О лучевых приближенных прифронтовых решениях в осесимметричной динамике деформаций линейноупругого полупространства

О лучевых приближенных прифронтовых решениях в осесимметричной динамике деформаций линейноупругого полупространства

Рагозина В. Е., Иванова Ю. Е., Дудко О. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 3(99), 126–142 (2024)
Скачать статью

УДК 539.3 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.309

Аннотация:

Рассматривается динамика осесимметричных двумерных деформаций в линейноупругом полупространстве, ограниченном гладкой поверхностью вращения с положительной гауссовой кривизной. Приближенное решение начально-краевой задачи строится на основе лучевых рядов с разложением по времениподобной переменной. Для прифронтовых областей криволинейных волн сильных разрывов используется ограниченное число членов лучевого ряда с коэффициентами — разрывами производных перемещений по времени (начиная с производной первого порядка). Показано, что при двумерном характере процесса деформации на $k$-ом шаге лучевого метода необходимо учитывать компоненты лучевых рядов до $(k + 1)$-го порядка включительно.

Литература:
  1. Fedorova L. V. Solution of the dynamic problem of the linear theory of elasticity // Mech. Solids. 2018. V. 53, N 6. P. 609–614; DOI: 10.3103/S002565441806002X
     
  2. Fesenko A., Vaysfel’d N. The dynamical problem for the infinite elastic layer with a cylindrical cavity // Procedia Struct. Integrity. 2021. V. 33. P. 509–527; DOI: 10.1016/j.prostr.2021.10.058
     
  3. Ильяшенко А. В. Распространение плоского ударного фронта в упругом слое // Изв. РАН. МТТ. 2022. Т. 5, № 5. С. 141–149; DOI: 10.31857/S0572329922050075
     
  4. Burenin A. A., Gerasimenko E. A., Kovtanyuk L. V. On the unloading dynamics in an elastic/viscoplastic material predeformed by viscometric twisting // Mater. Phys. Mech. 2023. V. 51, N 1. P. 68–83; DOI: 10.18149/MPM.5112023_7
     
  5. Садовский В. М. К теории ударных волн в изотропно упрочняющихся пластических средах // Прикл. мат. и мех. 2023. Т. 87, № 2. С. 254–264; DOI: 10.31857/S0032823523020133
     
  6. Surana K. S., Knight J., Reddy J. N. Nonlinear waves in solid continua with finite deformation // Am. J. Comput. Math. 2015. V. 5, N 3. P. 345–386; DOI: 10.4236/ajcm.2015.53032
     
  7. Пшеничнов С. Г. Нестационарные динамические задачи линейной вязкоупругости // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 1. С. 84–96.
     
  8. Fesenko A. A., Moyseenok A. P. Exact solution of a nonstationary problem for the elastic layer with rigid cylindrical inclusion // J. Math. Sci. 2020. V. 249. P. 478–495; DOI: 10.1007/s10958-020-04954-3
     
  9. Korovaytseva E. A., Pshenichnov S. G. Solutions of non-stationary dynamic problems of linear viscoelasticity // Lobachevskii J. Math. 2019. V. 40. P. 328–334; DOI: 10.1134/s1995080219030120
     
  10. Тарлаковский Д. В., Салиев А. А., Мусурманова М. О., Шукуров А. М. Нестационарные колебания упруго-пористого пространства с двумя сферическими полостями под действием сдвиговых волн // Материалы XXV междунар. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. Г. Горшкова. 2019. Т 2. С. 131–133.
     
  11. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Ray expansion theory // Encycl. Contin. Mech. 2019. P. 2126–2141; DOI: 10.1007/978-3-662-53605-6_97-1
     
  12. Вестяк В. А., Тарлаковский Д. В. Нестационарное осесимметричное деформирование упругого пространства со сферической полостью под действием объёмных сил // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. 2016. № 4. С. 48–54.
     
  13. Kachalov A. P. Ray type solutions for waves of finite deformation in physically linear, nonlinear inhomogeneous elastic media // J. Math. Sci. 2017. V. 224. P. 79–89; DOI: 10.1007/s10958-017-3396-2
     
  14. Dyyak I., Horlatch V., Salamakha M. Parallel solution of dynamic elasticity problems // Lect. Notes Mech. Eng. 2020. P. 562–571; DOI: 10.1007/978-3-030-22365-6_56
     
  15. Seriani G., Oliveira S. P. Numerical modeling of mechanical wave propagation // Riv. del Nuovo Cim. 2020. N 43. P. 459–514; DOI: 10.1007/s40766-020-00009-0
     
  16. Петров И. Б. Сеточно-характеристические методы. 55 лет разработки и решения сложных динамических задач // Comput. Math. Inf. Technol. 2023. Т. 6, № 1. С. 6–21; DOI: 10.23947/2587-8999-2023-6-1-6-21
     
  17. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
     
  18. Вервейко Н. Д., Егоров М. В. Математическое моделирование динамического деформирования упруговязкопластических оболочек конечной длины лучевым методом // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22, № 2. С. 325–343; DOI: 10.14498/vsgtu1610.
     
  19. Loktev A. A., Gridasova E. A., Zapol’nova E. V. Simulation of the railway under dynamic loading. Part 1. Ray method for dynamic problem // Contemp. Eng. Sci. 2015. V. 8, N 20. P. 799–807; DOI: 110.12988/ces.2015.57204
     
  20. Rossikhin Y. A., Burenin A. A., Potianikhin D. А. Shock waves via ray expansions // Encyclopedia of Continuum Mechanics. 2019. P. 2264–2279; DOI: 10.1007/978-3-662-53605-6_100-1
     
  21. Казаков Ю. С., Тарлаковский Д. В. Учёт трения на начальном этапе вертикального внедрения выпуклого ударника в упругую полуплоскость // Пробл. прочн. и пластич. 2022. Т. 84, № 2. С. 225– 235; DOI: 10.32326/1814-9146-2022-84-2-225-235
     
  22. Котов В. Л., Линник Е. Ю., Тарасова А. А. Исследование оптимальных форм осесимметричных тел, проникающих в грунтовые среды // Прикл. мех. техн. физ. 2016. Т. 57, № 5. С. 66–75; DOI: 10.15372/PMTF20160508
     
  23. Димитриенко Ю. И. Механика сплошной среды: учеб. пособие: в 4 т. Т. 4. Основы механики твёрдых сред. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013.
     
  24. Герасименко Е. А. К проблеме выделения разрывов в численных расчётах динамики деформирования // Учёные записки КнАГТУ. 2022. № 5. С. 46–54; DOI: 10.17084/20764359-2022-61-46
     
  25. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн. Киев: Наукова Думка, 1988.
     
  26. Babich V. M., Buldyrev V. S. Asymptotic methods in short-wavelength diffraction theory. Oxford: Alpha Science, 2009.
     
  27. Рагозина В. Е., Иванова Ю. Е. Решение одной многомерной задачи ударной деформации упругого полупространства с искривлённой границей на основе модифицированного лучевого метода // Изв. РАН. МТТ. 2016. № 4. С. 132–143.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института автоматики и процессов управления ДВО РАН (проект FWFW-2021-0005).

В. Е. Рагозина
  1. Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 
    ул. Радио, 5, г. Владивосток 690041, Россия

E-mail: ragozina@vlc.ru

Ю. Е. Иванова
  1. Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 
    ул. Радио, 5, г. Владивосток 690041, Россия

E-mail: ivanova@iacp.dvo.ru

О. В. Дудко
  1. Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 
    ул. Радио, 5, г. Владивосток 690041, Россия

E-mail: dudko@iacp.dvo.ru

Статья поступила 15.06.2023 г. 
После доработки — 16.05.2024 г.
Принята к публикации 03.07.2024 г.

Abstract:

The dynamics of axisymmetric two-dimensional strains in a linear elastic half-space bounded by a smooth surface of revolution with positive Gaussian curvature is considered. An approximate solution of the initial-boundary value problem is constructed on the basis of ray series with expansion in a time-like variable. The limited number of terms of the ray series is used for near-front domains of curvilinear waves of strong discontinuities. The coefficients of this series are the discontinuities of the derivatives of displacements with respect to time (starting from the first derivative). It is shown that it is necessary to take into account the ray series components up to the $(k + 1)$st order inclusive at the $k$th step of the ray method for a two-dimensional type of the deformation process.

References:
  1. L. V. Fedorova, “Solution of the dynamic problem of the linear theory of elasticity,” Mech. Solids 53 (6), 609–614 (2018). https://doi.org/10.3103/S002565441806002X
     
  2. A. Fesenko and N. Vaysfel’d, “The dynamical problem for the infinite elastic layer with a cylindrical cavity,” Procedia Struct. Integr. 33, 509–527 (2021). https://doi.org/10.1016/j.prostr.2021.10.058
     
  3. A. V. Il’yashenko, “Propagation of a flat shock front in an elastic layer,” Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela 5 (5), 141–149 (2022) [in Russian]. https://doi.org/10.31857/S0572329922050075
     
  4. A. A. Burenin, E. A. Gerasimenko, and L. V. Kovtanyuk, “On the unloading dynamics in an elastic/ viscoplastic material predeformed by viscometric twisting,” Mater. Phys. Mech. 51 (1), 68–83 (2023). https://doi.org/10.18149/MPM.5112023_7
     
  5. V. M. Sadovskii, “To the theory of shock waves in isotropically hardening plastic media,” Prikl. Mat. Mekh. 87 (2), 254–264 (2023) [in Russian]. https://doi.org/10.31857/S0032823523020133
     
  6. K. S. Surana, J. Knight, and J. N. Reddy, “Nonlinear waves in solid continua with finite deformation,” Am. J. Comput. Math. 5 (3), 345–386 (2015). https://doi.org/10.4236/ajcm.2015.53032
     
  7. S. G. Pshenichnov, “Nonstationary dynamic problems of nonlinear viscoelasticity,” Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela no. 1, 84–96 [Mech. Solids 48 (1), 68–78 (2013)].
     
  8. A. A. Fesenko and A. P. Moyseenok, “Exact solution of a nonstationary problem for the elastic layer with rigid cylindrical inclusion,” J. Math. Sci. 249, 478–495 (2020). https://doi.org/10.1007/s10958-020-04954-3
     
  9. E. A. Korovaytseva and S. G. Pshenichnov, “Solutions of non-stationary dynamic problems of linear viscoelasticity,” Lobachevskii J. Math. 40, 328–334 (2019). https://doi.org/10.1134/s1995080219030120
     
  10. D. V. Tarlakovskii, A. A. Saliev, M. O. Musurmanova, and A. M. Shukurov, “Nonstationary oscillations of an elastic-porous space with two spherical cavities under the action of shear waves,” Mater. XXV mezhdunar. simpoz. “Dinamicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsii i sploshnykh sred” im. A. G. Gorshkova (Proc. XXV Gorshkov Int. Sympos. “Dynamic and technological problems of mechanics of structures and continuous media”), 2019, vol. 2, pp. 131–133 [in Russian].
     
  11. Yu. A. Rossikhin and M. V. Shitikova, “Ray expansion theory,” in Encycl. Contin. Mech., pp. 2126–2141 (2019). https://doi.org/10.1007/978-3-662-53605-6_97-1
     
  12. V. A. Vestyak and D. V. Tarlakovskii, “Nonstationary axisymmetric strain of elastic space with a spherical cavity under the action of volumetric forces,” Vestn. Mosk. Gos. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh. no. 4, 48–54 (2016) [in Russian].
     
  13. A. P. Kachalov, “Ray type solutions for waves of finite deformation in physically linear, nonlinear inhomogeneous elastic media,” J. Math. Sci. 224, 79–89 (2017). https://doi.org/10.1007/s10958-017-3396-2
     
  14. I. Dyyak, V. Horlatch, and M. Salamakha, “Parallel solution of dynamic elasticity problems,” in Lect. Notes Mech. Eng. pp. 562–571 (2020). https://doi.org/10.1007/978-3-030-22365-6_56
     
  15. G. Seriani and S. P. Oliveira, “Numerical modeling of mechanical wave propagation,” Riv. Nuovo Cim. 43, 459–514 (2020). https://doi.org/10.1007/s40766-020-00009-0
     
  16. I. B. Petrov, “Grid-characteristic methods. 55 years of developing and solving complex dynamic problems,” Comput. Math. Inf. Technol. 6 (1), 6–21 (2023) [in Russian]. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-6-1-6-21 
     
  17. G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves (New York—London—Sydney—Toronto, John Wiley & Sons, 1974,; Mir, Moscow, 1977).
     
  18. N. D. Verveiko and M. V. Egorov, “Mathematical modeling of dynamic strain of elastic-viscoplastic shells of finite length by the ray method,” Vestn. Samarsk. Gos. Tekh. Univ Ser. Fiz.-Mat. Nauki 22 (2), 325–343 (2018). https://doi.org/10.14498/vsgtu1610
     
  19. A. A. Loktev, E. A. Gridasova, and E. V. Zapol’nova, “Simulation of the railway under dynamic loading. Part 1. Ray method for dynamic problem,” Contemp. Eng. Sci. 8 (20), 799–807 (2015). https://doi.org/110.12988/ces.2015.57204
     
  20. Y. A. Rossikhin, A. A. Burenin, and D. A. Potianikhin, “Shock waves via ray expansions,” in Enc. Contin. Mech., pp. 2264–2279, 2019. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53605-6_100-1
     
  21. Yu. S. Kazakov and D. V. Tarlakovskii, “Taking into account friction at the initial stage of vertical penetration of a convex striker into an elastic half-plane,” Probl. Prochn. Plastichn. 84 (2), 225–235 (2022) [in Russian]. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-2-225-235
     
  22. V. L. Kotov, E. Yu. Linnik, and A. A. Tarasova, “Study of optimal forms of axisymmetric bodies penetrating into soil media,” Prikl. Mekh. Tekh. Fiz. 57 (5), 66–75 (2016) [in Russian]. https://doi.org/10.15372/PMTF20160508 
     
  23. Yu. I. Dimitrienko, Continuum Mechanics: A Textbook in 4 Vols. Vol. 4. Fundamentals of Solid Mechanics (Izd. MGTU im. N.E Baumana, Moscow, 2013) [in Russian].
     
  24. E. A. Gerasimenko, “To the problem of identifying discontinuities in numerical calculations of strain dynamics,” Uch. Zap. KnAGTU no. 5, 46–54 (2022) [in Russian]. https://doi.org/10.17084/20764359-2022-61-46
     
  25. Yu. N. Podil’chuk and Yu. K. Rubtsov, Ray Methods in the Theory of Wave Propagation and Scattering (Naukova Dumka, Kiev, 1988) [in Russian].
     
  26. V. M. Babich and V. S. Buldyrev, Asymptotic Methods in Short-Wavelength Diffraction Theory (Alpha Science, Oxford, 2009).
     
  27. V. E. Ragozina and Yu. E. Ivanova, “Solution of a multidimensional impact deformation problem for an elastic half-space with curved boundary on the basis of a modified ray method,” Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela no. 4, 132–143 (2016) [Mech. Solids 51 (4), 484–493 (2016)].