О сопряжении тонких включений Тимошенко в упругих телах при наличии трещины

О сопряжении тонких включений Тимошенко в упругих телах при наличии трещины

Николаева Н. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 4(100), 68-83 (2024)
Скачать статью

УДК 539.3:517.95 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.405

Аннотация:

Исследуется задача о сопряжении тонких упругих включений Тимошенко, расположенных в двумерном упругом теле с трещиной. Предполагается, что трещина пересекает тонкое включение в некоторой точке, являющейся точкой взаимного контакта. В точке контакта и на берегах трещины задаются нелинейные краевые условия типа неравенств, которые позволяют предотвратить взаимное проникание частей включения и берегов трещины соответственно. Установлены существование и единственность решения задачи. Получена дифференциальная постановка в виде краевой задачи, содержащая в себе условия сопряжения.

Литература:
  1. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
     
  2. Khludnev А. М., Kovtunenko V. A. Analysis of Cracks in Solids. Southampton—Boston: WIT Press, 2000.
     
  3. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
     
  4. Итоу Х., Лойгеринг Г., Хлуднев А. М. Тонкие включения Тимошенко в упругом теле с возможным отслоением // Докл. АН. 2014. Т. 59, № 9. С. 401–404.
     
  5. Khludnev A. M., Leugering G. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495–511; DOI: 10.1177/1081286513505106.
     
  6. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980–4993; DOI: 10.1002/mma.3279.
     
  7. Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // ZAMM-Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306–1317; DOI: 10.1002/zamm.201500145.
     
  8. Khludnev A. M., Popova T. S. Timoshenko inclusions in elastic bodies crossing an external boundary at zero angle // Acta Mech. Solida Sin. 2017. V. 30, N 3. P. 327–333.
     
  9. Rudoy E. M., Lazarev N. P. Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by a Timoshenko’s beam // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 334, N 17. P. 18–26.
     
  10. Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1–14; DOI: 10.1177/1081286515594655.
     
  11. Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for Euler—Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74, N 4. P. 705–718; DOI: 10.1090/qam/1447.
     
  12. Хлуднев А. М., Попова Т. С. Задача сопряжения упругого включения Тимошенко и полужёсткого включения // Математические заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 1. С. 73–89.
     
  13. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Meth. Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955–1967; DOI: 10.1002/mma.1308.
     
  14. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 1. С. 138–147.
     
  15. Рудой Е. М. Численное решение задачи о равновесии упругого тела с отслоившимся тонким жёстким включением // Сиб. журн. индустр. матем. 2016. Т. 19, № 2. С. 74–87.
     
  16. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину вдоль тонкого жёсткого включения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2014. Т. 1. С. 32–45.
     
  17. Николаева Н. А. Пластина Кирхгофа—Лява с плоским жёстким включением // Челяб. физ.-матем. журн. 2023. Т. 8, № 1. С. 29–46; DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18103.
     
  18. Фанкина И. В. Контактная задача для упругой пластины с тонким жёстким включением // Сиб. журн. индустр. матем. 2016. Т. 19, № 3. С. 90–98.
     
  19. Николаева Н. А. О равновесии упругих тел с трещинами, пересекающими тонкие включения // Сиб. журн. индустр. матем. 2019. Т. 22, № 4. С. 68–80.
     
  20. Faella L., Khludnev A. M. Junction problem for elastic and rigid inclusions in elastic bodies // Math. Methods Appl. Sci. 2016. V. 39, N 12. P. 3381–3390.
     
  21. Хлуднев А. М., Попова Т. С. Об иерархии тонких включений в упругих телах. // Математические заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 1. С. 87–107.
     
  22. Khludnev А. М. Equilibrium of an elastic body with closely spaced thin inclusions // Comp. Math. Math. Phys. 2018. V. 58, N 10. P. 1660–1672; DOI: 10.1134/S096554251810007X.
     
  23. Khludnev A. M., Leugering G. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Sys. 2014. V. 2, N 1. P. 1–21.
     
  24. Попова Т. С. Задачи о тонких включениях в двумерном вязкоупругом теле // Сиб. журн. индустр. матем. 2018. Т. 21, № 2. С. 66–78.
     
  25. Khludnev A. M. On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter // Math. Mech. Solids. 2018. V. 24, N 9. P. 2742–2753; DOI: 10.1177/1081286518796472.
     
  26. Фурцев А. И. О контакте тонкого препятствия и пластины, содержащей тонкое включение // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. 2017. Т. 17, № 4. С. 94–111; DOI: 10.17377/PAM.2017.17.9.
     
  27. Николаева Н. А. Задача о равновесии упругого тела с трещиной и тонкими включениями, которые сопряжены между собой // Дальневост. матем. журн. 2024. Т. 24, № 1. C. 73–95; DOI: 10.47910/FEMJ202408.
     
  28. Khludnev А. М., Popova T. S. Semirigid inclusions in elastic bodies: Mechanical interplay and optimal control // Comp. Math. Appl. 2019. V. 77, N 1. P. 253–262.
     
  29. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
     
  30. Boerquin F., Ciarlet P. G. Modeling and justification of eigenvalue problems for junctions between elastic structures // J. Funct. Anal. 1989. V. 87, N 2. P. 392–427.
     
  31. Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 68, N 3. P. 365–397.
     
  32. Дуранте Т, Назаров С. А., Кардоне Дж. Моделирование сочленений пластин и стержней посредством самосопряжённых расширений // Вестник СПбГУ. 2009. Т. 1, № 2. С. 3–14.
     
  33. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., Sili A. Junctions of elastic plates and beams // ESAIM Contr. Optim. CA. 2007. V. 13, N 3. P. 419–457.
     
  34. Боган Ю. А. Об условиях сопряжения А. А. Самарского и В. Б. Андреева в теории упругих балок // Матем. заметки. 2012. Т. 92, № 5. С. 662–669.
     
  35. Боган Ю. А. Осреднение неоднородной упругой балки при сопряжении элементов шарниром конечной жёсткости // Сиб. журн. индустр. матем. 1998. Т. 1, № 2. С. 67–72.
     
  36. Бережницкий Л. Т., Панасюк В. В., Стащук Н. Г. Взаимодействие жёстких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук. думка, 1983.
     
  37. Мочалов Е. В., Сильвестров В. В. Задача взаимодействия тонких жёстких остроконечных включений, расположенных между разными упругими материалами // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 5. С. 99–117.
     
  38. Мхитарян С. М. О напряжённом состоянии упругой бесконечной пластины с конечной трещиной, взаимодействующей с абсoлютно жёстким тонким включением // Доклады НАН РА. 2018. Т. 118, № 1. С. 39–48.
     
  39. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1973.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект FSRG-2023- 0025). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Н. А. Николаева
  1. Северо-Восточный федеральный университет, 
    ул. Кулаковского, 48, г. Якутск 677000, Россия

E-mail: niknataf@mail.ru

Статья поступила 13.10.2023 г.
После доработки — 21.05.2024 г.
Принята к публикации 03.07.2024 г.

Abstract:

The paper is concerned with a junction problem for Timoshenko elastic inclusions placed in an elastic body with a crack. It is assumed that the crack crosses the thin inclusion at some point. This point is a mutual contact point. Inequality-type boundary conditions are imposed at the point of contact and on the crack edges to prevent mutual penetration between inclusion parts and crack edges, respectively. Existence and uniqueness theorems are established. Differential formulation in the form of a boundary value problem that contains junction boundary conditions is presented.

References:
  1. N. F. Morozov, Mathematical Issues of Crack Theory (Nauka, Moscow, 1984) [in Russian].
     
  2. A. M. Khludnev and V. A. Kovtunenko, Analysis of Cracks in Solids (WIT Press, Southampton—Boston, 2000).
     
  3. A. M. Khludnev, Problems of Elasticity Theory in Nonsmooth Domains (Fizmatlit, Moscow, 2010) [in Russian].
     
  4. H. Itou, G. Leugering, and A. M. Khludnev, “Timoshenko thin inclusions in an elastic body with possible delamination,” Dokl. Phys. 59 (9), 401–404 (2014).
     
  5. A. M. Khludnev and G. Leugering, “On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies,” Math. Mech. Solids 20 (5), 495–511 (2015). https://doi.org/10.1177/1081286513505106
     
  6. H. Itou and A. M. Khludnev, “On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies,” Math. Meth. Appl. Sci. 39 (17), 4980–4993 (2016). https://doi.org/10.1002/mma.3279
     
  7. V. V. Shcherbakov, “The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions,” ZAMM-Z. Angew. Math. Mech. 96 (11), 1306–1317 (2016). https://doi.org/10.1002/zamm.201500145
     
  8. A. M. Khludnev and T. S. Popova, “Timoshenko inclusions in elastic bodies crossing an external boundary at zero angle,” Acta Mech. Solida Sin. 30 (3), 327–333 (2017).
     
  9. E. M. Rudoy and N. P. Lazarev, “Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by a Timoshenko’s beam,” J. Comput. Appl. Math. 334 (17), 18–26 (2018).
     
  10. A. M. Khludnev, L. Faella, and T. S. Popova, “Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies,” Math. Mech. Solids. 22 (4), 1–14 (2017). https://doi.org/10.1177/1081286515594655
     
  11. A. M. Khludnev and T. S. Popova, “Junction problem for Euler–Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies,” Quart. Appl. Math. 74 (4), 705–718 (2016). https://doi.org/10.1090/qam/1447
     
  12. A. M. Khludnev and T. S. Popova, “The problem of conjugation of the elastic inclusion of Timoshenko and a semi-rigid inclusion,” Mat. Zam. SVFU 25 (1), 73–89 (2018) [in Russian].
     
  13. A. M. Khludnev and G. Leugering, “On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks,” Math. Meth. Appl. Sci. 33 (16), 1955–1967 (2010). https://doi.org/10.1002/mma.1308
     
  14. V. V. Shcherbakov, “On an optimal control problem for the shape of thin inclusions in elastic bodies,” Sib. Zh. Ind. Mat. 16 (1), 138–147 (2013) [J. Appl. Ind. Math. 7 (3), 435–443 (2013)]. https://doi.org/10.1134/S1990478913030174
     
  15. E. M. Rudoy, “Numerical solution of an equilibrium problem for an elastic body with a delaminated thin rigid inclusion,” Sib. Zh. Ind. Mat. 19 (2), 74–87 (2016) [J. Appl. Ind. Math. 10 (2), 264–276 (2016)]. https://doi.org/10.17377/SIBJIM.2016.19.207
     
  16. N. P. Lazarev, “The problem of equilibrium of the Timoshenko plate containing a crack along a thin rigid inclusion,” Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mech. Komp’yut. Nauki 1, 32–45 (2014) [in Russian].
     
  17. N. A. Nikolaeva, “Kirchhoff—Love plate with a flat rigid inclusion,” Chelyab. Fiz.-Mat. Zh. 8 (1), 29–46 (2023) [in Russian]. https://doi.org/10.47475/2500-0101-2023-18103
     
  18. I. V. Fankina, “A contact problem for an elastic plate with a thin rigid inclusion,” Sib. Zh. Ind. Mat. 19 (3), 90–98 (2016) [J. Appl. Ind. Math. 10 (3), 333–340 (2016)]. https://doi.org/10.33048/sibjim.2019.22.411
     
  19. N. A. Nikolaeva, “About integration of the crack with thin inclusions in elastik bodies,” Sib. Zh. Ind. Mat. 22 (4), 68–80 (2019) [J. Appl. Ind. Math. 22 (4), 68–80 (2019)]. https://doi.org/10.1134/S1990478919040112
     
  20. L. Faella and A. M. Khludnev, “Junction problem for elastic and rigid inclusions in elastic bodies,” Math. Methods Appl. Sci. 39 (12), 3381–3390 (2016).
     
  21. A. M. Khludnev and T. S. Popova, “On the hierarchy of thin inclusions in elastic bodies.,” Mat. Zam. SVFU 23 (1), 87–107 (2016) [in Russian].
     
  22. A. M. Khludnev, “Equilibrium of an elastic body with closely spaced thin inclusions,” Comput. Math. Math. Phys. 58 (10), 1660–1672 (2018). https://doi.org/10.1134/S096554251810007X
     
  23. A. M. Khludnev andf G. Leugering, “Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies,” Math. Mech. Complex Sys. 2 (1), 1–21 (2014).
     
  24. T. S. Popova, “Problems on thin inclusions in a two-dimensional viscoelastic body,” Sib. Zh. Ind. Mat. 21 (2), 66–78 (2018.) [J. Appl. Ind. Math. 12 (4), 313–324 (2018)]. https://doi.org/10.17377/SIBJIM.2018.21.206
     
  25. A. M. Khludnev, “On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter,” Math. Mech. Solids 24 (9), 2742–2753 (2018). https://doi.org/10.1177/1081286518796472
     
  26. A. I. Furtsev, “On the contact of a thin obstacle and a plate containing a thin inclusion,” Sib. Zh. Chistoi Prikl. Mat. 17 (4), 94–111 (2017). https://doi.org/10.17377/PAM.2017.17.9
     
  27. N. A. Nikolaeva, “Equilibrium problems for elastic body with a crack and thin conjugated inclusions,” Dal’nevost. Mat. Zh. 24 (1), 73–95 (2024) [in Russian]. https://doi.org/10.47910/FEMJ202408
     
  28. A. M. Khludnev and T. S. Popova, “Semirigid inclusions in elastic bodies: Mechanical interplay and optimal control,” Comput. Math. Appl. 77 (1), 253–262 (2019).
     
  29. A. A. Samarskii and V. B. Andreev, Difference Methods for Elliptic Equations (Nauka, Moscow, 1976) [in Russian].
     
  30. F. Boerquin and P. G. Ciarlet, “Modeling and justification of eigenvalue problems for junctions between elastic structures,” J. Funct. Anal. 87 (2), 392–427 (1989).
     
  31. H. Le Dret, “Modeling of the junction between two rods,” J. Math. Pures Appl. 68 (3), 365–397 (1989).
     
  32. T. Durante, G. Cardone, and S. A. Nasarov, “Modeling junction of plates and beams by means of selfadjoint extensions,” Vestn. S.-Peterburgurg Gos. Univ. 1 (2), 3–14 (2009) [J. Control. Vestn. St. Petersb. Univ. Math. 42 (2), 67–75 (2009)].
     
  33. A. Gaudiello, R. Monneau, J. Mossino, F. Murat, and A. Sili, “Junctions of elastic plates and beams,” ESAIM Control Optim. CA 13 (3), 419–457 (2007).
     
  34. Yu. A. Bogan, “On the conjugation conditions of A. A. Samarskii and V. B. Andreev in the theory of elastic beams,” Mat. Zam. 92 (5), 662–669 (2012) [in Russian].
     
  35. Yu. A. Bogan, “Averaging of a nonuniform elastic beam with the connection of elements by a hinge of finite rigidity,” Sib. Zh. Ind. Mat. 1 (2), 67–72 (1998) [in Russian].
     
  36. L. T. Berezhnitskii, V. V. Panasyuk, and N. G. Stashchuk, Interaction of Rigid Linear Inclusions and Cracks in a Deformable Body (Nauk. Dumka, Kiev, 1983) [in Russian].
     
  37. E. V. Mochalov and V. V. Silvestrov, “Problem of interaction of thin rigid needle-shaped inclusions located between different elastic materials,” Izv. RAN. MTT (5), 99–117 (2011) [Mech. Solids 46 (5), 739–754 (2011)].
     
  38. S. M. Mkhitaryan, “On the stress state of an elastic infinite plate with a finite crack interacting with an absolutely rigid thin inclusion,” Dokl. NAN RA 118 (1), 39–48 (2018) [in Russian].
     
  39. E. I. Grigolyuk and I. T. Selezov, Results of Science and Technology (VINITI, Moscow, 1973) [in Russian].