Локально-равновесное приближение в задаче о динамике плоского турбулентного следа в пассивно стратифицированной среде

Локально-равновесное приближение в задаче о динамике плоского турбулентного следа в пассивно стратифицированной среде

Гребенев В. Н., Деменков А. Г. , Черных Г. Г.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 1(97), 16–28 (2024)
Скачать статью

УДК 532.517.4 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.102

Аннотация:

Для исследования течения в дальнем плоском турбулентном следе в пассивно стратифицированной среде привлекается математическая модель, включающая в себя дифференциальные уравнения баланса энергии турбулентности, переноса скорости её диссипации, касательного турбулентного напряжения, дефекта плотности жидкости и вертикальной компоненты вектора потока массы. Алгебраическое усечение последнего уравнения приводит к известному градиентному соотношению для вертикальной компоненты вектора потока массы. Установлено, что при определённом ограничении на значения эмпирических постоянных математической модели и при согласующемся с математической моделью законе роста временного масштаба это соотношение является совместной дифференциальной связью модели. Показана эквивалентность локально-равновесного приближения для вертикальной компоненты вектора потока массы равенству нулю скобки Пуассона для обезразмеренных значений коэффициента турбулентной диффузии и осреднённой плотности. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих теоретические результаты.

Литература:
  1. Монин А. С. Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Том 1,2. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992–1996.
     
  2. Hanjalic K., Launder B. E. Reassessment of modeling turbulence via Reynolds averaging: A review of second-moment transport strategy // Phys. Fluids. 2021. V. 33, N 9. Article 091302; DOI: 10.1063/5.0065211.
     
  3. Гребенев В. Н., Илюшин Б. Б. О применении дифференциальных связей для анализа моделей турбулентности // Доклады АН. 2000. Т. 374, № 6. C. 761–764.
     
  4. Шмидт А. В. Автомодельные решения модели дальнего турбулентного следа // Изв. РАН. МЖГ. 2019. № 2, С. 94–98; DOI: 10.1134/S0568528119010134
     
  5. Shmidt A. V. Similarity in the far swirling momentumless turbulent wake // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2020. V. 13. N 1. P. 79–86; DOI: 10.17516/1997-1397-2020-13-1-79-86.
     
  6. Belolipetskii V. M., Genova S. N. On application of Prandtl—Obukhov formula in the numerical model of the turbulent layer depth dynamics // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2020. V. 13. N 1. P. 37–47; DOI: 10.17516/1997-1397-2020-13-1-37-47.
     
  7. Kingenberg D., Oberlack M., Pluemacher D. Symmetries and turbulence modelling // Phys. Fluids. 2020. V. 32, N 2. Article 025108; DOI: 10.1063/1.5141165.
     
  8. Kingenberg D., Oberlack M. Statistically invariant eddy viscosity models // Phys. Fluids. 2022. V. 34, N 5. Article 05514; DOI: 10.1063/5.0090988.
     
  9. Kaandorp M. L. A., Dwight R. P. Data-driven modelling of the Reynolds stress tensor using random forests with invariance // Comput. Fluids. 2020. V. 202. Article 104497; DOI: 10.1016/j.compfluid.2020.104497.
     
  10. Бернар А., Яковенко С. Н. Усовершенствование RANS-моделей с помощью случайного леса с тензорным базисом для турбулентных течений в двумерных каналах с выступами // Прикл. механика и техн. физика. 2023. Т. 64, № 3. С. 89–94; DOI: 10.15372/PMTF202215201.
     
  11. Grebenev V. N., Demenkov A. G., Chernykh G. G., Grichkov A. N. Local equilibrium approximation in free turbulent flows: verification through the method of differential constrains // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2021. V. 117, N 9. Article e202000095; DOI: 10.1002/zamm.202000095.
     
  12. Гребенев В. Н., Деменков А. Г., Черных Г. Г. Метод дифференциальных связей: локальноравновесное приближение в безымпульсном плоском турбулентном следе // Прикл. механика и техн. физика. 2021. Т. 62, № 3. С. 38–47; DOI: 10.15372/PMTF20210304.
     
  13. Alexopoulos C. C., Keffer J. F. Turbulent Wake in a Passively Stratified Field // Phys. Fluids. 1971. V. 14, N 2, P. 216–224.
     
  14. Durbin P. A., Hunt J. C. R., Firth D. Mixing by a turbulent wake of a uniform temperature gradient in the approach flow // Phys. Fluids. 1982. V. 25, N 4, P. 588–591.
     
  15. Ефремов И. А., Капцов О. В., Черных Г. Г. Автомодельные решения двух задач свободной турбулентности // Матем. моделирование. 2009. Т. 21, № 12. С. 137–144.
     
  16. Rodi W. Turbulence models and their application in hydraulics. A state of the art review. Delft: IAHR, 1980.
     
  17. Яненко Н. Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда. 1964. Т. 2. С. 247–252.
     
  18. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1988.
     
  19. Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.
     
  20. Harsha P. T. Kinetic Energy Methods // Handbook of Turbulence. Volume 1 Fundamentals and Applications. 1977. P. 187–235.
     
  21. Hinze J. O. Turbulence. Second edition. N. Y.: McGraw-Hill College, 1975.

Результаты получены в рамках работы по теме «Разработка и исследование вычислительных технологий решения фундаментальных и прикладных задач аэро-, гидро- и волновой динамики» государственного задания Федерального исследовательского центра информационных и вычислительных технологий. Численные эксперименты выполнены в рамках государственного задания Института теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН (проект 122041400020-6). Постановка задачи и результаты расчётов обсуждались соавторами совместно. Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. Н. Гребенев
  1. Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 6, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: vngrebenev@gmail.com

А. Г. Деменков
  1. Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 1, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный технический университет, 
    просп. К. Маркса, 20, г. Новосибирск 630073, Россия

E-mail: demenkov@itp.nsc.ru

Г. Г. Черных
  1. Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 6, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: chernykh@ict.nsc.ru

Статья поступила 22.02.2023 г
После доработки — 27.04.2023 г.
Принята к публикации 07.06.2023 г

Abstract:

To study the flow in a far plane turbulent wake in a passively stratified medium, we use a mathematical model that includes differential equations for the balance of turbulence energy, the transfer of its dissipation rate, shear turbulent stress, a defect of the density of the liquid, and the vertical component of the mass flux vector. Algebraic truncation of the last equation leads to a well-known gradient relation for the vertical component of the mass flux vector. It is established that under a certain constraint on the values of empirical constants in the mathematical model and the law of time scale growth consistent with the mathematical model, this relation is a differential constraint for the model. The equivalence of the local equilibrium approach for the vertical component of the mass flux vector and the zero Poisson bracket for the dimensionless turbulent diffusion coefficient and the averaged density is shown. The results of numerical experiments illustrating the theoretical results are presented.

References:
  1. A. S. Monin and A. M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence (Dover Publ., Mineola, 2007; Gidrometeoizdat, St. Petersburg, 1992–1996).
     
  2. K. Hanjalic and B. E. Launder, “Reassessment of modeling turbulence via Reynolds averaging: A review of second-moment transport strategy,” Phys. Fluids 33 (9), 091302 (2021). https://doi.org/10.1063/5.0065211
     
  3. V. N. Grebenev and B. B. Ilyushin, “Application of differential constraints to the analysis of turbulence models,” Dokl. Phys. 45 (10), 550–553 (2000).
     
  4. A. V. Shmidt, “Self-similar solutions of the model $k − \omega$ for a turbulent far wake,” Fluid Dyn. 54 (2), 239–243 (2019). https://doi.org/10.1134/S0015462819010130
     
  5. A. V. Shmidt, “Similarity in the far swirling momentumless turbulent wake,” J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 13 (1), 79–86 (2020). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2020-13-1-79-86
     
  6. V. M. Belolipetskii and S. N. Genova, “On application of Prandtl–Obukhov formula in the numerical model of the turbulent layer depth dynamics,” J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 13 (1), 37–47 (2020). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2020-13-1-37-47 
     
  7. D. Kingenberg, M. Oberlack, and D. Pluemacher, “Symmetries and turbulence modelling,” Phys. Fluids 32 (2), 025108 (2020). https://doi.org/10.1063/1.5141165
     
  8. D. Kingenberg and M. Oberlack, “Statistically invariant eddy viscosity models,” Phys. Fluids 34 (5), 05514 (2022). https://doi.org/10.1063/5.0090988
     
  9. M. L. A. Kaandorp and R. P. Dwight, “Data-driven modelling of the Reynolds stress tensor using random forests with invariance,” Comput. Fluids 202, 104497 (2020). https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2020.104497
     
  10. A. Bernard and S. N. Yakovenko, “Enhancement of RANS models by means of the tensor basis random forest for turbulent flows in two-dimensional channels with bumps,” J. Appl. Mech. Tech. Phys. 64 (3), 437–441 (2023). https://doi.org/10.1134/S0021894423030094
     
  11. V. N. Grebenev, A. G. Demenkov, G. G. Chernykh, and A. N. Grichkov, “Local equilibrium approximation in free turbulent flows: verification through the method of differential constrains,” ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 117 (9), e202000095 (2021). https://doi.org/10.1002/zamm.202000095
     
  12. V. N. Grebenev, A. G. Demenkov, and G. G. Chernykh, “Method of Differential Constraints: Local Equilibrium Approximation in a Planar Momentumless Turbulent Wake,” J. Appl. Mech. Tech. Phys. 62 (3), 383–390 (2021). https://doi.org/10.15372/PMTF20210304
     
  13. C. C. Alexopoulos and J. F. Keffer, “Turbulent wake in a passively stratified field,” Phys. Fluids 14 (2), 216–224 (1971).
     
  14. P. A. Durbin, J. C. R. Hunt, and D. Firth, “Mixing by a turbulent wake of a uniform temperature gradient in the approach flow,” Phys. Fluids 25 (4), 588–591 (1982).
     
  15. I. A. Efremov, O. V. Kaptsov, and G. G. Chernykh, “Self-similar solutions of two problems of free turbulence,” Mat. Model. 21 (12), 137–144 (2009) [in Russian].
     
  16. W. Rodi, Turbulence Models and Their Application in Hydraulics. A State of the Art Review (IAHR, Delft, 1980). 
     
  17. N. N. Yanenko, “Compatibility theory and methods for integrating systems of nonlinear partial differential equations,” Proc. 4th All-Union. Math. Congr. 2, 247–252 (Nauka, Leningrad, 1964) [in Russian].
     
  18. A. F. Sidorov, V. P. Shapeev, and N. N. Yanenko, Method of Differential Constraints and Applications in Gas Dynamics (Nauka, Novosibirsk, 1988) [in Russian].
     
  19. V. K. Andreev, O. V. Kaptsov, V. V. Pukhnachev, and A. A. Rodionov, Applications of GroupTheoretical Methods in Hydrodynamics (Springer, Dordrecht, 1998; Nauka, Novosibirsk, 1994).
     
  20. P. T. Harsha, “Kinetic Energy Methods,” Handbook of Turbulence. Vol. 1. Fundamentals and Applications 187–235 (1977).
     
  21. J. O. Hinze, Turbulence (McGraw-Hill College, New York, 1975).