Законы сохранения и решения первой краевой задачи для двумерных и трёхмерных уравнений теории упругости

Законы сохранения и решения первой краевой задачи для двумерных и трёхмерных уравнений теории упругости

Сенашов С. И., Савостьянова И. Л.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 2(98), 100–111 (2024)
Скачать статью

УДК 517.9 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.107

Аннотация:

Известно, что если система дифференциальных уравнений допускает группу непрерывных преобразований, то в ряде случаев, она может быть представлена в виде совокупности двух систем дифференциальных уравнений. Как правило, эти системы имеют меньший порядок, чем исходная система. Выше сказанное относится к линейным уравнениям теории упругости. Первая система — автоморфная, характеризуется тем, что все её решения получаются из одного решения с помощью преобразований этой группы. Вторая система — разрешающая, её решения под действием группы переходят сами в себя. Разрешающая система несёт основную информацию об исходной системе. В данной работе изучаются автоморфная и разрешающая системы двумерных и трёхмерных стационарных уравнения упругости которые являются системами дифференциальных уравнений первого порядка. Построены бесконечные серии законы сохранения для разрешающих систем уравнений и автоморфных систем. Поскольку рассматриваемые системы уравнений упругости линейны, то таких законов имеется бесконечно много. В данной работе построена бесконечные серии законов сохранения линейных по первым производным. Именно эти законы позволили решить первую краевую задачи для уравнений теории упругости в двумерном и трёхмерном случае. Решения построены в виде квадратур, которые вычисляются по границе исследуемых областей.

Литература:
  1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
     
  2. Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1985.
     
  3. Аннин Б. Д., Остросаблин Н. И., Угрюмов Р. И. Определяющие уравнения анизотропной моментной линейной теории упругости и двумерная задача о чистом сдвиге со стеснённым вращением // Сиб. журн. индустр. матем. 2023. Т. 26, № 1. С. 5–19.
     
  4. Остросаблин Н. И. Общее решение и приведение системы уравнений линейной изотропной упругости к диагональному виду // Сиб. журн. индустр. матем. 2010. Т. 12, № 2. С. 79–83.
     
  5. Остросаблин Н. И. Диагонализация системы статических уравнений Ламе линейной изотропной упругости // Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15, № 3. С. 87–98.
     
  6. Остросаблин Н. И. Общее решение двумерной системы статических уравнений Ламе линейной теории упругости с несимметричной матрицей модулей упругости // Сиб. журн. индустр. матем. 2018. Т. 121, № 1. С. 61–71.
     
  7. Прудников В. Ю., Чиркунов Ю. А. Групповое расслоение уравнений Ламе // Прикл. матем. и механика. 1988. Т. 52, № 3. С. 471–477.
     
  8. Бельмецев Н. Ф., Чиркунов Ю. А. Точные решения уравнений динамической асимметричной модели теории упругости // Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15, № 4. С. 38–50.
     
  9. Радаев Ю. Н. Представление перемещений в пространственной гармонической задаче теории упругости с помощью двух винтовых векторов // Изв. РАН МТТ. 2021. № 2. С. 148–156.
     
  10. Сенашов С. И., Савостьянова И. Л. Использование законов сохранения для решения краевых задач системы Моисила—Теодореску // Сиб. журн. индустр. матем. 2022. Т. 25, № 2. С. 101–109.
     
  11. Меграбов А. Г. Законы сохранения и другие формулы для семейств лучей и фронтов и для уравнения эйконала // Сиб. журн. вычисл. матем. 2019. Т. 22, № 4. С. 483–497.

Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на выполнение проекта «Разработка многофункциональных интеллектуальных материалов и структур на основе модифицированных полимерных композиционных материалов способных функционировать в экстремальных условиях» (проект FEFE-2020-0015). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

С. И. Сенашов
  1. Сибирский государственный университет науки и технологий им. М. Ф. Решетнева, 
    пр. Красноярский рабочий, 31, г. Красноярск 660037, Россия

E-mail: sen@sibsau.ru

И. Л. Савостьянова
  1. Сибирский государственный университет науки и технологий им. М. Ф. Решетнева, 
    пр. Красноярский рабочий, 31, г. Красноярск 660037, Россия

E-mail: ruppa@inbox.ru

Статья поступила 16.08.2022 г. 
После доработки — 29.02.2024 г.
Принята к публикации 03.03.2024 г.

Abstract:

If a system of differential equations admits a continuous transformation group, then, in some cases, the system can be represented as a combination of two systems of differential equations. These systems, as a rule, are of smaller order than the original one. This information pertains to the linear equations of elasticity theory. The first system is automorphic and is characterized by the fact that all of its solutions are obtained from a single solution using transformations in this group. The second system is resolving, with its solutions passing into themselves under the group action. The resolving system carries basic information about the original system. The present paper studies the automorphic and resolving systems of two- and three-dimensional time-invariant elasticity equations, which are systems of first-order differential equations. We have constructed infinite series of conservation laws for the resolving systems and automorphic systems. There exist infinitely many such laws, since the systems of elasticity equations under consideration are linear. Infinite series of linear conservation laws with respect to the first derivatives are constructed in this article. It is these laws that permit solving the first boundary value problem for the equations of elasticity theory in the two- and three-dimensional cases. The solutions are constructed by quadratures, which are calculated along the boundary of the studied domains.

References:
  1. W. Nowacki, Teoria sprezystości (PWN, Warsaw, 1970; Mir, Moscow, 1975).
     
  2. B. D. Annin, V. O. Bytev, and S. I. Senashov, Group Properties of the Equations of Elasticity and Plasticity (Nauka, Novosibirsk, 1985) [in Russian].
     
  3. B. D. Annin, N. I. Ostrosablin, and R. I. Ugryumov, “Defining equations of the anisotropic moment linear theory of elasticity and the two-dimensional problem of pure shear with constrained rotation,” J. Appl. Ind. Math. 17 (1), 1–14 (2023).
     
  4. N. I. Ostrosablin, “The general solution and reduction to diagonal form of a system of equations of linear isotropic elasticity,” J. Appl. Ind. Math. 4 (3), 354–358 (2010).
     
  5. N. I. Ostrosablin, “Diagonalization of the system of static LamВґe equations of isotropic linear elasticity,” J. Appl. Ind. Math. 7 (1), 89–99 (2013).
     
  6. N. I. Ostrosablin, “General solution for the two-dimensional system of static Lame’s equations with an asymmetric elasticity matrix,” J. Appl. Ind. Math. 12 (1), 126–135 (2018).
     
  7. V. Yu. Prudnikov and Yu. A. Chirkunov, “Group foliation of LamВґe equations,” Prikl. Mat. Mekh. 52 (3), 471–477 (1988).
     
  8. N. F. Belmetsev and Yu. A. Chirkunov, “Exact solutions to the equations of a dynamic asymmetric pseudoelasticity model,” J. Appl. Ind. Math. 7 (1), 41–53 (2013).
     
  9. Yu. N. Radaev, “Representation of displacements in a spatial harmonic problem of the theory of elasticity using two screw vectors,” Mech. Solids 56 (2), 263–270 (2021).
     
  10. S. I. Senashov and I. L. Savostyanova, “Using conservation laws to solve boundary value problems of the Moisil–Teodorescu system,” Sib. Zh. Ind. Mat. 25 (2), 101–109 (2022) [in Russian].
     
  11. A. G. Megrabov, “Conservation laws and other formulas for families of rays and wavefronts and for the eikonal equation,” Numer. Anal. Appl. 12 (4), 395–406 (2019).