Обратные задачи для уравнения теплопроводности по отысканию источника с нелокальным наблюдением

Обратные задачи для уравнения теплопроводности по отысканию источника с нелокальным наблюдением

Сабитов К. Б.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 3(99), 143–156 (2024)
Скачать статью

УДК 517.956 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.310

Аннотация:

В статье приводятся постановки обратных задач для уравнения теплопроводности по отысканию его правой части с дополнительным интегральным условием и обоснование их корректности в смысле Адамара в классе регулярных решений. Единственность решений поставленных задач доказана на основании интегральных тождеств. Методами разделённых переменных и интегральных уравнений решения задач построены в явном виде.

Литература:
  1. Денисов A. М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994.
     
  2. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.
     
  3. Сабитов К. Б., Зайнуллов А. Р. Обратные задачи для уравнения теплопроводности по отысканию начального условия и правой части // Учён. зап. Казан. ун-та. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 161, № 2. С. 271–291.
     
  4. Прилепко А. И., Соловьёв В. В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнения параболического типа. I; II // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1791–1799; Т. 23, № 11. С. 1971–1980.
     
  5. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сб. 1992. Т. 184, № 4. С. 49–68.
     
  6. Орловский Д. Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 9. С. 1614–1621.
     
  7. Пятков С. Г. О некоторых обратных задачах для операторно-дифференциальных уравнений первого порядка // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 1. С. 183–193.
     
  8. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. О некоторых классах обратных задач об определении функции источников // Матем. тр. 2016. Т. 19, № 1. С. 178–196.
     
  9. Пятков С. Г., Уварова М. В. Об определении функции источника в задачах тепломассопереноса по интегральным условиям переопределения // Сиб. журн. индустр. матем. 2016. Т. 19, № 4. С. 93–100.
     
  10. Костин А. Б. Обратная задача восстановления источника в параболическом уравнении по условию нелокального наблюдения // Математический сборник. 2013. Т. 204, № 10. С. 3–46.
     
  11. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнений параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1468–1478.
     
  12. Romanov V., Hasanov A. Uniqueness and stability analysis of final data inverse sourse problems for evolution equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2022. V. 30, N 3. P. 425–446.
     
  13. Сабитов К. Б. Обратные задачи для уравнений математичской физики. М.: Наука, 2023.

Данная работа финансировалась за счёт средств бюджетов Института механики имени Р. Р. Мавлютова УФИЦ РАН (прект 123021200015-5 (FMRS-2023-00-15)) и Стерлитамакского филиала Уфимского университета науки и технологии.

К. Б. Сабитов
  1. Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УФИЦ РАН, 
    просп. Октября, 71, г. Уфа 450054, Россия
  2. Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии, 
    просп. Ленина, 49, г. Стерлитамак 453103, Россия

E-mail: sabitov_fmf@mail.ru

Статья поступила 27.11.2023 г.
После доработки — 27.03.2024 г.
Принята к публикации 17.04.2024 г.

Abstract:

The article presents the statement of inverse problems of finding the right-hand side of the heat equation from an additional integral condition and justifies their Hadamard wellposedness in the class of regular solutions. The uniqueness of solutions of the problems is proved on the basis of integral identities. The solutions of the problems are constructed explicitly using separation of variables and the integral equation method.

References:
  1. A. M. Denisov, Introduction to the Theory of Inverse Problems (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1994) [in Russian]. 
     
  2. S. I. Kabanikhin, Inverse and Ill-Posed Problems (Sib. Nauchn. Izd., Novosibirsk, 2009) [in Russian].
     
  3. K. B. Sabitov and A. R. Zainullov, “Inverse problems for the heat equation to find the initial condition and the right-hand side,” Uch. Zap. Kazan. Univ. Fiz.-Mat. Nauki 161 (2), 271–291 (2019) [in Russian].
     
  4. A. I. Prilepko and V. V. Solov’ev, “Solvability theorems and Rothe’s method in inverse problems for parabolic equations. I; II,” Differ. Uravn. 23 (10), 1791–1799 (1987); 23 (11), 1971–1980 (1987) [in Russian].
     
  5. A. I. Prilepko and A. B. Kostin, “On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation,” Mat. Sb. 184 (4), 49–68 (1992) [Sb. Math. 75 (2), 473–490 (1993)].
     
  6. D. G. Orlovskii, “On the problem of determining the parameter of the evolution equation,” Differ. Uravn. 26 (9), 1614–1621 (1990) [in Russian].
     
  7. S. G. Pyatkov, “On some inverse problems for first order operator-differential equations,” Sib. Mat. Zh. 60 (1), 183–193 (2019). [Sib. Math. J. 60 (1), 140–147 (2019)].
     
  8. S. G. Pyatkov and E. I. Safonov, “On some classes of inverse problems of recovering a source function,” Mat. Tr. 19 (1), 178–198 (2016) [Sib. Adv. Math. 27 (2), 119–132 (2017)].
     
  9. S. G. Pyatkov and M. V. Uvarova, “On determining the source function in heat and mass transfer problems under integral overdetermination conditions,” Sib. Zh. Ind. Mat. 19 (4), 93–100. [J. Appl. Ind. Math. 10 (4), 549–555 (2016)].
     
  10. A. B. Kostin, “The inverse problem of recovering the source in a parabolic equation under a condition of nonlocal observation,” Mat. Sb. 204 (10), 3–46 (2013). [Sb. Math. 204 (10), 1391–1434 (2013)].
     
  11. K. B. Sabitov, “Boundary value problem for a parabolic-hyperbolic equation with a nonlocal integral condition,” Differ. Uravn. 46 (10), 1468–1478 (2010). [Differ. Equations 46 (10), 1472–1481 (2010)].
     
  12. V. Romanov and A. Hasanov, “Uniqueness and stability analysis of final data inverse sourse problems for evolution equations,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 30 (3), 425–446 (2022).
     
  13. K. B. Sabitov, Inverse Problems for Equations of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 2023) [in Russian].