Обратная задача для уравнения электродинамики с нелинейным поглощением

Обратная задача для уравнения электродинамики с нелинейным поглощением

Романов В. Г., Бугуева Т. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 2(102), 68-95 (2025)
Скачать статью

УДК 517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.205

Аннотация:

Рассматривается обратная задача определения двух неизвестных функций $\sigma_{0}(x)$ и $\sigma_{1}(x)$, входящих в коэффициент поглощения $\sigma (x, u) = \sigma_{0} (x) + \sigma_{1} (x)u$ в уравнении электродинамики. Получена априорная оценка решения прямой задачи, доказаны теоремы существования и единственности решений прямой и обратной задач.

Литература:
  1. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Comm. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609.
     
  2. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Differ. Equ. 2019. V. 44, N 11. P. 1140–1158.
     
  3. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Internat. Math. Res. Notices. 2022. V. 17. P. 13181–3211.
     
  4. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a general nonlinearity in the semilinear wave equation // arXiv. 2021; DOI: 10.48550/arXiv.2107.08513
     
  5. Chen X., Lassas M., Oksanen L., Paternain G. P. Detection of Hermitian connections in wave equations with cubic non-linearity // J. Eur. Math. Soc. 2022. V. 24, N 7. P. 2191–2232.
     
  6. Barreto A. S., Uhlmann G., Wang Y. Inverse scattering for critical semilinear wave equations // Pure Appl. Anal. 2022. V. 4, N 2. P. 191–223.
     
  7. Lassas M., Liimatainen T., Potenciano-Machado L., Tyni T. Uniqueness and stability of an inverse problem for a semi-linear wave equation // J. Differ. Equ. 2020. V. 337. P. 395–435.
     
  8. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly non-linear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53.
     
  9. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Задача об определении коэффициента при нелинейном члене квазилинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. матем. 2022. Т. 25, № 3. С. 154–169; DOI: 10.33048/SIBJIM.2022.25.313
     
  10. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Задача об определении коэффициента при степенной градиентной нелинейности в полулинейном волновом уравнении // Сиб. журн. индустр. матем. 2023. Т. 26, № 2. С. 113–129; DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.210
     
  11. Milani A. Singular limits of quasi-linear hyperbolic systems in a bounded domain of $\mathbb {R}^3$ with applications to Maxwell’s equations // Pacific J. Math. 1985. V. 116, N 1. P. 111–129; DOI: 10.2140/pjm.1985.116.111
     
  12. Babin A., Figotin A. Nonlinear Maxwell Equations in Inhomogeneous Media // Commun. Math. Phys. 2003. V. 241. P. 519–581; DOI: 10.1007/s00220-003-0939-9
     
  13. Colin T., Nkonga B. Multiscale numerical method for nonlinear Maxwell equations // Discrete Contin. Dyn. Syst. B. 2005. V. 5, N 3. P. 631–658; DOI: 10.3934/dcdsb.2005.5.631
     
  14. Wei C., Li A. Nonexistence and existence of nontrivial solutions for Klein—Gordon—Maxwell systems with competing nonlinearities // Bound. Value Probl. 2019. V. 31; DOI: 10.1186/s13661-019-1146-8
     
  15. Schnaubelt R., Spitz M. Local wellposedness of quasilinear Maxwell equations with absorbing boundary conditions // Evol. Equ. Control Theory. 2021. V. 10, N. 1. P. 155–198; DOI: 10.3934/eect.2020061
     
  16. Dohnal T., Ionescu-Tira M., Waurick M. Well-posedness and exponential stability of nonlinear Maxwell Equations for dispersive materials with interface // J. Differ. Equ. 2024. V. 383. P. 24–77; DOI: 10.1016/j.jde.2023.11.005
     
  17. Романов В. Г. Оценка устойчивости в обратной задаче для нелинейного гиперболического уравнения // Сиб. матем. журн. 2024. Т. 65, № 3. С. 560–576; DOI: 10.33048/smzh.2024.65.310
     
  18. Романов В. Г. Обратная задача для волнового уравнения с двумя нелинейными членами // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 4. С 508–520; DOI: 10.31857/S0374064124040061

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0009). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. Г. Романов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: romanov@math.nsc.ru

Т. В. Бугуева
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: bugueva@math.nsc.ru

Статья поступила 07.03.2025 г. 
После доработки — 06.06.2025 г.
Принята к публикации 06.06.2025 г.

Abstract:

The inverse problem of determining two unknown functions $\sigma_{0}(x)$ and $\sigma_{1}(x)$ included in the absorption coefficient $\sigma (x, u) = \sigma_{0} (x) + \sigma_{1} (x)u$ in the equation of electrodynamics is considered. An a priori estimate of the solution of the direct problem is obtained, and the existence and uniqueness theorems of solutions to direct and inverse problems are proved.

References:
  1. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds. Comm. Math. Phys., 2018, Vol. 360, pp. 555–609.
     
  2. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations. Comm. PDE., 2019, Vol. 44, No. 11, pp. 1140–1158.
     
  3. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds. Internat. Math. Res. Notices, 2022, Vol. 17, pp. 13181–3211.
     
  4. Barreto A.S., Stefanov P. Recovery of a general nonlinearity in the semilinear wave equation. Analysis of PDEs, 2021; DOI: 10.48550/arXiv.2107.08513
     
  5. Chen X., Lassas M., Oksanen L., Paternain G. P. Detection of Hermitian connections in wave equations with cubic non-linearity. J. Eur. Math. Soc., 2022, Vol. 24, No. 7, pp. 2191–2232.
     
  6. Barreto A. S., Uhlmann G., Wang Y. Inverse scattering for critical semilinear wave equations. Pure Appl. Anal., 2022, Vol. 4, N0. 2, pp. 191–223.
     
  7. Lassas M., Liimatainen T., Potenciano-Machado L., Tyni T. Uniqueness and stability of an inverse problem for a semi-linear wave equation. J. Differ. Equ., 2020, Vol. 337, pp. 395–435.
     
  8. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly non-linear regime. Analysis of PDEs, 2022, Vol. 392, pp. 25–53.
     
  9. Romanov V. G., Bugueva T. V. The problem of determining the coefficient of the nonlinear term in a quasilinear wave equation. J. Appl. Indust. Math., 2022, Vol. 16, No. 3, pp. 550–562; DOI: 10.1134/S1990478922030188
     
  10. Romanov V. G., Bugueva T. V. The problem of determining the coefficient multiplying a power-law gradient nonlinearity in a semilinear wave equation. J. Appl. Indust. Math., 2023, Vol. 17, No. 2, pp. 370–384; DOI: 10.1134/S1990478923020151
     
  11. Milani A. Singular limits of quasi-linear hyperbolic systems in a bounded domain of $\mathbb {R}^3$ with applications to Maxwell’s equations. Pacific J. Math., 1985, Vol. 116, No. 1, pp. 111–129; DOI: 10.2140/pjm.1985.116.111
     
  12. Babin A., Figotin A. Nonlinear Maxwell equations in inhomogeneous media. Commun. Math. Phys., 2003, Vol. 241, pp. 519–581; DOI:10.1007/s00220-003-0939-9
     
  13. Colin T., Nkonga B. Multiscale numerical method for nonlinear Maxwell equations. Discrete and Continuous Dynamical Syst. - Series B (DCDS-B), 2005, Vol. 5, No. 3, pp. 631–658; DOI: 10.3934/dcdsb.2005.5.631
     
  14. Wei C., Li A. Nonexistence and existence of nontrivial solutions for Klein—Gordon—Maxwell systems with competing nonlinearities. Bound. Value Probl., 2019, Vol. 31; DOI: 10.1186/s13661-019-1146-8
     
  15. Schnaubelt R., Spitz M. Local wellposedness of quasilinear Maxwell equations with absorbing boundary conditions. Evolution Equations and Control Theory (EECT), 2021, Vol. 10, No. 1, pp. 155–198; DOI: 10.3934/eect.2020061
     
  16. Dohnal T., Ionescu-Tira M., Waurick M. Well-posedness and exponential stability of nonlinear Maxwell Equations for dispersive materials with interface. Analysis of PDEs; DOI: 10.1016/j.jde.2023.11.005
     
  17. Romanov V. G. A stability estimate for a solution to an inverse problem for a nonlinear hyperbolic equation. Sib. Math. J., 2024, Vol. 65, No. 3, pp. 611–626.
     
  18. Romanov V. G. An inverse problem for the wave equation with two nonlinear terms. Dif. Equ., 2024, Vol. 60, No. 4, pp. 479–491.