Численная реконструкция двумерного векторного поля по лучевым преобразованиям его моментов

Численная реконструкция двумерного векторного поля по лучевым преобразованиям его моментов

Светов И. Е., Деревцов Е. Ю., Мальцева С. В., Полякова А. П.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 4(100), 113-129 (2024)
Скачать статью

УДК 517.44:517.95 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.408

Аннотация:

В работе предложены и обоснованы алгоритмы восстановления векторного поля по известным продольным или поперечным лучевым преобразованиям его моментов. Исследованы свойства нескольких алгоритмов в зависимости от степени дискретизации данных, уровня и характера внесённого в данные шума, гладкости векторного поля и степени связности его носителя. Вычислительные эксперименты показали хорошие результаты восстановления векторных полей по лучевым преобразованиям их моментов.

Литература:
  1. Radon J. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integrabwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Säch. Akad. Wiss. 1917. V. 69. P. 262–277.
     
  2. Deans S. The Radon Transform and Some of its Applications. N. Y.: Wiley, 198
     
  3. Sharafutdinov V. A. Integral Geometry of Tensor Fields. Urtecht: VSP, 1994.
     
  4. Wernick M. N., Aarsvold J. N. Emission tomography: The fundamentals of PET and SPECT. London: Elsevier, 2004.
     
  5. Derevtsov E. Yu., Svetov I. E. Tomography of tensor fields in the plane // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2015. V. 3, N 2. P. 24–68.
     
  6. Derevtsov E. Y., Volkov Y. S., Schuster T. Generalized attenuated ray transforms and their integral angular moments // Appl. Math. Comput. 2021. V. 409, N 15. Article 125494; DOI: 10.1016/j.amc.2020.125494
     
  7. Krishnan V. P., Manna R., Sahoo S. K., Sharafutdinov V. A. Momentum ray transforms // Inverse Probl. Imaging. 2019. V. 13, N 3. P. 679–701; DOI: 10.3934/ipi.2019031
     
  8. Abhishek A., Mishra R. K. Support theorems and an injectivity result for integral moments of a symmetric m-tensor field // J. Fourier Anal. Appl. 2019. V. 25, N 4. P. 1487–1512; DOI: 10.1007/s00041- 018-09649-7
     
  9. Mishra R. K. Full reconstruction of a vector field from restricted Doppler and first integral moment transforms in R n // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2020. V. 28, N 2. P. 173–184; DOI: 10.1515/jiip-2018- 0028
     
  10. Mishra R. K., Sahoo S. K. Injectivity and range description of first ($k + 1$) integral moment transforms over $m$-tensor fields in $\mathbb {R}^n$ // SIAM J. Math. Anal. 2021. V. 53, N 1. P. 253-–278; DOI: 10.1137/20M1347589
     
  11. Bhattacharyya S., Krishnan V. P., Sahoo S. K. Momentum Ray Transforms and a Partial Data Inverse Problem for a Polyharmonic Operator // SIAM J. Math. Anal. 2023. V. 55, N 4. P. 4000–4038; DOI: 10.1137/22M1500617
     
  12. Denisiuk A. Iterative inversion of the tensor momentum x-ray transform // Inverse Probl. 2023. V. 39, N 10. Article 105002; DOI: 10.1088/1361-6420/acef52
     
  13. Omogbhe D., Sadiq S. K. On the X-ray transform of planar symmetric tensors // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2023. V.32, N 3. P. 431–452; DOI: 10.1515/jiip-2022-0055
     
  14. Деревцов Е. Ю. Лучевые преобразования моментов планарных тензорных полей // Сиб. журн. индустр. матем. 2023. Т. 26, № 3. C. 26–41; DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.303
     
  15. Derevtsov E. Y., Efimov A. V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 19, N 4–5. P. 689–715; DOI: 10.1515/jiip.2011.047.
     
  16. Светов И. Е., Полякова А. П. Сравнение двух алгоритмов численного решения задачи двумерной векторной томографии // Сиб. электрон. матем. изв. 2013. Т. 10, № 1. С. 90–108.
     
  17. Polyakova A. P., Svetov I. E. A numerical solution of the dynamic vector tomography problem using the truncated singular value decomposition method // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2024. V. 32, N 1. P. 145–160; DOI:10.1515/jiip-2022-0019
     
  18. Kunyansky L., McDugald E., Shearer B. Weighted Radon transforms of vector fields, with applications to magnetoacoustoelectric tomography // Inverse Probl. 2023. V. 39, N 6. Article 065014; DOI:10.1088/1361-6420/acd07a

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 24-21-00200). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

И. Е. Светов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: svetovie@math.nsc.ru

Е. Ю. Деревцов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: dert@math.nsc.ru

С. В. Мальцева
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: sv_maltseva@mail.ru

А. П. Полякова
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: apolyakova@math.nsc.ru

Статья поступила 07.05.2024 г.
После доработки — 28.11.2024 г.
Принята к публикации 11.12.2024 г.

Abstract:

The algorithms for reconstructing a vector field from known longitudinal or transverse ray transforms of its moment are proposed and justified. The properties of several algorithms are studied depending on the degree of data discretization, the level and type of noise introduced into the data, the smoothness of the vector field, and the degree of connectivity of its support. Numerical simulations show good results of reconstructing vector fields from their momentum ray transforms.

References:
  1. J. Radon, “Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integrabwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten,” Ber. Säch. Akad. Wiss. 69, 262–277 (1917).
     
  2. S. Deans, The Radon Transform and Some of Its Applications (Wiley, New York, 1983).
     
  3. V. A. Sharafutdinov, Integral Geometry of Tensor Fields (VSP, Urtecht, 1994).
     
  4. M. N. Wernick and J. N. Aarsvold, Emission Tomography: the Fundamentals of PET and SPECT (Elsevier, London, 2004).
     
  5. E. Yu. Derevtsov and I. E. Svetov, “Tomography of tensor fields in the plane,” Eurasian J. Math. Comput. Appl. 3 (2), 24–68 (2015).
     
  6. E. Y. Derevtsov, Y. S. Volkov, and T. Schuster, “Generalized attenuated ray transforms and their integral angular moments,” Appl. Math. Comput. 409 (15), 125494 (2021). https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125494
     
  7. V. P. Krishnan, R. Manna, S. K. Sahoo, and V. A. Sharafutdinov, “Momentum ray transforms,” Inverse Probl. Imaging 13 (3), 679–701 (2019). https://doi.org/10.3934/ipi.2019031
     
  8. A. Abhishek and R. K. Mishra, “Support theorems and an injectivity result for integral moments of a symmetric m-tensor field,” J. Fourier Anal. Appl. 25 (4), 1487–1512 (2019). https://doi.org/10.1007/s00041-018-09649-7
     
  9. R. K. Mishra, “Full reconstruction of a vector field from restricted Doppler and first integral moment transforms in R n,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 28 (2), 173–184 (2020). https://doi.org/10.1515/jiip-2018- 0028
     
  10. R. K. Mishra and S. K. Sahoo, “Injectivity and range description of first ($k + 1$) integral moment transforms over $m$-tensor fields in $\mathbb {R}^n$,” SIAM J. Math. Anal. 53 (1), 253–278 (2021). https://doi.org/10.1137/20M1347589
     
  11. S. Bhattacharyya, V. P. Krishnan, and S. K. Sahoo, “Momentum ray transforms and a partial data inverse problem for a polyharmonic operator,” SIAM J. Math. Anal. 55 (4), 4000–4038 (2023). https://doi.org/10.1137/22M1500617
     
  12. A. Denisiuk, “Iterative inversion of the tensor momentum x-ray transform,” Inverse Probl. 39 (10), 105002 (2023). https://doi.org/10.1088/1361-6420/acef52
     
  13. D. Omogbhe and S. K. Sadiq, “On the X-ray transform of planar symmetric tensors,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 32 (3), 431–452 (2023). https://doi.org/10.1515/jiip-2022-0055
     
  14. E. Yu. Derevtsov, “Momentum ray transforms of planar tensor fields,” Sib. Zh. Ind. Mat. 26 (3), 26–41 (2023) [J. Appl. Ind. Math. 17 (3), 521–534 (2023)]. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2023.26.303
     
  15. E. Y. Derevtsov, A. V. Efimov, A. K. Louis, and T. Schuster, “Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 19 (4–5), 689–715 (2011). https://doi.org/10.1515/jiip.2011.047
     
  16. I. E. Svetov and A. P. Polyakova, “Comparison of two algorithms for numerical solution of the problem of two-dimensional vector tomography,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 10 (1), 90–108 (2013) [in Russian].
     
  17.  A. P. Polyakova and I. E. Svetov, “A numerical solution of the dynamic vector tomography problem using the truncated singular value decomposition method,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 32 (1), 145–160 (2024). https://doi.org/10.1515/jiip-2022-0019
     
  18. L. Kunyansky, E. McDugald, and B. Shearer, “Weighted Radon transforms of vector fields, with applications to magnetoacoustoelectric tomography,” Inverse Probl. 39 (6), 065014 (2023). https://doi.org/10.1088/1361-6420/acd07a