Формула обращения преобразования Радона в классе разрывных функций

Формула обращения преобразования Радона в классе разрывных функций

Аниконов Д. С., Коновалова Д. С.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 3(99), 5–11 (2024)
Скачать статью

УДК 517.44 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.301

Аннотация:

В нечётномерном евклидовом пространстве вводится понятие псевдовыпуклого множества, состоящего из конечного числа ограниченных областей. Получена формула обращения преобразования Радона для подынтегральной кусочно-непрерывной функции, заданной на псевдовыпуклом множестве. Достигнутый результат является обобщением ранее известного свойства, доказанного для гладких функций.

Литература:
  1. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
     
  2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958.
     
  3. Markoe A. Analytic tomography. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
     
  4. Anikonov D. S., Prokhorov I. V., Kovtanyuk A. E. Investigation of scattering and absorbing media by methods of X-ray tomography // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1, N 4. P. 259–281.
     
  5. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.
     
  6. Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. Differential equations and uniqueness theorems for the generalized attenuated ray transforms of tensor fields // Numerical computations: Theory and algorithms. 2020. P. 97–111. 
     
  7. Svetov I. E., Polyakova A. P. Inversion of generalized Radon transforms acting on 3D vector and symmetric tensor // Inverse Probl. 2024. V. 40, N 1. Article 015009; DOI: 10.1088/1361-6420/ad0fac
     
  8. Светов И. Е. Метод приближенного обращения для операторов преобразования Радона функций и нормального преобразования Радона векторных и симметричных 2-тензорных полей в $R^3$ // Сиб. электрон. матем. изв. 2020. Т. 17. С. 1073–1087. 
     
  9. Темиргалиев Н., Абикенова Ш. К., Ажгалиев Ш. У., Таугынбаева Г. Е. Преобразование Радона в схеме К(В)П-исследований и теории квази- Монте-Карло // Изв. вузов. Матем. 2020. № 3. С. 98– 104.
     
  10. Vinohradov M., Ponomarenko O., Moshensky A., Savchenko A. Conformal Mapping of Discontinuous Functions for Inverse Radon Transform // Systems, Decision and Control in Energy V. 2023. V. 481. P. 115–126; DOI: 10.1007/978-3-031-35088-7_8
     
  11. Olugboji T., Zhang Z., Carr S., Cetin C. On the detection of upper mantle discontinuities with radontransformed receiver functions (CRISP-RF) // Geophys. J. Int. 2024. V. 236. P. 748–763.
     
  12. Katsevich A. Analysis of Reconstruction from Discrete Radon Transform Data in $R^3$ When the Function Has Jump Discontinuities // SIAM J. Math. Anal. 2020. V. 52, N 4. P. 3990-4021; DOI: 10.1137/19M1295039
     
  13. Баев А. В. Использование преобразования радона для решения обратной задачи рассеяния в плоской слоистой акустической среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 4, С. 550–560.
     
  14. Bellet J. B. An Exact Radon Formula for Lambertian Tomography // J. Math. Imaging Vis. 2022. V. 64. P. 939–947; DOI: 10.1007/s10851-022-01103-0
     
  15. Webber J. Microlocal Analysis of Generalized Radon Transforms from Scattering Tomography // SIAM J. Math. Anal. 2021. V. 14, N 3. P. 976–1003; DOI: 10.1137/20M1357305
     
  16. Agranovsky M., Kuchment P., Kunyansky L. On reconstruction formulas and algorithms for the thermoacoustic tomography // Photoacoustic Imaging Spectrosc. 2017. P. 89–102.
     
  17. Ambartsoumian G., Kuchment P. A range description for the planar circular Radon transform // SIAM J. Math. Anal. 2006. V. 38, N 2. P. 681–692.
     
  18. Аниконов Д. С., Балакина Е. Ю., Коновалова Д. С. Обратная задача для обобщённого преобразования Радона // Научно-технич. ведомости СПбГПУ. Сер. Физ.-мат. науки. (2022) С. 41–51
     
  19. Anikonov D. S., Kazantsev S. G., Konovalova D. S. A uniqueness result for the inverse problem of identifying boundaries from weighted Radon transform // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2023. V. 31, N 6. P. 959–965; DOI: 10.1515/jiip-2023-0038
     
  20. Kalnin T. G., Ivonin D. A., Abrosimov K. N., Grachev E. A., Sorokina N. V. Analysis of tomographic images of the soil pore space structure by integral geometry methods // Eurasian Soil Science. 2021. V. 54, N 9. P. 1400–1409.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0009).

Д. С. Аниконов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: anik@math.nsc.ru

Д. С. Коновалова
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: dsk@math.nsc.ru

Статья поступила 04.07.2023 г. 
После доработки — 18.04.2024 г.
Принята к публикации 22.05.2024 г.

Abstract:

We introduce the concept of a pseudoconvex set in an odd-dimensional Euclidean space. The inversion formula is obtained for the Radon transform in the case where the integrand is a piecewise continuous function defined on a pseudoconvex set. The result achieved is a generalization of a previously known property proved for smooth functions.

References:
  1. R. Courant, Partial Differential Equations (Interscience, Paris, 1962; Mir, Moscow, 1964).
     
  2. F. John, Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations (Springer, New York, 1981; Izd. Inostr. Lit., Moscow, 1958).
     
  3. A. Markoe, Analytic tomography (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006).
     
  4. D. S. Anikonov, I. V. Prokhorov, and A. E. Kovtanyuk, “Investigation of scattering and absorbing media by methods of X-ray tomography,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 1 (4), 259–281 (1993).
     
  5. F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (John Wiley, Stuttgart, 1986; Mir, Moscow, 1990). 
     
  6. E. Yu. Derevtsov, Yu. S. Volkov, and T. Schuster, “Differential equations and uniqueness theorems for the generalized attenuated ray transforms of tensor fields,” in Numerical Computations: Theory and Algorithms (2020), 97–111.
     
  7. I. E. Svetov and A. P. Polyakova, “Inversion of generalized Radon transforms acting on 3D vector and symmetric tensor,” Inverse Probl. 40 (1), 015009 (2024). https://doi.org/10.1088/1361-6420/ad0fac
     
  8. I. E. Svetov, “Approximate inversion method for Radon transform operators of functions and normal Radon transform of vector and symmetric 2-tensor fields in $R^3$ ,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 17, 1073–1087 (2020).
     
  9. N. Temirgaliev, Sh. K. Abikenova, Sh. U. Azhgaliev, and G. E. Taugynbaeva, “The Radon transform in the scheme of C(N)D-investigations and the quasi-Monte Carlo theory,” Russ. Math. 64, 87–92 (2020).
     
  10. M. Vinohradov, O. Ponomarenko, A. Moshensky, and A. Savchenko, “Conformal mapping of discontinuous functions for inverse Radon transform,” Syst. Decis. Control Energy 481, 115–126 (2023). https://doi.org/10.1007/978-3-031-35088-7_8
     
  11. T. Olugboji, Z. Zhang, S. Carr, and C. Cetin, “On the detection of upper mantle discontinuities with Radon-transformed receiver functions (CRISP-RF),” Geophys. J. Int. 236, 748–763 (2024).
     
  12. A. Katsevich, “Analysis of reconstruction from discrete Radon transform data in $R^3$ when the function has jump discontinuities,” SIAM J. Math. Anal. 52 (4), 3990–4021 (2020). https://doi.org/10.1137/19M1295039
     
  13.  A. V. Baev, “Radon transform for solving an inverse scattering problem in a planar layered acoustic medium,” Comput. Math. Math. Phys. 58 (4), 537–547 (2018).
     
  14. J. B. Bellet, “An exact Radon formula for Lambertian tomography,” J. Math. Imaging Vis. 64, 939–947 (2022). https://doi.org/10.1007/s10851-022-01103-0
     
  15. J. Webber, “Microlocal analysis of generalized Radon transforms from scattering tomography,” SIAM J. Math. Anal. 14 (3), 976–1003 (2021). https://doi.org/10.1137/20M1357305
     
  16. M. Agranovsky, P. Kuchment, and L. Kunyansky, “On reconstruction formulas and algorithms for the thermoacoustic tomography,” Photoacoust. Imaging Spectrosc. 89–102 (2017).
     
  17. G. Ambartsoumian and P. Kuchment, “A range description for the planar circular Radon transform,” SIAM J. Math. Anal. 38 (2), 681–692 (2006).
     
  18. D. S. Anikonov, E. Yu. Balakina, and D. S. Konovalova, “Inverse problem for the generalized Radon transform,” Nauchn.-Tekh. Vedomosti SPbGU. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 41–51 (2022).
     
  19. D. S. Anikonov, S. G. Kazantsev, and D. S. Konovalova, “A uniqueness result for the inverse problem of identifying boundaries from weighted Radon transform,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 31 (6), 959–965 (2023). https://doi.org/10.1515/jiip-2023-0038
     
  20. T. G. Kalnin, D. A. Ivonin, K. N. Abrosimov, E. A. Grachev, and N. V. Sorokina, “Analysis of tomographic images of the soil pore space structure by integral geometry methods,” Eurasian Soil Sci. 54 (9), 1400–1409 (2021).