Формула обращения преобразования Радона в классе разрывных функций
Формула обращения преобразования Радона в классе разрывных функций
Аннотация:
В нечётномерном евклидовом пространстве вводится понятие псевдовыпуклого множества, состоящего из конечного числа ограниченных областей. Получена формула обращения преобразования Радона для подынтегральной кусочно-непрерывной функции, заданной на псевдовыпуклом множестве. Достигнутый результат является обобщением ранее известного свойства, доказанного для гладких функций.
Литература:
- Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
- Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958.
- Markoe A. Analytic tomography. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
- Anikonov D. S., Prokhorov I. V., Kovtanyuk A. E. Investigation of scattering and absorbing media by methods of X-ray tomography // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1, N 4. P. 259–281.
- Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.
- Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. Differential equations and uniqueness theorems for the generalized attenuated ray transforms of tensor fields // Numerical computations: Theory and algorithms. 2020. P. 97–111.
- Svetov I. E., Polyakova A. P. Inversion of generalized Radon transforms acting on 3D vector and symmetric tensor // Inverse Probl. 2024. V. 40, N 1. Article 015009; DOI: 10.1088/1361-6420/ad0fac
- Светов И. Е. Метод приближенного обращения для операторов преобразования Радона функций и нормального преобразования Радона векторных и симметричных 2-тензорных полей в $R^3$ // Сиб. электрон. матем. изв. 2020. Т. 17. С. 1073–1087.
- Темиргалиев Н., Абикенова Ш. К., Ажгалиев Ш. У., Таугынбаева Г. Е. Преобразование Радона в схеме К(В)П-исследований и теории квази- Монте-Карло // Изв. вузов. Матем. 2020. № 3. С. 98– 104.
- Vinohradov M., Ponomarenko O., Moshensky A., Savchenko A. Conformal Mapping of Discontinuous Functions for Inverse Radon Transform // Systems, Decision and Control in Energy V. 2023. V. 481. P. 115–126; DOI: 10.1007/978-3-031-35088-7_8
- Olugboji T., Zhang Z., Carr S., Cetin C. On the detection of upper mantle discontinuities with radontransformed receiver functions (CRISP-RF) // Geophys. J. Int. 2024. V. 236. P. 748–763.
- Katsevich A. Analysis of Reconstruction from Discrete Radon Transform Data in $R^3$ When the Function Has Jump Discontinuities // SIAM J. Math. Anal. 2020. V. 52, N 4. P. 3990-4021; DOI: 10.1137/19M1295039
- Баев А. В. Использование преобразования радона для решения обратной задачи рассеяния в плоской слоистой акустической среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 4, С. 550–560.
- Bellet J. B. An Exact Radon Formula for Lambertian Tomography // J. Math. Imaging Vis. 2022. V. 64. P. 939–947; DOI: 10.1007/s10851-022-01103-0
- Webber J. Microlocal Analysis of Generalized Radon Transforms from Scattering Tomography // SIAM J. Math. Anal. 2021. V. 14, N 3. P. 976–1003; DOI: 10.1137/20M1357305
- Agranovsky M., Kuchment P., Kunyansky L. On reconstruction formulas and algorithms for the thermoacoustic tomography // Photoacoustic Imaging Spectrosc. 2017. P. 89–102.
- Ambartsoumian G., Kuchment P. A range description for the planar circular Radon transform // SIAM J. Math. Anal. 2006. V. 38, N 2. P. 681–692.
- Аниконов Д. С., Балакина Е. Ю., Коновалова Д. С. Обратная задача для обобщённого преобразования Радона // Научно-технич. ведомости СПбГПУ. Сер. Физ.-мат. науки. (2022) С. 41–51
- Anikonov D. S., Kazantsev S. G., Konovalova D. S. A uniqueness result for the inverse problem of identifying boundaries from weighted Radon transform // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2023. V. 31, N 6. P. 959–965; DOI: 10.1515/jiip-2023-0038
- Kalnin T. G., Ivonin D. A., Abrosimov K. N., Grachev E. A., Sorokina N. V. Analysis of tomographic images of the soil pore space structure by integral geometry methods // Eurasian Soil Science. 2021. V. 54, N 9. P. 1400–1409.
Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0009).
Д. С. Аниконов
- Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
E-mail: anik@math.nsc.ru
Д. С. Коновалова
- Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
E-mail: dsk@math.nsc.ru
Статья поступила 04.07.2023 г.
После доработки — 18.04.2024 г.
Принята к публикации 22.05.2024 г.
Abstract:
We introduce the concept of a pseudoconvex set in an odd-dimensional Euclidean space. The inversion formula is obtained for the Radon transform in the case where the integrand is a piecewise continuous function defined on a pseudoconvex set. The result achieved is a generalization of a previously known property proved for smooth functions.
References:
- R. Courant, Partial Differential Equations (Interscience, Paris, 1962; Mir, Moscow, 1964).
- F. John, Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations (Springer, New York, 1981; Izd. Inostr. Lit., Moscow, 1958).
- A. Markoe, Analytic tomography (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006).
- D. S. Anikonov, I. V. Prokhorov, and A. E. Kovtanyuk, “Investigation of scattering and absorbing media by methods of X-ray tomography,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 1 (4), 259–281 (1993).
- F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (John Wiley, Stuttgart, 1986; Mir, Moscow, 1990).
- E. Yu. Derevtsov, Yu. S. Volkov, and T. Schuster, “Differential equations and uniqueness theorems for the generalized attenuated ray transforms of tensor fields,” in Numerical Computations: Theory and Algorithms (2020), 97–111.
- I. E. Svetov and A. P. Polyakova, “Inversion of generalized Radon transforms acting on 3D vector and symmetric tensor,” Inverse Probl. 40 (1), 015009 (2024). https://doi.org/10.1088/1361-6420/ad0fac
- I. E. Svetov, “Approximate inversion method for Radon transform operators of functions and normal Radon transform of vector and symmetric 2-tensor fields in $R^3$ ,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 17, 1073–1087 (2020).
- N. Temirgaliev, Sh. K. Abikenova, Sh. U. Azhgaliev, and G. E. Taugynbaeva, “The Radon transform in the scheme of C(N)D-investigations and the quasi-Monte Carlo theory,” Russ. Math. 64, 87–92 (2020).
- M. Vinohradov, O. Ponomarenko, A. Moshensky, and A. Savchenko, “Conformal mapping of discontinuous functions for inverse Radon transform,” Syst. Decis. Control Energy 481, 115–126 (2023). https://doi.org/10.1007/978-3-031-35088-7_8
- T. Olugboji, Z. Zhang, S. Carr, and C. Cetin, “On the detection of upper mantle discontinuities with Radon-transformed receiver functions (CRISP-RF),” Geophys. J. Int. 236, 748–763 (2024).
- A. Katsevich, “Analysis of reconstruction from discrete Radon transform data in $R^3$ when the function has jump discontinuities,” SIAM J. Math. Anal. 52 (4), 3990–4021 (2020). https://doi.org/10.1137/19M1295039
- A. V. Baev, “Radon transform for solving an inverse scattering problem in a planar layered acoustic medium,” Comput. Math. Math. Phys. 58 (4), 537–547 (2018).
- J. B. Bellet, “An exact Radon formula for Lambertian tomography,” J. Math. Imaging Vis. 64, 939–947 (2022). https://doi.org/10.1007/s10851-022-01103-0
- J. Webber, “Microlocal analysis of generalized Radon transforms from scattering tomography,” SIAM J. Math. Anal. 14 (3), 976–1003 (2021). https://doi.org/10.1137/20M1357305
- M. Agranovsky, P. Kuchment, and L. Kunyansky, “On reconstruction formulas and algorithms for the thermoacoustic tomography,” Photoacoust. Imaging Spectrosc. 89–102 (2017).
- G. Ambartsoumian and P. Kuchment, “A range description for the planar circular Radon transform,” SIAM J. Math. Anal. 38 (2), 681–692 (2006).
- D. S. Anikonov, E. Yu. Balakina, and D. S. Konovalova, “Inverse problem for the generalized Radon transform,” Nauchn.-Tekh. Vedomosti SPbGU. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 41–51 (2022).
- D. S. Anikonov, S. G. Kazantsev, and D. S. Konovalova, “A uniqueness result for the inverse problem of identifying boundaries from weighted Radon transform,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 31 (6), 959–965 (2023). https://doi.org/10.1515/jiip-2023-0038
- T. G. Kalnin, D. A. Ivonin, K. N. Abrosimov, E. A. Grachev, and N. V. Sorokina, “Analysis of tomographic images of the soil pore space structure by integral geometry methods,” Eurasian Soil Sci. 54 (9), 1400–1409 (2021).