О существовании лиувиллевых решений в случае Гесса задачи о движении тяжёлого гиростата под действием гироскопических сил

О существовании лиувиллевых решений в случае Гесса задачи о движении тяжёлого гиростата под действием гироскопических сил

Кулешов А. С., Скрипкин А. Д.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 130-144 (2025)
Скачать статью

УДК 531.36 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.409

Аннотация:

Рассматривается задача о движении гиростата с неподвижной точкой при одновременном действии силы тяжести и гироскопических сил в случае, аналогичном случаю Гесса в задаче о движении тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой. Показано, что решение задачи описания движения гиростата в этом случае сводится к нахождению общего решения некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка с рациональными коэффициентами. При помощи алгоритма Ковачича получены условия на параметры задачи, при выполнении которых соответствующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка допускает явное решение, выражающееся в лиувиллевых функциях. Показано, что при выполнении полученных условий уравнения движения гиростата могут быть проинтегрированы в квадратурах.

Литература:
  1. Hess W. Ueber die Euler’schen Bewegungsgleichungen und über eine neue partikuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt // Mathematische Annalen. 1890. V. 37, N 2. P. 153–181; DOI: 10.1007/BF01200234
     
  2. Некрасов П. А. К задаче о движении тяжёлого твёрдого тела около неподвижной точки // Математический сборник. 1892. Т. 16, № 3. С. 508–517.
     
  3. Некрасов П. А. Аналитическое исследование одного случая движения тяжёлого твёрдого тела около неподвижной точки // Мат. сб. 1896. Т. 18, № 2. С. 161–274.
     
  4. Сретенский Л. Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Доклады АН СССР. 1963. Т. 149, № 2. С. 292–294.
     
  5. Сретенский Л. Н. О некоторых случаях движения тяжёлого твёрдого тела с гироскопом // Вестн. Московского ун-та. Математика, механика. 1963. № 3. С. 60–71.
     
  6. Буров А. А. О частных интегралах уравнений движения твёрдого тела по гладкой горизонтальной плоскости // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1986. № 5. С. 72–73.
     
  7. Буров А. А. О частных интегралах в задаче о движении тела на струне // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1987. № 2. С. 84.
     
  8. Буров А. А., Карапетян А. В. О движении твёрдого тела в потоке частиц // Прикл. математика и механика. 1993. Т. 57, № 2. С. 77–81.
     
  9. Борисов А. В., Мамаев И. И. Динамика твёрдого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
     
  10. Борисов А. В., Мамаев И. С. Случай Гесса в динамике твёрдого тела // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, № 2. С. 256–265.
     
  11. Бардин Б. С., Кулешов А. С. Применение алгоритма Ковачича для исследования случая Гесса в задаче о движении тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой // Динамические системы. 2020. Т. 10, № 2. С. 197–204.
     
  12. Bardin B. S., Kuleshov A. S. Application of the Kovacic algorithm for the investigation of motion of a heavy rigid body with a fixed point in the Hess case // ZAMM. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2022. V. 102, N 11; DOI: 10.1002/ZAMM.202100036
     
  13. Кулешов А. С., Лобанова Е. В. Анализ интегрируемого случая Гесса в задаче о движении шара по гладкой горизонтальной плоскости // Труды МАИ. 2024. № 135; https://trudymai.ru/published.php?ID=179675
     
  14. Косов А. А. Об аналогах случая Гесса для гиростата при действии момента гироскопических и циркулярных сил // Прикл. математика и механика. 2022. Т. 86, № 6. С. 839–856.
     
  15. Kovacic J. J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations // J. Symbolic Computation. 1986. V. 2, N 1. P. 3–43; DOI: 10.1016/S0747-7171(86)80010-4
     
  16. Бардин Б. С., Кулешов А. С. Алгоритм Ковачича и его применение в задачах классической механики. М.: Издательство МАИ, 2020.
     
  17. Yehia H. M. Rigid Body Dynamics: A Lagrangian Approach. Basel: Birkhauser, 2022.
     
  18. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 24-11-20009). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. С. Кулешов
  1. Механико–математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 
    Ленинские горы, главное здание МГУ, Москва 119234, Россия

E-mail: kuleshov@mech.math.msu.su, alexander.kuleshov@math.msu.ru 

А. Д. Скрипкин
  1. Механико–математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 
    Ленинские горы, главное здание МГУ, Москва 119234, Россия

E-mail: antohaskripkin@gmail.com 

Статья поступила 20.03.2025 г.
После доработки — 02.10.2025 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

The problem of the motion of a gyrostat with a fixed point under the simultaneous action of gravity and gyroscopic forces is considered in the case similar to the Hess case in the problem of the motion of a heavy rigid body with a fixed point. It is shown that the solution of the problem is reduced to solving the second order linear differential equation with rational coefficients. Using the Kovacic algorithm, conditions on the problem parameters are obtained for which the corresponding second – order linear differential equation admits an explicit solution expressed in Liouvillian functions. It is shown that, when the obtained conditions are satisfied, the equations of motion of the gyrostat can be integrated by quadratures.

References:
  1. Hess W. Ueber die Euler’schen Bewegungsgleichungen und über eine neue partikuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punk. Mathematische Annalen, 1890, V. 37, No. 2, pp. 153–181; DOI: 10.1007/BF01200234
     
  2. Nekrasov P. A. K zadache o dvizhenii tyazhelogo tverdogo tela okolo nepodvizhnoi tochki [On the problem of motion of a heavy rigid body about a fixed point]. Mat. Sbornik, 1892, Vol. 16, No. 3, pp. 508–517 (in Russian). 
     
  3. Nekrasov P. A. Analiticheskoe issledovanie odnogo sluchaya dvizheniya tyazhelogo tverdogo tela okolo nepodvizhnoi tochki [Analytical investigation of the case of the motion of a heavy rigid body about a fixed point]. Mat. Sbornik, 1896, Vol. 18, No. 2, pp. 161–274 (in Russian).
     
  4. Sretenskii L. N. O nekotorykh sluchayakh integriruemosti uravnenii dvizheniya girostata [Some Integrability Cases for the Equations of Gyrostat Motion]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1963, Vol. 149, No. 2, pp. 292–294 (in Russian).
     
  5. Sretenskii L. N. O nekotorykh sluchayakh dvizheniya tyazhelogo tverdogo tela s giroskopom [On Some Cases of Motion of a Heavy Rigid Body with a Gyroscope]. Vestn. Mosk. Univ. Ser. 1. Mat., Mekh., 1963, No. 3, pp. 60–71 (in Russian).
     
  6. Burov A. A. O chastnykh integralakh uravnenii dvizheniya tverdogo tela po gladkoi gorizontal’noi ploskosti [Particular Integrals of the Equations of Motion of a Rigid Body over a Smooth Horizontal Plane]. Izv. Akad. Nauk SSSR. Mekh. Tverd. Tela, 1986, No. 5, pp. 72–73 (in Russian).
     
  7. Burov A. A. O chastnykh integralakh v zadache o dvizhenii tela na strune [Partial Integrals in the Problem of the Motion of a Body Suspended from a String]. Izv. Akad. Nauk SSSR. Mekh. Tverd. Tela, 1987, No. 2, pp. 84 (in Russian).
     
  8. Burov A. A., Karapetyan A. V. On the Motion of a Rigid Body in a Particle Flow. J. Appl. Math. Mech., 1993, Vol. 57, No. 2, pp. 295–299; DOI: 10.1016/0021-8928(93)90057-S
     
  9. Borisov A. V., Mamaev I. S. Rigid Body Dynamics. de Gruyter Studies in Mathematical Physics. Vol. 52. Walter de Gruyter Gmbh, 2019; DOI: 10.1515/9783110544442
     
  10. Borisov A. V., Mamaev I. S. The Hess case in Rigid – Body Dynamics. J. Appl. Math. Mech., 2003, Vol. 67, No. 2, pp. 227–235; DOI: 10.1016/S0021-8928(03)90009-8
     
  11. Bardin B. S., Kuleshov A. S. Primenenie algoritma Kovachicha dlya issledovaniya sluchaya Gessa v zadache o dvizhenii tyazhelogo tverdogo tela s nepodvizhnoi tochkoi [Application of the Kovacic algorithm for the Investigationof Motion of a Heavy Rigid Body with a Fixed Point in the Hess Case]. Dinam. Syst., 2020, Vol. 10, No. 2, pp. 197–204 (in Russian).
     
  12. Bardin B. S., Kuleshov A. S. Application of the Kovacic algorithm for the investigation of motion of a heavy rigid body with a fixed point in the Hess case. ZAMM. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 2022, Vol. 102, No. 11; DOI: 10.1002/ZAMM.202100036
     
  13. Kuleshov A. S., Lobanova E. V. Analiz integriruemogo sluchaya Gessa v zadache o dvizhenii shara po gladkoi gorizontal’noi ploskosti [Analysis of the Hess integrable case in the Problem of Motion of a Ball on a Smooth Plane], Trudy MAI, 2024, No. 135 (in Russian); https://trudymai.ru/published.php?ID=179675
     
  14. Kosov A. A. On Analogues of the Hess Case for a Gyrostat under the action of the Moment of Gyroscopic and Circular Forces. Mech. Solids, Vol. 57, No. 6, pp. 1848–1861; DOI: 10.3103/S0025654422080192
     
  15. Kovacic J. J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations. J. Symb. Comput., 1986, Vol. 2, No. 1, pp. 3–43; DOI: 10.1016/S0747-7171(86)80010-4
     
  16. Bardin B. S., Kuleshov A. S. Algoritm Kovachicha i ego primenenie v zadachakh klassicheskoi mekhaniki [The Kovacic algorithm and its application to the problems of classical mechanics]. Moscow: MAI Publishing, 2020 (in Russian).
     
  17. Yehia H. M. Rigid Body Dynamics: A Lagrangian Approach. Basel: Birkhauser, 2022; DOI: 10.1007/978-3-030-96336-1
     
  18. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Boca-Raton – New York: CRC Press, 2003; DOI: 10.1201/9781420035339