Модели послойного решения задачи рефракционной томографии в полупространстве

Модели послойного решения задачи рефракционной томографии в полупространстве

Деревцов Е. Ю., Мальцева С. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 64-80 (2025)
Скачать статью

УДК 519.677:514.753 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.405

Аннотация:

Рассматривается задача рефракционной томографии, поставленная в полупространстве с рефракцией, интерпретируемая как задача интегральной геометрии, в рамках которой рефракция моделируется заданной римановой метрикой, допускающей наличие семейств вполне геодезических подмногообразий топологической размерности два. Предложены варианты послойного решения 3D задачи путём понижения размерности исходной задачи и её сведения к решению серии двумерных задач. Построены 2D метрики в круге, изометричные соответствующим вполне геодезическим подмногообразиям. Установлены геометрические характеристики исходной 3D метрики и порождённых ею 2D метрик. Предложена схема алгоритма послойного решения 3D задачи рефракционной томографии численными методами.

Литература:
  1. Derevtsov E. Yu., Kleshchev A. G., Sharafutdinov V. A. Numerical solution of the emission 2D-tomography problem for a medium with absorption and refraction // Inverse III-Posed Probl. 1999. V. 7, N 1. P. 83–103; DOI: 10.1515/jiip.1999.7.1.83
     
  2. Svetov I. E., Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium // Math. Comput. Simul. 2014. V. 97. P. 207–223; DOI: 10.1016/j.matcom.2013.10.002
     
  3. Кириллов А. А. Об одной задаче И. М. Гельфанда // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 2. С. 276–277.
     
  4. Tuy H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction // SIAM J. Appl. Math. 1983. V. 43. P. 546–552; DOI: 10.1137/0143035
     
  5. Finch D. V. Cone-beam reconstruction with sources on a curve // SIAM J. Appl. Math. 1985. V. 45. P. 665–673; DOI: 10.1137/0145039
     
  6. Svetov I. E., Maltseva S. V., Louis A. K. The Method of Approximate Inverse in Slice-by-Slice Vector Tomography Problems // Lecture Notes Comput. Sci. 2020. V. 11974. P. 487–494; DOI: 10.1007/978-3-030-40616-5-47
     
  7. Svetov I. E., Polyakova A. P. Inversion of generalized Radon transforms acting on 3D vector and symmetric tensor fields // Inverse Problems. 2024. V. 40, N 1. Article 015009; DOI: 10.1088/1361-6420/ad0fac
     
  8. Wensrich C. M., Holman S., Lionheart W. R. B., Courdurier M., Polyakova A., Svetov I., Doubikin T. General Reconstruction of Elastic Strain Fields from their Longitudinal Ray Transform // SIAM J. Appl. Math. 2025. V. 85(2). P. 945–960; DOI: 10.1137/24M1684852
     
  9. Гольдин С. В. Введение в геометрическую сейсмику // Учеб. пособие. Новосибирск: изд. НГУ, 2016.
     
  10. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
     
  11. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
     
  12. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том IV. М.: ГИТТЛ, 1957.
     
  13. Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих машин. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 24-21-00200). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Е. Ю. Деревцов
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: eydert@mail.ru 

С. В. Мальцева
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: maltsevasv@math.nsc.ru 

Статья поступила 30.09.2025 г.
После доработки — 25.10.2025 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

The problem of refractive tomography is considered, posed in a half-space with refraction interpreted as a problem of integral geometry, within which refraction is modeled by a given Riemannian metric that allows the presence of families of totally geodesic submanifolds of topological dimension two. Variants of slice-by-slice solution to the 3D problem by reduсtion the dimensionality of the original problem and reducing it to solving a series of two-dimensional problems are proposed. 2D metrics in a disk are constructed, isometric to the corresponding totally geodesic submanifolds. The geometric characteristics of the original 3D metric and the 2D metrics generated by it are established. A scheme of the algorithm for slice-by-slice solution to the 3D problem of refractive tomography by numerical methods is proposed.

References:
  1. Derevtsov E. Yu., Kleshchev A. G., Sharafutdinov V. A. Numerical solution of the emission 2Dtomography problem for a medium with absorption and refraction. Inverse III-Posed Probl., 1999, Vol. 7, No. 1, pp. 83–103; DOI: 10.1515/jiip.1999.7.1.83
     
  2. Svetov I. E., Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium. Math. Comput. Simul., 2014, Vol. 97, pp. 207–223; DOI: 10.1016/j.matcom.2013.10.002
     
  3. Kirillov A. A. Ob odnoi zadache I. M. Gel’fanda [About one problem by I. M. Gelfand]. DAN USSR, 1961, Vol. 137, No. 2, pp. 276–277 (in Russian).
     
  4. Tuy H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction. SIAM J. Appl. Math., 1983. Vol. 43, pp. 546–552; DOI: 10.1137/0143035
     
  5. Finch D. V. Cone-beam reconstruction with sources on a curve. SIAM J. Appl. Math., 1985, Vol. 45, pp. 665–673; DOI: 10.1137/0145039
     
  6. Svetov I. E., Maltseva S. V., Louis A. K. The Method of Approximate Inverse in Slice-by-Slice Vector Tomography Problems. Lecture Notes Comput. Sci., 2020, Vol. 11974, pp. 487–494; DOI: 10.1007/978-3-030-40616-5-47
     
  7. Svetov I. E., Polyakova A. P. Inversion of generalized Radon transforms acting on 3D vector and symmetric tensor fields. Inverse Problems, 2024, Vol. 40, No. 1. Article 015009; DOI: 10.1088/1361-6420/ad0fac
     
  8. Wensrich C. M., Holman S., Lionheart W. R. B., Courdurier M., Polyakova A., Svetov I., Doubikin T. General Reconstruction of Elastic Strain Fields from their Longitudinal Ray Transform. SIAM J. Appl. Math., 2025, Vol. 85, No. 2, pp. 945–960; DOI: 10.1137/24M1684852
     
  9. Goldin S. V. Vvedenie v geometricheskuyu seismiku. Ucheb. posobie [Introduction to geometric seismics. Study guide]. Novosibirsk: Publ. NSU, 2016 (in Russian).
     
  10. Lavrent’ev M. M., Romanov V. G., Shishatskii S. P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza [Ill-posed problems of mathematical physics and analysis]. Moscow: Nauka, 1980 (in Russian).
     
  11. Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Sovremennaya geometriya [Modern Geometry]. Moscow: Nauka, 1979 (in Russian).
     
  12. Smirnov V. I. Kurs vysshei matematiki [Higher Mathematics Course]. Moscow: GITTL, 1957 (in Russian).
     
  13. Lance J. N. Chislennye metody dlya bystrodeistvuyushchikh mashin [Numerical Methods for High-Speed Machines]. Moscow: Foreign Lang. Publ., 1962 (in Russian).