskaya, “Numerical simulation of an anomalous diffusion process based on the higher-order accurate scheme,” Math. Models Comput. Simul. 13 (3), 492–501 (2021). https://doi.org/10.1134/S207004822103011X
     
  9. D. L. Reviznikov and Yu. V. Slastushenskij, “Numerical simulation of anomalous diffusion of billiard gas in a polygonal channel,” Mat. Model. 25 (5), 3–14 (2013) [in Russian].
     
  10. D. Tverdyi and R. Parovik, “Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect,” Fractal Fractional 6 (3), 163 (2022). https://doi.org/DOI:10.3390/fractalfract6030163
     
  11. M. A. Zaky, K. van Bockstal, T. R. Taha, D. Suragan, and A. S. Hendy, “An L1 type difference/Galerkin spectral scheme for variable-order time-fractional nonlinear diffusion–reaction equations with fixed delay,” J. Comput. Appl. Math. 420, 114832 (2023). https://doi.org/10.1016/j.cam.2022.114832
     
  12. R. Moore, Interval Analysis (Prentice-Hall, New Jork, 1966).
     
  13. R. E. Moore, R. B. Kearfott, and M. J. Cloud, Introduction to Interval Analysis (SIAM, 2009).
     
  14. S. P. Shary, Finite-Dimensional Interval Analysis (XYZ, Novosibirsk, 2019) [in Russian].
     
  15. B. S. Dobronets, Interval Mathematics (Krasnoyarsk. Gos. Univ., Krasnoyarsk, 2007) [in Russian].
     
  16. A. Yu. Morozov and D. L. Reviznikov, “Adaptive interpolation algorithm based on a kd-tree for numerical integration of systems of ordinary differential equations with interval initial conditions,” Differ. Equations 54 (7), 945–956 (2018). https://doi.org/10.1134/S0012266118070121
     
  17. A. Yu. Morozov, A. A. Zhuravlev, and D. L. Reviznikov, “Analysis and optimization of an adaptive interpolation algorithm for the numerical solution of a system of ordinary differential equations with interval parameters,” Differ. Equations 56 (7), 935–949 (2020). https://doi.org/10.1134/s0012266120070125
     
  18. A. Yu. Morozov, A. A. Zhuravlev, and D. L. Reviznikov, “Sparse grid adaptive interpolation in problems of modeling dynamical systems with interval parameters,” Mathematics 9, 298 (2021). https://doi.org/10.3390/math9040298
     
  19. V. Yu. Gidaspov, A. Yu. Morozov, and D. L. Reviznikov, “Adaptive interpolation algorithm using TTdecomposition for modeling dynamical systems with interval parameters,” Comput. Math. Math. Phys. 61 (9), 1387–1400 (2021). https://doi.org/10.1134/S0965542521090098
     
  20. A. Yu. Morozov and D. L. Reviznikov, “Adaptive interpolation algorithm on sparse meshes for numerical integration of systems of ordinary differential equations with interval uncertainties,” Differ. Equations 57 (7), 947–958 (2021). https://doi.org/10.1134/S0012266121070107
     
  21. A. Yu. Morozov and D. L. Reviznikov, “Interval approach to solving parametric identification problems for dynamical systems,” Differ. Equations 58 (7), 952–965 (2022). https://doi.org/10.1134/S0012266122070084
     
  22. A. Yu. Morozov and D. L. Reviznikov, “Sliding window algorithm for parametric identification of dynamical systems with rectangular and ellipsoid parameter uncertainty domains,” Differ. Equations 59 (6), 833–846 (2023). https://doi.org/10.1134/S0012266123060113
     
  23. P. Eijgenraam, The Solution of Initial Value Problems Using Interval Arithmetic. Mathematical Centre Tracts no. 144 (Stichting Math. Centr., Amsterdam, 1981).
     
  24. R. J. Lohner, “Enclosing the solutions of ordinary initial and boundary value problems,” in Computer Arithmetic: Scientific Computation and Programming Languages (1987), pp. 255–286.
     
  25. F. L. Chernous’ko, Estimation of Phase States of Dynamical Systems. Ellipsoid Method (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].
     
  26. K. Makino and M. Berz, “Models and their applications,” Numerical Software Verification 2017: Conf. (Heidelberg, Germany, July 22–23, 2017) (Springer, 2017), pp. 3–13.
     
  27. P. S. V. Nataraj and S. Sondur, “The extrapolated Taylor model,” Reliable Comput. 251–278 (2011).
     
  28. A. N. Rogalev, “Guaranteed methods for solving systems of ordinary differential equations based on the transformation of symbolic formulas,” Vychisl. Tekhnol. 8 (5), 102–116 (2003) [in Russian].
     
  29. C. Fu, X. Ren, Y.-F. Yang, K. Lu, and W. Qin, “Steady-state response analysis of cracked rotors with uncertain but bounded parameters using a polynomial surrogate method,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 68, 240–256 (2019). https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.08.004
     
  30. C. Fu, Y. Xu, Y. Yang, K. Lu, F. Gu, and A. Ball, “Response analysis of an accelerating unbalanced rotating system with both random and interval variables,” J. Sound Vib. 466, 115047 (2020). https://doi.org/10.1016/j.jsv.2019.115047
     
  31. N. Xiao, F. Fedele, and R. L. Muhanna, “Inverse problems under uncertainties — An interval solution for the beam finite element,” 11th Int. Conf. Struct. Safety & Reliab. (New York, NY, USA, 2013). https://doi.org/10.1201/b16387-430
     
  32. Ya. I. Petrikevich, “Structural-parametric identification of dynamical objects by interval initial data,” Cand. Sci. (Eng.) Dissertation, (Kemerov. State Univ, Kemerovo, 2006) [in Russian].
     
  33. A. N. Diligenskaya and A. V. Samokish, “Parametric identification in inverse problems of heat conduction under conditions of interval uncertainty based on neural networks,” Vestn. Samarsk. Gos. Tekh. Univ. 28 (4 (68)), 6–18 (2020) [in Russian].
     
  34. A. A. Petukhov and D. L. Reviznikov, “Algorithms for numerical solutions of fractional differential equations,” Vestn. MAI. 16 (6), 228–243 (2009) [in Russian].
     
  35. P. Gill, W. Murray, and M.Wright, Practical Optimization (Academic Press., London—New York, 1981).
     
  36. S. P. Shary, “Randomized algorithms in interval global optimization,” Numer. Anal. Appl. 1, 376–389 (2008). https://doi.org/10.1134/S1995423908040083S. 
     
  37. P. Shary, “A surprising approach in interval global optimization,” Reliab. Comput. 7 (6), 497–505 (2001). https://doi.org/10.1023/A:1014754803382