Оценки сверху кратности точек спектра дифференциального оператора четвёртого порядка на графе

Оценки сверху кратности точек спектра дифференциального оператора четвёртого порядка на графе

Уртаева А. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 2(98), 121–132 (2024)
Скачать статью

УДК 517.927.25 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.209

Аннотация:

Работа посвящена изучению модели плоской балочной конструкции, описываемой краевой задачей четвёртого порядка на геометрическом графе. Во внутренних вершинах (узлах) графа задаются условия упруго-шарнирного соединения балок. Изучаются свойства точек спектра соответствующей спектральной задачи. Доказываются оценки сверху для кратности собственных значений. Показано, что кратность точек спектра зависит от структуры графа (количество граничных вершин, циклов и т. п.). Приводится пример, показывающий, что полученные оценки являются точными.

Литература:
  1. Боровских А. В., Мустафокулов Р., Лазарев К. П., Покорный Ю. В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвёртого порядка на пространственной сети // Доклады РАН. 1995. Т. 345, № 6. P. 730–732. 
     
  2. Кулаев Р. Ч., Уртаева А. А. О кратности собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка на графе // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58, № 7. С. 882–889; DOI: 10.31857/S0374064122070020
     
  3. Кулаев Р. Ч. О функции Грина краевой задачи на графе-пучке // Изв. вузов. Матем. 2013. Т. 2. С. 56–66.
     
  4. Кулаев Р. Ч. Неосцилляция уравнения четвёртого порядка на графе // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 12. С. 79–118.
     
  5. Покорный Ю. В., Мустафокулов Р. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвёртого порядка на графе // Изв. вузов. Матем. 1999. Т. 2. С. 75–82.
     
  6. Borovskikh A. V., Lazarev K. P. Fourth-order differential equations on geometric graphs // J. Math. Sci. 2004. V. 119, N 6. P. 719–738.
     
  7. Mercier D., Régnier V. Control of a network of Euler—Bernoulli beams // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 342, N 2. P. 874–894.
     
  8. Xu G. Q., Mastorakis N. E. Differential equations on metric graph. Zografou: Wseas Press, 2010.
     
  9. Lubary J. A. On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs // Lect. Notes Pure Appl. Math. 2001. V. 219. P. 135–146.
     
  10. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В. , Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2007.
     
  11. Kuchment P. Quantum graphs. I. Some basic structures // Waves Random Media. 2004. V. 14, N 1. P. S107–S128.
     
  12. Kuchment P. Quantum graphs. II. Some spectral properties of quantum and combinatouial graphs // J. Phys. A Math. Gen. 2005. V. 38, N 22. P. 4887–4900.
     
  13. Диаб А. Т., Калдыбекова Б. К., Пенкин О. М. О кратности собственных значений в задаче Штурма—Лиувилля на графах // Матем. заметки. 2016. Т. 99, № 4. С. 489–501.
     
  14. Кулаев Р. Ч. Об осцилляционности функции Грина многоточечной краевой задачи для уравнения четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 2015. V. 51, N 4. С. 445–458.
     
  15. Кулаев Р. Ч. Критерий положительности функции Грина многоточечной краевой задачи для уравнения четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 2. С. 161–173.
     
  16. Кулаев Р. Ч. О свойстве неосцилляции уравнения на графе // Сиб. матем. журн. 2016. Т. 57, № 1. С. 85–97. 
     
  17. Кулаев Р. Ч., Уртаева А. А. Теоремы Штурма о распределении нулей для уравнения четвёртого порядка на графе // Матем. заметки. 2022. Т. 112, № 6. С. 947–952.
     
  18. Kulaev R. Ch. The qualitative theory of fourth-order differential equations on a graph // Mediterr. J. Math. 2022. V. 19. Article 73.
     
  19. Kulaev R. Ch., Urtaeva A. A. Spectral properties of a fourth-order differential operator on a network // Math. Methods Appl. Sci. 2023. V. 46, N 14. P. 15743–15763; DOI: 10.1002/mma.9424
     
  20. Timoshenko S. P., Young D. H., Weaver Jr. W. Vibration Problems in Engineering, 5th Edition. Hoboken: Wiley InterScience, 1990.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (cоглашение № 075-02-2024-1447). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. А. Уртаева
  1. Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, 
    ул. Ватутина, 44–46, г. Владикавказ 362025, Россия

E-mail: urtaeva-96@mail.ru

Статья поступила 05.12.2023 г. 
После доработки — 11.03.2024 г.
Принята к публикации 17.04.2024 г.

Abstract:

The paper studies a model of a planar beam structure described by a fourth-order boundary value problem on a geometric graph. Elastic-hinge joint conditions are posed at the interior vertices of the graph. We study the properties of the spectral points of the corresponding spectral problem, prove upper bounds for the eigenvalue multiplicities, and show that the eigenvalue multiplicities depend on the graph structure (the number of boundary vertices, cycles, etc.). We give an example showing that our estimates are sharp.

References:
  1. A. V. Borovskikh, R. Mustafokulov, K. P. Lazarev, and Yu. V. Pokornyi, “On one class of fourth-order differential equations on a spatial network,” Dokl. Ross. Akad. Nauk 345 (6), 730–732 (1995) [in Russian].
     
  2. R. Ch. Kulaev and A. A. Urtaeva, “On the multiplicity of eigenvalues of a fourth-order differential operator on a graph,” Differ. Equations 58 (7), 869–876 (2022).
     
  3. R. Ch. Kulaev, “The Green function of the boundary-value problem on a star-shaped graph,” Russ. Math. 57 (2), 48–57 (2013).
     
  4. R. Ch. Kulaev, “Disconjugacy of fourth-order equations on graphs,” Sb. Math. 206 (12), 1731–1770 (2015).
     
  5. Yu. V. Pokornyi and R. Mustafokulov, “On the positivity of the Green’s function of linear boundary value problems for fourth-order equations on a graph,” Russ. Math. 43 (2), 71–78 (1999).
     
  6. A. V. Borovskikh and K. P. Lazarev, “Fourth-order differential equations on geometric graphs,” J. Math. Sci. 119 (6), 719–738 (2004).
     
  7. D. Mercier and V. RВґegnier, “Control of a network of Euler—Bernoulli beams,” J. Math. Anal. Appl. 342 (2), 874–894 (2008).
     
  8. G. Q. Xu, N. E. Mastorakis, Differential Equations on Metric Graph (Wseas Press, Zografou, 2010).
     
  9. J. A. Lubary, “On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs,” Lect. Notes Pure Appl. Math. 219 (Marcel Dekker, New York, 2001), 135–146.
     
  10. Yu. V. Pokornyi, O. M. Penkin, V. L. Pryadiev, A. V. Borovskikh, K. P. Lazarev, and S. A. Shabrov, Differential Equations on Geometric Graphs (Fizmatlit, Moscow, 2007) [in Russian].
     
  11. P. Kuchment, “Quantum graphs. I. Some basic structures,” Waves Random Media 14 (1), S107–S128 (2004).
     
  12. P. Kuchment, “Quantum graphs. II. Some spectral properties of quantum and combinatorial graphs,” J. Phys. A Math. Gen. 38 (22), 4887–4900 (2005).
     
  13. A. T. Diab, B. K. Kaldybekova, and O. M. Penkin, “On the multiplicity of eigenvalues of the Sturm– Liouville problem on graphs,” Math. Notes 99 (4), 492–502 (2016).
     
  14. R. Ch. Kulaev, “Oscillation of the Green function of a multipoint boundary value problem for a fourthorder equation,” Differ. Equations 51 (4), 449–463 (2015).
     
  15. R. Ch. Kulaev, “Criterion for the positiveness of the Green function of a many-point boundary value problem for a fourth-order equation,” Differ. Equations 51 (2), 163–176 (2015).
     
  16. R. Ch. Kulaev, “On the disconjugacy property of an equation on a graph,” Sib. Math. J. 57 (1), 64–73 (2016).
     
  17. R. Ch. Kulaev and A. A. Urtaeva, “Sturm separation theorems for a fourth-order equation on a graph,” Math. Notes 111 (6), 977–981 (2022).
     
  18. R. Ch. Kulaev, “The qualitative theory of fourth-order differential equations on a graph,” Mediterr. J. Math. 19, 73 (2022).
     
  19. R. Ch. Kulaev and A. A. Urtaeva, “Spectral properties of a fourth-order differential operator on a network,” Math. Methods Appl. Sci. 46 (14), 15743–15763 (2023). https://doi.org/10.1002/mma.9424
     
  20. S. P. Timoshenko, D. H. Young, and W. Weaver, Jr., Vibration Problems in Engineering (Wiley InterScience, Hoboken, 1990), 5th Ed.