Модель гибридной динамики популяций с режимом убежища: регуляризация и предельные множества

Модель гибридной динамики популяций с режимом убежища: регуляризация и предельные множества

Кириллов А. Н., Сазонов А. М.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 4(100), 34-48 (2024)
Скачать статью

УДК 517.91 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.403

Аннотация:

Статья посвящена регуляризации математической модели динамики популяций хищника и жертвы с внутривидовой конкуренцией в виде гибридной динамической системы, состоящей из двух двумерных систем, переключающихся между собой. Переключения систем позволяют моделировать особый режим убежища (Refuge), при котором число жертв слишком мало, и хищникам трудно их обнаружить. Проведена регуляризация представленной модели посредством использования двух линий переключения с целью избежать учащающихся переключений (chattering) между системами. Для регуляризованной модели найдены предельные множества. Проводится исследование чувствительности модели по отношению к введению переключений. Найдено условие, при котором гибридизация качественно не меняет глобальную устойчивость равновесия. В ином случае предельными множествами являются циклы.

Литература:
  1. Chen X., Huang L. A Filippov system describing the effect of prey refuge use on a ratiodependent predator—prey model // J. Math. Anal. Appl. 2015. V. 428, N 2. P. 817–837; DOI: 10.1016/j.jmaa.2015.03.045
     
  2. Кириллов А. Н., Сазонов А. М. Гибридная модель динамики популяций с режимом убежища: регуляризация и самоорганизация // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2023. Т. 33, № 3. С. 467–482; DOI: 10.35634/vm230306
     
  3. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.
     
  4. Кириллов А. Н., Сазонов А. М. Модель «хищник—жертва» с переменной структурой взаимодействия // Тр. КарНЦ РАН. 2023. № 4. С. 36–40; DOI: 10.17076/mat1767
     
  5. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
     
  6. Deng J., Tang S., Lai C.-H. Non-smooth ecological systems with a switching threshold depending on the pest density and its rate of change // Nonlinear Anal. Hybri. 2021. V. 42, N 8. P. 1–24; DOI: 10.1016/j.nahs.2021.101094
     
  7. Zhang Y., Xiao Y. Global dynamics for a Filippov epidemic system with imperfect vaccination // Nonlinear Anal. Hybri. 2020. V. 38, N 6. P. 1–20; DOI: 10.1016/j.nahs.2020.100932
     
  8. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.
     
  9. Acary V., Brogliato B., Orlov Y. Chattering-Free Digital Sliding-Mode Control with State Observer and Disturbance Rejection // IEEE Trans. Automat. Contr. 2012. V. 57, N 5. P. 1–16; DOI: 10.1109/TAC.2011.2174676 
     
  10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
     
  11. Завалишин Н. Н., Логофет Д. О. Моделирование экологических систем по заданной диаграмме «запасы—потоки» // Матем. моделирование. 1997. Т. 9, № 9. С. 3–17.
     
  12. Shih S.-D. The period of a Lotka—Volterra system // Taiwan. J Math. 1997. V. 1, N 4. P. 451–470.
     
  13. Atehortua A., Ladino L., Valverde J. Population dynamics of a two-stage migratory species with predation and capture // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2014. V. 16, N 1. P. 27–39; DOI: 10.1016/j.nonrwa.2013.09.003
     
  14. Петросян Л. А., Захаров В. В. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.
     
  15. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва—Ижевск: ИКИ, 2003.
     
  16. Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии. М.: Физмалит, 2011.
     
  17. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ОГИЗ, 1947. 

Данная работа финансировалась за счёт средств бюджета Института прикладных математических исследований, ФИЦ «Карельский научный центр РАН». Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. Н. Кириллов
  1. Институт прикладных математических исследований, ФИЦ «Карельский научный центр РАН», 
    ул. Пушкинская, 11, г. Петрозаводск 185910, Россия

E-mail: krllv1812@yandex.ru

А. М. Сазонов
  1. Институт прикладных математических исследований, ФИЦ «Карельский научный центр РАН», 
    ул. Пушкинская, 11, г. Петрозаводск 185910, Россия

E-mail: sazon-tb@mail.ru

Статья поступила 09.10.2023 г.
После доработки — 02.12.2024 г.
Принята к публикации 11.12.2024 г.

Abstract:

The paper is devoted to the regularization of the population “predator—prey” dynamics with the preys’ intraspecific competition. The model has the form of the hybrid system consisting of the two two-dimensional systems switching between each other. The switching of the systems allows us to reproduce the special Refuge-regime when the prey number is very small and the predators have complications to find preys. The regularization of the system by using two switching lines to avoid chattering is provided. The limit sets for the regularized model are established. The studying of the model sensitivity to the switchings. The condition under which the hybridization does not change the global stability of an equilibrium is derived. In the other case the limit sets are cycles.

References:
  1. X. Chen and L. Huang, “A Filippov system describing the effect of prey refuge use on a ratio-dependent predator—prey model,” J. Math. Anal. Appl. 428 (2), 817–837 (2015). https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.03.045
     
  2. A. N. Kirillov and A. M. Sazonov, “Hybrid model of population dynamics with a refuge regime: Regularization and self-organization,” Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp’yut. Nauki 33 (3), 467–482 (2023) [in Russian]. https://doi.org/10.35634/vm230306
     
  3. Yu. M. Svirezhev and D. O. Logofet, Stability of Biological Communities (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
     
  4. A. N. Kirillov and A. M. Sazonov, “‘Predator—prey’ model with variable interaction structure,” Tr. KarNTs RAN (4), 36–40 (2023) [in Russian]. https://doi.org/10.17076/mat1767
     
  5. A. F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Side (Nauka, Moscow, 1985) [in Russian]. 
     
  6. J. Deng, S. Tang, and C.-H. Lai, “Non-smooth ecological systems with a switching threshold depending on the pest density and its rate of change,” Nonlinear Anal. Hybri. 42 (8), 1–24 (2021). https://doi.org/10.1016/j.nahs.2021.101094
     
  7. Y. Zhang and Y. Xiao, “Global dynamics for a Filippov epidemic system with imperfect vaccination,” Nonlinear Anal. Hybri. 38 (6), 1–20 (2020). https://doi.org/10.1016/j.nahs.2020.100932
     
  8. V. I. Utkin, Sliding Modes in Optimization and Control Problems (Nauka, Moscow, 1981) [in Russian].
     
  9. V. Acary, B. Brogliato, and Y. Orlov, “Chattering-free digital sliding-mode control with state observer and disturbance rejection,” IEEE Trans. Autom. Control 57 (5), 1–16 (2012). https://doi.org/10.1109/TAC.2011.2174676
     
  10. P. Hartman, Ordinary Differential Equations (John Wiley & Sons, New York—London—Sydney, 1964; Mir, Mosvow, 1970).
     
  11. N. N. Zavalishin and D. O. Logofet, “Modeling of ecological systems according to a given ‘stocks—flows’ diagram ,” Mat. Model. 9 (9), 3–17 (1997) [in Russian].
     
  12. S.-D. Shih, “The period of a Lotka—Volterra system,” Taiwan. J Math. 1 (4), 451–470 (1997).
     
  13. A. Atehortua, L. Ladino, and J. Valverde, “Population dynamics of a two-stage migratory species with predation and capture,” Nonlinear Anal. Real World Appl. 16 (1), 27–39 (2014). https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2013.09.003
     
  14. L. A. Petrosyan and V. V. Zakharov, Mathematical Models in Ecology (Izd. SPbGU, St. Petersburg, 1997) [in Russian].
     
  15. A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of Interacting Populations (IKI, Moscow—Izhevsk, 2003) [in Russian].
     
  16. A. S. Bratus’, A. S. Novozhilov, and A. P. Platonov, Dynamical Systems and Models of Biology (Fizmalit, Moscow, 2011) [in Russian].
     
  17. V. V. Nemytskii and V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations (OGIZ, Moscow, 1947) [in Russian].