Анализ разрешимости краевой задачи для стационарной модели термодиффузии

Анализ разрешимости краевой задачи для стационарной модели термодиффузии

Алексеев Г. В., Пухначев В. В., Соболева О. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 5-20 (2025)
Скачать статью

УДК 517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.401

Аннотация:

Доказывается глобальная разрешимость краевой задачи для стационарной модели термодиффузии, учитывающей эффект Сорé. В случае, когда исходные данные малы, доказывается локальная единственность слабого решения. В работе также выводятся априорные оценки основных компонент (скорости, температуры и концентрации) решения и анализируются результаты исследования их зависимости от всех коэффициентов переноса, входящих в рассматриваемую модель. Устанавливается особый характер зависимости указанных величин от модуля коэффициента Сорé.

Литература:
  1. Гебхарт Б. и др. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М: Мир, 1991. Т. 1.
     
  2. Пригожин И., Кандепуди Д. Современная термодинамика (От тепловых двигателей до диссипативных структур). Москва: Мир, 2002.
     
  3. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // ДАН СССР. 1959. Т. 125, № 3. C. 492–495.
     
  4. Пухначев В. В. Многомерные точные решения уравнений нелинейной диффузии // Прикл. математика и техн. физика. 1995. Т. 36, № 2. С. 23–31.
     
  5. Meleshko S. V., Moyo S. On the complete group classification of the reaction–diffusion equation with a delay // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 338, N 448; http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.04.016  
     
  6. Рыжков И. И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения // Прикл. математика и техн. физика. 2006. Т. 47, № 1. C. 95–108.
     
  7. Андреев В. К., Рыжков И. И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 4. C. 508–517.
     
  8. Степанова И. В. Симметрии в уравнениях тепломассопереноса в вязких жидкостях (обзор) // Вестн. Омск. гос. ун-та. 2019. Т. 24. № 2. С. 51-65.
     
  9. Stepanova I. V. Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power nonlinearity of thermal diffusivity // Appl. Math Comput. 2019. V. 343. P. 57–66.
     
  10. Stepanova I. V. Symmetry analysis of nonlinear heat and mass transfer equations under Soret effect // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2015. V. 20. P. 684–691.
     
  11. Рыжков И. И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2013.
     
  12. Stepanova I. V. Group classification for equations of thermodiffusion in binary mixture // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2013. V. 18. P. 1341–1346.
     
  13. Андреев В. К., Степанова И. В. Симметрия уравнений термодиффузии при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации // Вычисл. технологии. 2010. Т. 15, № 4. С. 47–56.
     
  14. Lyubimova T., Rushinskaya K., Zubova N. Onset and nonlinear regimes of convection of a binary mixture in rectangular cavity heated from below // Microgravity Sci. Technol. 2020. V. 32. P. 961– 972; https://doi.org/10.1007/s12217-020-09823-x
     
  15. Любимова Т. П., Рушинская К. С., Зубова Н. А. Влияние переменного коэффициента термодиффузии на конвекцию бинарной смеси в прямоугольных полостях // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14, № 2. C. 233–244; https://doi.org/10.7242/1999-6691/2021.14.2.20 
     
  16. Lorca S. A, Boldrini J. L. Stationary solutions for generalized Boussinesq models //J. Diff. Eq. 1996. V. 124. N 389; DOI:10.1006/jdeq.1996.0016 
     
  17. Lorca S. A, Boldrini J. L. The initial value problem for a generalized Boussinesq model // Nonlinear Anal. 1999. V. 36. N 457; DOI:10.21711/231766361996/rmc115
     
  18. Гончарова O. Н. Единственность решения двумерной нестационарной задачи для уравнений конвекции с вязкостью, зависящей от температуры // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 2. С. 234-242; https://www.mathnet.ru/de10552 
     
  19. Antontsev S. N., Diaz J. I., de Oliveira H. B. Stopping a viscous fluid by a feedback dissipative field: thermal effects without phase changing // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. 2005. V. 61. P. 1–14.
     
  20. Antontsev S. N., de Oliveira H. B. The Oberbeck–Boussinesq problem modified by a thermo-absorption term // J. Math. Anal. Appl. 2011. V. 379. P. 802–817.
     
  21. Alekseev G. V, Soboleva O. V. Solvability analysis for the Boussinesq model of heat transfer under the nonlinear Robin boundary condition for the temperature // Phil. Trans. R. Soc. 2024. V. A. Article 382: 20230301; https://doi.org/10.3390/math12030391 
     
  22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
     
  23.  Алексеев Г. В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. Москва: Научный мир, 2010.
     
  24. Kovtunenko V. A., Zubkova A. V. On generalized Poisson—Nernst—Planck equations with inhomogeneous boundary conditions: a-priori estimates and stability // Math. Methods Appl. Sci. 2017. V. 40. N 6. P. 2284–2299.
     
  25. Коробков М. В., Пилецкас К., Пухначёв В. В., Руссо Р. Задача протекания для уравнений Навье-Стокса // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69. Вып. 6. № 420. С. 1065–1122; DOI: https://doi.org/10.4213/rm9616  
     
  26. Алексеев Г. В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 5. С. 971–991.

Исследование выполнено в рамках государственного задания ИПМ ДВО РАН (проект № 075-00459-25-00). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было. 
Исследование первого автора также выполнено при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (соглашение № 075-02-2025-1638/1 от 10.03.2025). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Г. В. Алексеев
  1. Институт прикладной математики ДВО РАН, 
    ул, Радио, 7, г. Владивосток 690041, Россия
  2. Дальневосточный федеральный университет, 
    пос. Аякс, 10, о. Русский, г. Владивосток 690922, Россия

E-mail: alekseev@iam.dvo.ru 

В. В. Пухначев
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090, Россия

E-mail: pukhnachev@gmail.com 

О. В. Соболева
  1. Институт прикладной математики ДВО РАН, 
    ул, Радио, 7, г. Владивосток 690041, Россия

E-mail: soboleva22@mail.ru 

Статья поступила 14.10.2025 г.
После доработки — 16.12.2025 г.
Принята к публикации 16.12.2025 г.

Abstract:

The mathematical apparatus for studying the boundary value problem for a stationary thermal diffusion model taking into account the Soré effect is developed. On the basis of the apparatus, the global solvability of the boundary value problem under study is proved. In the case when the problem data are small, the local uniqueness of the weak solution is proved. Also, we derive a priori estimates of the main components (velocity, temperature and concentration) of the solution of the problem under consideration and discuss the results of a study of the nature of their dependence on all transfer coefficients. A special dependence on the modulus of the Soré coefficient is established.

References:
  1. Gebkhart B., et. al. Svobodnokonvektivnye techeniya, teplo- i massoobmen. [Free-convective flows, heat and mass exchange]. Мoscow: Mir, 1991. Vol. 1 (in Russian).
     
  2. Prigozhin I., Kandepudi D. Sovremennaya termodinamika (Ot teplovykh dvigatelei do dissipativnykh struktur) [Modern thermodynamics (From heat engines to dissipative structures)]. Moscow: Mir, 2002 (in Russian).
     
  3. Ovsyannikov L. V. Gruppovye svoistva uravnenii nelineinoi teploprovodnosti [Group properties of nonlinear thermal conductivity equations]. DAN SSSR, 1959, Vol. 125, No. 3, pp. 492–495 (in Russian).
     
  4. Pukhnachev V. V. Mnogomernye tochnye resheniya uravnenii nelineinoi diffuzii [Multidimensional exact solutions of nonlinear diffusion equations]. Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 1995, Vol. 36, No. 2, pp. 23–31 (in Russian). 
     
  5. Meleshko S. V., Moyo S. On the complete group classification of the reaction–diffusion equation with a delay. J. Math. Anal. Appl., 2008, Vol. 338, No. 448; http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.04.016
     
  6. Ryzhkov I. I. Ob invariantnykh resheniyakh uravnenii termodiffuzii binarnoi smesi v sluchae ploskogo dvizheniya [On invariant solutions of equations of thermal diffusion of binary mixture in case of plane motion]. Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 2006, Vol. 47, No. 1, pp. 95–108 (in Russian).
     
  7. Andreev V. K., Ryzhkov I. I. Gruppovaya klassifikatsiya i tochnye resheniya uravnenii termodiffuzii. [Symmetry Classification and Exact Solutions of the Thermal Diffusion Equations]. Differenc. Uravn. [Diff. Equ.], 2005, Vol. 41, No. 4, pp. 508–517 (in Russian).
     
  8. Stepanova I. V. Simmetrii v uravneniyakh teplomassoperenosa v vyazkikh zhidkostyakh (obzor) [Symmetries of heat and mass transfer equations in viscous fluids (review)]. Vestn. Omskogo un-ta [Herald of Omsk University], 2019, Vol. 24, No. 2, pp. 51-65(in Russian).
     
  9. Stepanova I. V. Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power nonlinearity of thermal diffusivity. Appl. Math Comput., 2019, Vol. 343, pp. 57–66.
     
  10. Stepanova I. V. Symmetry analysis of nonlinear heat and mass transfer equations under Soret effect // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2015. V. 20. P. 684–691.
     
  11. Ryzhkov I. I. Termodiffuziya v smesyakh: uravneniya, simmetrii, resheniya i ikh ustoichivost’ [Thermal diffusion in mixtures: equations, symmetries, solutions and their stability]. Novosibirsk: Izd-vo SO RAN, 2013 (in Russian).
     
  12. Stepanova I. V. Group classification for equations of thermodiffusion in binary mixture. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2013, Vol. 18, pp. 1341–1346.
     
  13. Andreev V. K., Stepanova I. V. Simmetriya uravnenii termodiffuzii pri nelineinoi zavisimosti sily plavuchesti ot temperatury i kontsentratsii [Symmetry of thermal diffusion equations with non-linear dependence of buoyancy force on temperature and concentration]. Vychisl. Tekhnol., 2010, Vol. 15, No. 4, pp. 47–56 (in Russian).
     
  14. Lyubimova T., Rushinskaya K., Zubova N. Onset and nonlinear regimes of convection of a binary mixture in rectangular cavity heated from below. Microgravity Sci. Technol., 2020, Vol. 32, pp. 961– 972; https://doi.org/10.1007/s12217-020-09823-x
     
  15. Lyubimova T. P., Rushinskaya K. S., Zubova N. A. Vliyanie peremennogo koeffitsienta termodiffuzii na konvektsiyu binarnoi smesi v pryamougol’nykh polostyakh. [Influence of a variable thermal diffusion coefficient on convection of a binary mixture in rectangular cavities]. Vychisl. Mekh. Sploshn. Sred, 2021, Vol. 14, No. 2, pp. 233–244 (in Russian); https://doi.org/10.7242/1999-6691/2021.14.2.20
     
  16. Lorca S. A, Boldrini J. L. Stationary solutions for generalized Boussinesq models. J. Diff. Eq., 1996, Vol. 124, No. 389; DOI:10.1006/jdeq.1996.0016
     
  17. Lorca S. A, Boldrini J. L. The initial value problem for a generalized Boussinesq model. Nonlinear Anal., 1999, Vol. 36, No. 457; DOI:10.21711/231766361996/rmc115
     
  18. Goncharova O. N. Edinstvennost’ resheniya dvumernoi nestatsionarnoi zadachi dlya uravnenii konvektsii s vyazkost’yu, zavisyashchei ot temperatury [ Unique Solvability of a Two-Dimensional Nonstationary Problem for the Convection Equations with Temperature-Dependent Viscosity]. Differenc. Uravn. [Diff. Equ.], 2002, Vol. 38, No. 2. pp. 234-242 (in Russian); https://www.mathnet.ru/de10552
     
  19. Antontsev S. N., Diaz J. I., de Oliveira H. B. Stopping a viscous fluid by a feedback dissipative field: thermal effects without phase changing. Progress Nonlinear Differ. Equ. Their Appl., 2005, Vol. 61, pp. 1–14.
     
  20. Antontsev S. N., de Oliveira H. B. The Oberbeck–Boussinesq problem modified by a thermo-absorption term. J. Math. Anal. Appl., 2011, Vol. 379, pp. 802–817.
     
  21. Alekseev G. V, Soboleva O. V. Solvability analysis for the Boussinesq model of heat transfer under the nonlinear Robin boundary condition for the temperature. Phil. Trans. R. Soc., 2024, V. A. Article 382: 20230301; https://doi.org/10.3390/math12030391
     
  22. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika. T. VI. Gidrodinamika [Theoretical physics. Vol. VI. Hydrodynamics]. Moscow: Nauka, 1986 (in Russian).
     
  23. Alekseev G. V. Optimizatsiya v statsionarnykh zadachakh teplomassoperenosa i magnitnoi gidrodinamiki [Optimization in stationary problems of heat and mass transfer and magnetic hydrodynamics]. Moscow: Nauchnyi Mir, 2010 (in Russian).
     
  24. Kovtunenko V. A., Zubkova A. V. On generalized Poisson—Nernst—Planck equations with inhomogeneous boundary conditions: a-priori estimates and stability. Math. Methods Appl. Sci., 2017, Vol. 40, No. 6, pp. 2284–2299.
     
  25. Korobkov M. V., Piletskas K., Pukhnachev V. V., Russo R. Zadacha protekaniya dlya uravnenii Nav’e—Stoksa [The flux problem for the Navier—Stokes equations]. Uspekhi Mat. Nauk, 2014, Vol. 69, Iss. 6, No. 420, pp. 1065–1122 (in Russian); DOI: https://doi.org/10.4213/rm9616
     
  26. Alekseev G. V. Razreshimost’ obratnykh ekstremal’nykh zadach dlya statsionarnykh uravnenii teplomassoperenosa [Solvability of Inverse Extremal Problems for Stationary Heat and Mass Transfer Equations]. Sib. mat. zhurn., 2001, Vol. 42, No. 5, pp. 971–991 (in Russian).