О некоторых линейных двумерных интегральных уравнениях Вольтерра первого рода

О некоторых линейных двумерных интегральных уравнениях Вольтерра первого рода

Солодуша С. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 2(98), 112–120 (2024)
Скачать статью

УДК 519.642 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.208

Аннотация:

Важным этапом построения интегральных моделей нелинейных динамических систем на основе аппарата рядов Вольтерра является задача идентификации ядер Вольтерра. В статье рассмотрен новый класс двумерных интегральных уравнений, которые возникают при восстановлении несимметричных ядер в полиноме Вольтерра второй степени, где $x(t)$ — входная вектор-функция времени. Стратегия выбора тестовых сигналов, используемых для решения этой задачи, основана на применении кусочно-линейных функций (имеющих фронт нарастания). Для выделенного типа уравнений Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования построена явная формула обращения. Исследуются вопросы существования и единственности решения соответствующих уравнений в классе $C_{[0,T]}$.

Литература:
  1. Глушков В. М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей // Управляющие сист. и машины. 1977. № 2. С. 3–6.
     
  2. Бойков И. В., Тында А. Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1214–1223.
     
  3. Markova E. V., Sidler I. V. Numerical solution of the age structure optimization problem for basic types of power plants // Yugosl. J. Oper. Res. 2019. V. 29, N 1. P. 81–92; DOI: 10.2298/YJOR171015009M
     
  4. Апарцин А. С. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода в теории развивающихся систем // Численные методы оптимизации и анализа. 1992. С. 58–67.
     
  5. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода. Теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999.
     
  6. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Формулы обращения некоторых двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Изв. вузов. Матем. 1998. № 9. С. 30–32.
     
  7. Ботороева М. Н., Булатов М. В. Приложения и методы численного решения одного класса интегроалгебраических уравнений с переменными пределами интегрирования // Изв. ИГУ Сер. Матем. 2017. Т. 20. С. 3–16; DOI: 10.26516/1997-7670.2017.20.3
     
  8. Асанов А. А., Чоюбеков С. М. Решение неклассических интегральных уравнений Вольтерра I рода с вырожденным нелинейным ядром // Междунар. науч.-исслед. журнал. 2018. № 4(70). С. 134–138; DOI: 10.23670/IRJ.2018.70.029
     
  9. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.
     
  10. Солодуша С. В. О новом классе двумерных интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменными пределами интегрирования // Тр. ИММ УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 216–225; DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-216-225
     
  11. Solodusha S. V. Identification of Symmetric Volterra Kernels Using Piecewise Linear Test Signals // Proc. 16th Int. Conf. Stab. Oscil. Nonlinear Control Syst. 2022; DOI: 10.1109/STAB54858.2022.9807575
     
  12. Апарцин A. C. Теоремы существования и единственности решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (векторный случай). Иркутск, 1996. (Препр. / СЭИ СО РАН; № 8).

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00409; https://rscf.ru/project/22-21-00409/). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

С. В. Солодуша
  1. Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 130, г. Иркутск 664033, Россия

E-mail: solodusha@isem.irk.ru

Статья поступила 20.11.2023 г.
После доработки — 07.03.2024 г.
Принята к публикации 22.05.2024 г.

Abstract:

The problem of identifying Volterra kernels is an important stage in the construction of integral models of nonlinear dynamical systems based on the tool of Volterra series. The paper considers a new class of two-dimensional integral equations that arise when recovering nonsymmetric kernels in a Volterra polynomial of the second degree, where $x(t)$ is the input vector function of time. The strategy for choosing test signals used to solve this problem is based on applying piecewise linear functions (with a rising edge). An explicit inversion formula is constructed for the selected type of Volterra equations of the first kind with variable integration limits. The questions of existence and uniqueness of solutions of the corresponding equations in the class $C_{[0,T]}$ are studied.

References:
  1. V. M. Glushkov, “On one class of dynamic macroeconomic models,” Upr. Sist. Mash. (2), 3–6 (1977) [in Russian]. 
     
  2. I. V. Boikov and A. N. Tynda, “Approximate solution of nonlinear integral equations of the theory of developing systems,” Differ. Equations 39 (9), 1277–1288 (2003).
     
  3. E. V. Markova and I. V. Sidler, “Numerical solution of the age structure optimization problem for basic types of power plants,” Yugosl. J. Oper. Res. 29 (1), 81–92 (2019). https://doi.org/10.2298/YJOR171015009M
     
  4. A. S. Apartsin, “On Volterra integral equations of the first kind in the theory of developing systems,” in Numerical Methods of Optimization and Analysis (1992), 58–67.
     
  5. A. S. Apartsin, Nonclassical Volterra Equations of the First Kind. Theory and Numerical Methods (Nauka, Novosibirsk, 1999) [in Russian].
     
  6. V. F. Volkodavov and I. N. Rodionova, “Inversion formulas for some two-dimensional Volterra integral equations of the first kind,” Russ. Math. 42 (9), 28–30 (1998).
     
  7. M. N. Botoroeva and M. V. Bulatov, “Applications and methods of numerical solution of one class of integro-algebraic equations with variable integration limits,” Izv. IGU Ser. Mat. 20 (), 3–16 (2017) [in Russian]. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.20.3
     
  8. A. A. Asanov and S. M. Choyubekov, “Solution of non-classical Volterra integral equations of the first kind with a degenerate nonlinear kernel,” Mezhdunar. Nauchn.-Issled. Zh. 4 (70), 134–138 (2018) [in Russian]. https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.70.029
     
  9. V. Volterra, Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations (Dover, New York, 1959; Nauka, Moscow, 1982).
     
  10. S. V. Solodusha, “On a new class of two-dimensional integral equations of the first kind of Volterra type with variable limits of integration,” Tr. IMM UrO RAN 28 (4), 216–225 (2022) [in Russian]. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-4-216-225
     
  11. S. V. Solodusha, “Identification of symmetric Volterra kernels using piecewise linear test signals,” Proc. 16th Int. Conf. Stab. Oscil. Nonlinear Control Syst. (2022). https://doi.org/10.1109/STAB54858.2022.9807575
     
  12. A. S. Apartsin, “Theorems of the existence and uniqueness of solutions of Volterra equations of the first kind related to the identification of nonlinear dynamic systems (vector case),” Preprint of SEI SO RAN, Irkutsk, 1996, no. 8 [in Russian].