Численное решение обратной задачи электро-импедансной томографии с использованием итерационного метода

Численное решение обратной задачи электро-импедансной томографии с использованием итерационного метода

Афанасьева А. А., Старченко А. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 4(100), 5-19 (2024)
Скачать статью

УДК 519.6:517.95 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.401

Аннотация:

Разработан вычислительный алгоритм решения обратной задачи электроимпедансной томографии в полной электродной постановке, представляющей собой обратную коэффициентную задачу для разностной схемы, построенной на неструктурированных сетках для уравнения эллиптического типа с интегро-дифференциальными граничными условиями. Итерационный алгоритм основан на итеративно регуляризированном методе Гаусса—Ньютона, в котором вычисляется обратная матрица от основной матрицы системы линейных уравнений; аналитически находятся производные от основной матрицы, коэффициенты которой линейно зависят от проводимости. Реализация вычислительного алгоритма выполнена для двумерного случая 16-электродной модели круга с одной вставкой. Проведено исследование влияния выбора начального приближения и погрешности входных данных на сходимость итерационного процесса.

Литература:
  1. Borcea L. Electric Impedance Tomography. Topical Review // Inverse Probl. 2002. V. 18. P. R99–R136.
     
  2. Hao Y., Liu H., Liu Z., Wang Z., Jia J. High-resolution conductivity reconstruction by electrical impedance tomography using structure-aware hybrid-fusion learning // Comput. Methods Programs Biomed. 2024. V. 243. Article 107861; DOI: 10.1016/j.cmpb.2023.107861
     
  3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
     
  4. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
     
  5. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009.
     
  6. Бакушинский А. Б. К проблеме сходимости интеративно-регуляризованного метода Гаусса—Ньютона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 9. С. 1503–1509.
     
  7. Qi-Nian J. On the Iteratively Regularized Gauss-Newton Method for Solving Nonlinear Ill-Posed Problems // Math. Comp. 2000. V. 69, N 232. P. 1603–1623; DOI: 10.1090/S0025-5718-00-01199-6
     
  8. Ahmad S., Strauss T., Kupis S., Khan T. Comparison of statistical inversion with iteratively regularized Gauss Newton method for image reconstruction in electrical impedance tomography // Appl. Math. Comput. 2019. V. 358. P. 436–448; DOI: 10.1016/j.amc.2019.03.063
     
  9. Gehre M., Kluth T., Lipponen A., Jin B., Seppanen A., Kaipio J. P., Maass P. Sparsity reconstruction in electrical impedance tomography: An experimental evaluation // J. Comput. Appl. Math. 2012. V. 236, N 8. P. 2126–2136; DOI: 10.1016/j.cam.2011.09.035
     
  10. Darbas M., Heleine J., Mendoza R., Velasco A. C. Sensitivity analysis of the complete electrode model for electrical impedance tomography // AIMS Mathematics. 2021. V. 6, N 7. P. 7333–7366; DOI: 10.3934/math.2021431
     
  11. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1. 5-е изд., испр. М.: Наука, 1994.
     
  12. Gehre M., Jin B. Expectation Propagation for Nonlinear Inverse Problems — with an Application to Electrical Impedance Tomography // Numer. Anal. 2013. P. 1–35; DOI: 10.1016/j.jcp.2013.12.010
     
  13. Somersalo E., Cheney M., Isaacson D. Existence and uniqueness for electrode models for electric current computed tomography // SIAM J. Appl. Math. 1992. V. 52. P. 1023–1040; DOI: 10.1137/0152060
     
  14. Cheney M., Isaacson D., Newell J. C. Electrical Impedance Tomography // SIAM Review. 1999. V. 41, N 1. P. 85–101.
     
  15. Батурин О. В., Батурин Н. В., Матвеев В. Н. Построение расчётных моделей в препроцессоре Gambit универсального программного комплекса Fluent. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2010.
     
  16. Шерина Е. С., Старченко А. В. Разностные схемы на основе метода конечных объёмов для задачи электроимпедансной томографии // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2014. № 3(29). С. 25–38.
     
  17. Li J., Yuan Y. Numerical simulation and analysis of generalized difference method on triangular networks for electrical impedance tomography // Appl. Math. Model. 2009. V. 3. N 5. P. 2175–2186; DOI: 10.1016/j.apm.2008.05.025
     
  18. Афанасьева А. А., Старченко А. В. Численное решение прямой задачи электроимпедансной томографии в полной электродной постановке // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2022. № 78. С. 5–21; DOI: 10.17223/19988621/78/1
     
  19. Старченко А. В., Седнев М. А., Панько С. В. Приближенное аналитическое решение прямой задачи электроимпедансной томографии в неоднородном круге с учётом сопротивления электродов // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2021. № 74. С. 19–29; DOI: 10.17223/19988621/74/3

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашения 075-02-2024-1437 и 075-02-2025-1728/2). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. А. Афанасьева
  1. Томский государственный университет,
    просп. Ленина, 36, г. Томск 634050, Россия

E-mail: anna.afanaseva@stud.tsu.ru

А. В. Старченко
  1. Томский государственный университет,
    просп. Ленина, 36, г. Томск 634050, Россия

E-mail: starch@math.tsu.ru

Статья поступила 09.06.2024 г.
После доработки — 05.11.2024 г.
Принята к публикации 11.12.2024 г.

Abstract:

A computational algorithm has been developed for solving the inverse problem of electrical impedance tomography in a complete electrode model, which is an inverse coefficient problem for a difference scheme built on unstructured grids for an elliptic equation with integrodifferential boundary conditions. The iteration algorithm is based on the iterative regularized Gauss—Newton method in which the inverse matrix of the main matrix of the system of linear equations is calculated; the derivatives of the main matrix whose coefficients depend linearly on conductivity are found analytically. The implementation of the computational algorithm is performed for the two-dimensional case of a 16-electrode disk model with one insert. The influence of the choice of the initial approximation and the error in the input data on the convergence of the iteration process has been studied.

References:
  1. L. Borcea, “Electric Impedance Tomography. Topical Review,” Inverse Probl. 18, R99–R136 (2002).
     
  2. Y. Hao, H. Liu, Z. Liu, Z. Wang, and J. Jia, “High-resolution conductivity reconstruction by electrical impedance tomography using structure-aware hybrid-fusion learning,” Comput. Methods Programs Biomed. 243, 107861 (2024). https://doi.org/10.1016/j.cmpb.2023.107861 
     
  3. A. N. Tikhonov and V. Ya. Arsenin, Methods for Solving Ill-Posed Problems (Nauka, Moscow, 1986) [in Russian].
     
  4. M. M. Lavrent’ev, V. G. Romanov, and S. P. Shishatskii, Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis (Nauka, Moscow, 1980) [in Russian].
     
  5. S. I. Kabanikhin, Inverse and Ill-Posed Problems (Sib. Nauchn. Izd., Novosibirsk, 2009) [in Russian].
     
  6. A. B. Bakushinskii, “To the problem of convergence of the iterative-regularized Gauss—Newton method,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 32 (9), 1503–1509 (1992) [Comput. Math. Math. Phys. 32 (9), 1353–1359 (1992)].
     
  7. J. Qi-Nian, “On the iteratively regularized Gauss—Newton method for solving nonlinear ill-posed problems,” Math. Comp. 69 (232), 1603–1623 (2000). https://doi.org/10.1090/S0025-5718-00-01199-6
     
  8. S. Ahmad, T. Strauss, S. Kupis, and T. Khan, “Comparison of statistical inversion with iteratively regularized Gauss Newton method for image reconstruction in electrical impedance tomography,” Appl. Math. Comput. 358, 436–448 (2019). https://doi.org/10.1016/j.amc.2019.03.063
     
  9. M. Gehre, T. Kluth, A. Lipponen, B. Jin, A. Seppanen, J. P. Kaipio, and P. Maass, “Sparsity reconstruction in electrical impedance tomography: An experimental evaluation,” J. Comput. Appl. Math. 236 (8), 2126–2136 (2012). https://doi.org/10.1016/j.cam.2011.09.035 
     
  10. M. Darbas, J. Heleine, R. Mendoza, and A. C. Velasco, “Sensitivity analysis of the complete electrode model for electrical impedance tomography,” AIMS Math. 6 (7), 7333–7366 (2021). https://doi.org/10.3934/math.2021431 
     
  11. L. I. Sedov, Continuum Mechanics. Vol. 1 (Nauka, Moscow, 1994) [in Russian].
     
  12. M. Gehre and B. Jin, “Expectation propagation for nonlinear inverse problems — with an application to electrical impedance tomography,” Numer. Anal., 1–35 (2013). https://doi.org/10.1016/j.jcp.2013.12.010
     
  13. E. Somersalo, M. Cheney, and D. Isaacson, “Existence and uniqueness for electrode models for electric current computed tomography,” SIAM J. Appl. Math. 52, 1023–1040 (1992). https://doi.org/10.1137/0152060 
     
  14. M. Cheney, D. Isaacson, and J. C. Newell, “Electrical impedance tomography,” SIAM Rev. 41 (1), 85–101 (1999).
     
  15. O. V. Baturin, N. V. Baturin, and V. N. Matveev, Construction of Computational Models in the Gambit Preprocessor of the Universal Software Package Fluent (Izd. Samarsk. Gos. Aerokosm. Univ., Samara, 2010) [in Russian].
     
  16. E. S. Sherina and A. V. Starchenko, “Difference schemes based on the finite volume method for the problem of electrical impedance tomography,” Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. no. 3 (29), 25–38 [in Russian].
     
  17. J. Li and Y. Yuan, “Numerical simulation and analysis of generalized difference method on triangular networks for electrical impedance tomography,” Appl. Math. Model. 3 (5), 2175–2186 (2009). https://doi.org/10.1016/j.apm.2008.05.025 
     
  18. A. A. Afanasyeva and A. V. Starchenko, “Numerical solution of the direct problem of electrical impedance tomography in the complete electrode formulation,” Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. (78), 5–21 (2022) [in Russian]. https://doi.org/10.17223/19988621/78/1 
     
  19. A. V. Starchenko, M. A. Sednev, and S. V. Pan’ko, “Approximate analytical solution of the direct problem of electrical impedance tomography in an inhomogeneous disk taking into account the resistance of the electrodes,” Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. (74), 19–29 (2021) [in Russian]. https://doi.org/10.17223/19988621/74/3