Моделирование распространения волн в блочной среде

Моделирование распространения волн в блочной среде с тонкими вязкоупругими прослойками в пространственной постановке

Ефимов Е. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 4(100), 20-33 (2024)
Скачать статью

УДК 539.3 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.402

Аннотация:

Рассматривается трёхмерная модель блочной среды с упругими блоками и тонкими упругими и вязкоупругими прослойками. Прослойки описываются упрощёнными дифференциально-разностными соотношениями. Описывается численный алгоритм решения динамических задач, основанный на методе расщепления. Приводятся результаты моделирования распространения волн в блочном полупространстве. Сопоставляется поведение поверхностных волн в блочно-слоистой среде и в дискретно-периодической среде, состоящей из жёстких масс с упругими связями. Результаты расчётов показывают хорошее соответствие с экспериментальными данными.

Литература:
  1. Садовский М. А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. С. 829–832.
     
  2. Курленя М. В., Опарин В. Н., Востриков В. И. Волны маятникового типа. 2. Методика экспериментов и основные результаты физического моделирования // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. 1996. № 4. С. 3–39.
     
  3. Александрова Н. И., Черников А. Г., Шер Е. Н. Экспериментальная проверка одномерной расчётной модели распространения волн в блочной среде // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. 2005. № 3. С. 46–55.
     
  4. Александрова Н. И., Шер Е. Н. Распространение волн в двумерной периодической модели блочной среды. Ч.1: Особенности волнового поля при действии импульсного источника // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. 2010. № 6. С. 57–68.
     
  5. Alexandrova N. I. The discrete Lamb problem: Elastic lattice waves in a block medium // Wave Motion. 2014. V. 51, N 5. P. 818–832; DOI: 10.1016/j.wavemoti.2014.02.002
     
  6. Alexandrova N. I. Seismic waves in a three-dimensional block medium // Proc. R. Soc. A. 2016. V. 472, N 2192. Article 20160111; DOI: 10.1098/rspa.2016.0111
     
  7. Сарайкин В. А., Черников А. Г., Шер Е. Н. Распространение волн в двумерной блочной среде с вязкоупругими прослойками (теория и эксперимент) // Прикл. мех. техн. физ. 2015. Т. 56, № 4. С. 688–697; DOI: 10.15372/PMTF20150416
     
  8. Садовский В. М., Садовская О. В., Похабова М. А. Моделирование упругих волн в блочной среде на основе уравнений континуума Коссера // Вычисл. мех. сплошн. сред. 2014. Т. 7, № 1. С. 52–60; DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.1.6.
     
  9. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V., Lukyanov A. A. Modeling of wave processes in blocky media with porous and fluid-saturated interlayers // J. Comput. Phys. 2017. V. 345. P. 834–855; DOI: 10.1016/j.jcp.2017.06.001.
     
  10. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Numerical algorithm based on implicit finite-difference schemes for analysis of dynamic processes in blocky media // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2018. V. 33, N 2. P. 111–121; DOI: 10.1515/rnam-2018-0010.
     
  11. Садовская O. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
     
  12. Садовский В. М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред. М.: Наука, 1997.
     
  13. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum // Wave Motion. 2015. V. 52. P. 138–150; DOI: 10.1016/j.wavemoti.2014.09.008.
     
  14. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.
     
  15. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
     
  16. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.
     
  17. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
     
  18. Иванов Г. В., Волчков Ю. М., Богульский И. О., Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твёрдых тел. Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2002.
     
  19. Ильгамов М. А., Гильманов А. И. Неотражающие условия на границах расчётной области. М.: Физматлит, 2003.
     
  20. Анисимов С. А. Кургузов В. Д. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости // Вычисл. технол. 1999. Т. 4, № 1. С. 3–13.
     
  21. Appelo D., Hagstrom G. Kreiss Perfectly matched layers for hyperbolic systems: General formulation, well-posedness and stability // SIAM J. Appl. Math. 2006. V. 67. P. 1–23; DOI: 10.1137/050639107
     
  22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти томах Т. VII. Теория упругости. М.: Физматлит, 1985.
     
  23. Blanch J. O., Robertsson J. O., Symes W. W. Modeling of a constant Q; methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique // Geophysics. 1995. V. 60. P. 176–184; DOI: 10.1190/1.1443744

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (соглашение 075-02-2024-1378). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Е. А. Ефимов
  1. Институт вычислительного моделирования СО РАН, 
    Академгородок, 50/44, г. Красноярск 660036, Россия

E-mail: efimov@icm.krasn.ru

Статья поступила 13.05.2024 г. 
После доработки — 21.11.2024 г.
Принята к публикации 11.12.2024 г.

Abstract:

A three-dimensional model of a blocky medium with elastic blocks and thin elastic and viscoelastic interlayers is considered. The interlayers are described by simplified differentialdifference relations. A numerical algorithm for solving dynamical problems based on splitting method is presented. The results of simulation of wave propagation in blocky half-space are presented. We compare the behaviour of surface waves arising in a blocky layered medium and in a discrete periodic medium consisting of rigid masses connected to each other by elastic springs. Results of computations using the proposed model are in good agreement with the experimental data.

References:
  1. M. A. Sadovskii, “Natural lumpiness of rock,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 247, 829–832 (1979) [in Russian].
     
  2. M. V. Kurlenya, V. N. Oparin, and V. I. Vostrikov, “Pendulum-type waves. 2. Experimental methods and main results of physical modeling,” Fiz.-Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskopaemykh (4), 3–39 (1996) [in Russian].
     
  3. N. I. Aleksandrova, A. G. Chernikov, and E. N. Sher, “Experimental verification of a one-dimensional calculation model of wave propagation in a blocky medium,” Fiz.-Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskopaemykh (3), 46–55 (2005) [in Russian].
     
  4. N. I. Aleksandrova and E. N. Sher, “Propagation of waves in a two-dimensional periodic model of a blocky medium. Part 1: Features of the wave field under the action of a pulsed source,” Fiz.-Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskopaemykh (6), 57–68 (2010) [in Russian].
     
  5. N. I. Alexandrova, “The discrete Lamb problem: Elastic lattice waves in a block medium,” Wave Motion 51 (5), 818–832 (2014). https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2014.02.002
     
  6. N. I. Alexandrova, “Seismic waves in a three-dimensional block medium,” Proc. R. Soc. A 472 (2192), 20160111 (2016). https://doi.org/10.1098/rspa.2016.0111
     
  7. V. A. Saraikin, A. G. Chernikov, and E. N. Sher, “Propagation of waves in a two-dimensional blocky medium with viscoelastic layers (theory and experiment,” Prikl. Mekh. Tekh. Fiz. 56 (4), 688–697 (2015) [in Russian]. https://doi.org/10.15372/PMTF20150416
     
  8. V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya, and M. A. Pokhabova, “Modeling of elastic waves in a blocky medium based on the Cosserat continuum equations,” Vychisl. Mekh. Sploshn. Sred 7 (1), 52–60 (2014) [in Russian]. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2014.7.1.6
     
  9. V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya, and A. A. Lukyanov, “Modeling of wave processes in blocky media with porous and fluid-saturated interlayers,” J. Comput. Phys. 345, 834–855 (2017). https://doi.org/10.1016/j.jcp.2017.06.001 
     
  10. V. M. Sadovskii and O. V. Sadovskaya, “Numerical algorithm based on implicit finite-difference schemes for analysis of dynamic processes in blocky media,” Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 33 (2), 111–121 (2018). https://doi.org/10.1515/rnam-2018-0010
     
  11. O. V. Sadovskaya and V. M. Sadovskii, Mathematical Modeling in Problems of Granular Media Mechanics (Fizmatlit, Moscow, 2008) [in Russian].
     
  12. V. M. Sadovskii, Discontinuous Solutions in Problems of Dynamics of Elastic-Plastic Media (Nauka, Moscow, 1997) [in Russian].
     
  13. V. M. Sadovskii and O. V. Sadovskaya, “Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum,” Wave Motion 52, 138–150 (2015). https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2014.09.008 
     
  14. S. K. Godunov, Equations of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1979) [in Russian].
     
  15. G. I.Marchuk, Splitting Methods (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].
     
  16. S. K. Godunov, A. V. Zbrodin, M. Ya. Ivanov, and G. P. Kraiko, Numerical Solution of Multidimensional Problems of Gas Dynamics (Nauka, Moscow, 1976) [in Russian].
     
  17. A. G. Kulikovskii, N. V. Pogorelov, and A. Yu. Semenov, Mathematical Issues of Numerical Solution of Hyperbolic Systems of Equations (Fizmatlit, Moscow, 2001) [in Russian].
     
  18. G. V. Ivanov, Yu. M. Volchkov, I. O. Bogulskii, S. A. Anisimov, and V. D. Kurguzov, Numerical Solution of Dynamic Problems of Elastic-Plastic Deformation of Solids (Sib. Univ. Izd., Novosibirsk, 2002) [in Russian].
     
  19. M. A. Il’gamov and A. I. Gil’manov, Nonreflecting Conditions at the Boundaries of the Computational Domain (Fizmatlit, Moscow, 2003) [in Russian].
     
  20. S. A. Anisimov and V. D. Kurguzov, “Modeling of nonreflecting conditions in numerical solution of elasticity theory problems,” Vychisl. Tekhnol. 4 (1), 3–13 (1999) [in Russian].
     
  21. D. Appelo, T. Hagstrom, and G. Kreiss, “Perfectly matched layers for hyperbolic systems: General formulation, well-posedness and stability,” SIAM J. Appl. Math. 67, 1–23 (2006). https://doi.org/10.1137/050639107
     
  22. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity (Fizmatlit, Moscow, 1985) [in Russian].
     
  23. J. O. Blanch, J. O. Robertsson, and W. W. Symes, “Modeling of a constant Q; methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique,” Geophysics 60, 176–184 (1995). https://doi.org/10.1190/1.1443744