Об одном подходе к изучению математических моделей естественной конвекции

Об одном подходе к изучению математических моделей естественной конвекции

Ульянов О. Н., Рубина Л. И.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 174-188 (2025)
Скачать статью

УДК 517.957:517.958:532.5 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.412

Аннотация:

Рассматриваются системы дифференциальных уравнений с частными производными, полученные ранее А. Ф. Сидоровым для пространственной естественной конвекции вязкой жидкости в приближении Буссинеска в случае течений с линейной зависимостью компонент вектора скорости от части пространственных координат. Методом, развиваемым авторами, они сведены к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены некоторые точные частные решения. Изучено, может ли решение уравнений Обербека — Буссинеска, которое линейно зависит от переменной $z$, описывать безвихревое движение вязкой несжимаемой жидкости.

Литература:
  1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Том VI. М.: Наука, 1986.
     
  2. Сидоров А. Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции // Числ. и аналит. решения задач механики сплош. среды. Cб. статей. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 101–117.
     
  3. Сидоров А. Ф. Избранные труды. Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001.
     
  4. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1957. V. 1. P. 391-–395; https://doi.org/10.1007/BF00298016
     
  5. Аристов С. Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости: дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. Владивосток: ИАПУ, 1990.
     
  6. Ульянов О. Н. Два класса решений нелинейных уравнений механики сплошных сред: дис. . . . канд-та физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1991.
     
  7. Аристов С. Н., Князев Д. В., Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теоретические основы химической технологии. 2009. Т. 43, № 5. С. 547–566.
     
  8. Ershkov S. V., Prosviryakov E. Y., Burmasheva N. V., Christianto V. Solving the Hydrodynamical System of Equations of Inhomogeneous Fluid Flows with Thermal Diffusion: A Review // Symmetry. 2023. V. 15, N 1825; https://doi.org/10.3390/sym15101825
     
  9. Просвиряков Е. Ю., Горулева Л. С., Альес М. Ю. Класс точных решений уравнений Обербека — Буссинеска с учётом диссипативной функции Рэлея // Химическая физика и мезоскопия. 2024. Т. 26, № 2. C. 164–178; https://doi.org/10.62669/17270227.2024.2.15
     
  10. Pukhnachev V. V. Model of viscous layer deformation by thermocapillary forces // Europ. J. Appl. Math. 2002. V. 13, N 2. P. 205–224; https://doi.org/10.1017/S0956792501004776
     
  11. Bekezhanova V. B., Goncharova O. N., Shefer I. A. Solution of a two-layer flow problem with inhomogeneous evaporation at the thermocapillary interface // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2021. V. 14, N 4. P. 404–413; https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-4-404-413
     
  12. Andreev V. K. Thermocapillary convection of immiscible liquid in a threedimensional layer at low Marangoni numbers // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2024. V. 17, N 2. P. 195–206.
     
  13. Pukhnachev V. V. Group-theoretical methods in convection theory // AIP Conf. Proc. 2011. V. 1404. P.27–38; https://doi.org/10.1063/1.3659901
     
  14. Barna I. F., Matyas L. Analytic self-similar solutions of the Oberbeck–Boussinesq equations // Chaos, Solitons and Fractals. 2015. V. 78. P. 249–255; https://doi.org/10.1016/j.chaos.2015.08.002
     
  15. Koptev A. V. Method for solving the Navier –– Stokes and Euler equations of motion for incompressible media // J. of Mathematical Sciences. 2020. V. 250, N 1. P. 10–21; https://doi.org/10.1007/s10958-020- 04992-x
     
  16. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
     
  17. Ульянов О. Н., Рубина Л. И. О некоторых классах свободноконвективных движений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 189–206; https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-2-189-206
     
  18. Эйхенвальд А. А. Теоретическая физика: Теория поля. M.: URSS, 2023.
     
  19. Шарфарец Б. П., Шарфарец Е. Б. О выборе методов решения уравнения Пуассона в общем случае распределения объёмной плотности заряда и постановке краевых условий в электрокинетических задачах (обзор) // Научное приборостроение. 2015. Т. 25, № 1. С. 65–75.
     
  20. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Vol. Partial differential equations. N. Y.: Interscience, 1962.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН (код научной темы FUMF-2022-0007). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

О. Н. Ульянов
  1. Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, 
    ул. С. Ковалевской, 16 г. Екатеринбург 620108, Россия

E-mail: secretary@imm.uran.ru 

Л. И. Рубина
  1. Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, 
    ул. С. Ковалевской, 16 г. Екатеринбург 620108, Россия

E-mail: rli@imm.uran.ru 

Статья поступила 09.01.2024 г.
После доработки — 30.06.2025 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

Systems of partial differential equations obtained earlier by A. F. Sidorov for spatial natural convection of a viscous liquid in the Boussinesq approximation are considered in the case of flows with a linear dependence of the components of the velocity vector on a part of the spatial coordinates. To study these systems the methods of reduction of systems of partial differential equations developed by the authors are used. The systems under consideration are reduced to systems of ordinary differential equations. Some exact partial solutions have been found. It is studied whether the solution of the Oberbeck–Boussinesq equations, which linearly depends on the variable $z$, can describe the vortex-free motion of a viscous incompressible fluid.

References:
  1. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of Theoretical Physics. Fluid Mechanics. Oxford: ButterworthHeinemann, 1987.
     
  2. Sidorov A. F. Ob odnom klasse resheniy uravneniy gazovoy dinamiki i yestestvennoy konvektsii [On a class of solutions of the gas dynamics and natural convection equations]. Chislen. analitich. resheniya zadach mekhaniki sploshnoy sredy [Numerical and Analytical Methods for Solving Problems in Continuum Mechanics]. Sverdlovsk: Akad. Nauk SSSR, Ural. Nauchn. Tsentr. 1981, pp. 101–117. (in Russian).
     
  3. Sidorov A. F. Izbrannyye trudy: Matematika. Mekhanika [Selected Works. Mathematics. Mechanics]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2001 (in Russian).
     
  4. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics. Arch. Arch. Ration. Mech. Anal., 1957. Vol. 1, pp. 391–395.; https://doi.org/10.1007/BF00298016
     
  5. Aristov S. N. Vikhrevyye techeniya v tonkikh sloyakh zhidkosti [Eddy currents in thin liquid layers]: Dr. Sci. Diss. Vladivostok: IAPU, 1990 (in Russian).
     
  6. Ulianov O. N. Dva klassa resheniy nelineynykh uravneniy mekhaniki sploshnykh sred [Two Classes of Solutions of Nonlinear Equations of Continuum Mechanics]: Ph.D. thesis. Ekaterinburg: Institute of Mathematics and Mechanics, 1992 (in Russian).
     
  7. Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier—Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables. Theor. Found. Chemical Engrg., 2009, Vol. 43, No. 5, pp. 642–662; https://doi.org/10.1134/S0040579509050066
     
  8. Ershkov S. V., Prosviryakov E. Y., Burmasheva N. V., Christianto V. Solving the Hydrodynamical System of Equations of Inhomogeneous Fluid Flows with Thermal Diffusion: A Review. Symmetry, 2023, Vol. 15, Artical number 1825; https://doi.org/10.3390/sym15101825
     
  9. Prosviryakov E. Yu., Goruleva L. S., Alies M. Yu. Klass tochnykh resheniy uravneniy Oberbeka-Bussineska s uchetom dissipativnoy funktsii Releya [A class of exact solutions of the Oberbeck-Boussinesq equations with the Rayleigh dissipative function]. Chemical Phys. Mesoscopy, 2024, Vol. 26, No. 2, pp. 164–178 (in Russian); https://doi.org/10.62669/17270227.2024.2.15
     
  10. Pukhnachev V. V. Model of viscous layer deformation by thermocapillary forces. Europ. J. Appl. Math., 2002, Vol. 13, No. 2, pp. 205–224; DOI: 10.1017/S0956792501004776
     
  11. Bekezhanova V. B., Goncharova O. N., Shefer I. A. Solution of a two-layer flow problem with inhomogeneous evaporation at the thermocapillary interface. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2021, Vol. 14, No. 4, pp. 404–413; https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-4-404-413
     
  12. Andreev V. K. Thermocapillary convection of immiscible liquid in a threedimensional layer at low Marangoni numbers. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2024, Vol. 17, No. 2, pp. 195–206
     
  13. Pukhnachev V. V. Group-theoretical methods in convection theory. AIP Conf. Proc., 2011, Vol. 1404, pp. 27–38; https://doi.org/10.1063/1.3659901
     
  14. Barna I. F., Matyas L. Analytic self-similar solutions of the Oberbeck–Boussinesq equations. it Chaos, Solitons and Fractals, 2015, Vol. 78, pp. 249–255; https://doi.org/10.1016/j.chaos.2015.08.002
     
  15. Koptev A. V. Method for solving the Navier—Stokes and Euler equations of motion for incompressible media. J. Math. Sci., 2020, Vol. 250, No. 1, pp. 10–21; https://doi.org/10.1007/s10958-020-04992-x
     
  16. Sidorov A. F., Shapeev V. P., Yanenko N. N. Metod differentsial’nykh svyazey i yego prilozheniya k gazovoy dinamike [Method of differential relations and its application in gas dynamics]. Novosibirsk: Nauka Publ., 1984 (in Russian).
     
  17. Ul’yanov O. N., Rubina L. I. On some classes of free convection motions. Proc. Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1. pp. S239–S256; https://doi.org/10.1134/S0081543823030203
     
  18. Ejkhenvald A. А. Teoreticheskaya fizika [Theoretical Physics], Moscow: URSS, 2023 (in Russian).
     
  19. Sharfarets B. P., Sharfarets Е. B. O vybore metodov resheniya uravneniya Puassona v obshchem sluchaye raspredeleniya ob"yemnoy plotnosti zaryada i o postanovke krayevykh usloviy v elektrokineticheskikh zadachakh (obzor) [About the choice of methods for solving Poisson’s equation in the general case of the distribution of the volume charge density and about the formulation of boundary conditions in electrokinetic problems (review)]. Nauchnoe priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2015, Vol. 25, No. 1, pp. 65–75 (in Russian).
     
  20. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Partial differential equations. N. Y.: Interscience, 1962, Vol. 2.