Об особых решениях в задаче о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью

Об особых решениях в задаче о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью

Иртегов В. Д., Титоренко Т. Н.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 81-95 (2025)
Скачать статью

УДК 531.36 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.406

Аннотация:

Исследуются дифференциальные уравнения, описывающие качение без скольжения уравновешенного динамически несимметричного шара по неподвижной горизонтальной плоскости в поле тяжести. Шар содержит многосвязную полость, целиком заполненную однородной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей безвихревое движение. Методом Рауса — Ляпунова с использованием символьных вычислений находятся особые решения уравнений движения, даётся их механическая интерпретация и исследуется устойчивость. Рассматривается случай, когда механическая система находится под воздействием произвольного линейного потенциального силового поля.

Литература:
  1. Жуковский Н. К. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017.
     
  2. Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. С. 74–111.
     
  3. Стеклов В. А. О движении твёрдого тела, имеющего полость эллипсоидальной формы, заполненную несжимаемой жидкостью, и об изменении широт // Работы по механике 1902–1909гг.: Переводы с французского. М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. С. 283–408.
     
  4. Пивоваров М. Л., Черноусько Ф. Л. Колебания твёрдого тела с тороидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью // Прикл. матем. мех. 1990. Т. 54, № 2. С. 201–206.
     
  5. Ольшанский В. Ю. Полурегулярная прецессия несимметричного твёрдого тела с жидким наполнением // Прикл. матем. мех. 2021. Т. 85, № 5. С. 547–564; DOI: 10.31857/S0032823521040111
     
  6. Темнов А. Н., Ян Наинг У. Об устойчивости стационарного вращения твёрдого тела с полостью, содержащей криогенную жидкость // Электронный журнал «Труды МАИ». Механика. 2023. № 133; https://trudymai.ru/
     
  7. Stewartson K., Roberts P. H. On the motion of a liquid in a spheroidal cavity of a precessing rigid body // J. Fluid Mech. 1963. V. 17, N 1. P. 1–20.
     
  8. Алексеев А. В. Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости // Известия Самарского научного центра РАН. Механика и машиностроение. 2007. Т. 9, № 3. С. 671–676.
     
  9. Карапетян А. В., Проконина О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // Прикл. матем. мех. 2000. Т. 64, № 1. С. 85–91.
     
  10. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика шара Чаплыгина с полостью, заполненной жидкостью // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 103–111.
     
  11. Маркеев А. П. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1986. Т. 21, № 1. С. 64–65.
     
  12. Богоявленский О. И. Два интегрируемых случая динамики твёрдого тела в силовом поле // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, № 6. С. 1359–1363.
     
  13. Борисов А. В., Мамаев И. С. Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
     
  14. Москвин А. Ю. Шар Чаплыгина с ротором: особые решения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 3. С. 345–356.
     
  15. Karavaev Y. L. Spherical Robots: An Up-to-Date Overview of Designs and Features // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2022. V. 18, N 4. P. 709–750; DOI: 10.20537/nd221207
     
  16. Болсинов А. В. , Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.
     
  17. Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // Успехи мат. наук. 2010. Т. 65, № 2(392). С.71–132; DOI: 10.4213/rm9346
     
  18. Routh E. J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. 6 Edition. London: MacMillan and Co., 1905.
     
  19. Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твёрдого тела в жидкости. Соб. соч. М.: АН СССР, 1954. Т. 1. С. 276–319.
     
  20. Сальвадори Л. Об устойчивости движения // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 1970. Т. 124, № 6. С. 3–19.
     
  21. Bizyaev I. A., Mamaev I. S. Permanent Rotations in Nonholonomic Mechanics. Omnirotational Ellipsoid // Regul. Chaot. Dyn. 2022. V. 27, N 6. P. 587–612; DOI: 10.1134/S1560354722060016
     
  22. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир, 2000.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института динамики систем и теории управления СО РАН (код научной темы № 121041300056-7). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. Д. Иртегов
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, г. Иркутск 664033, Россия

E-mail: irteg@icc.ru 

Т. Н. Титоренко
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, г. Иркутск 664033, Россия

E-mail: titor@icc.ru 

Статья поступила 30.07.2024 г.
После доработки — 04.11.2025 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

The differential equations describing the rolling without slipping of a balanced, dynamically asymmetric ball on an unmoving horizontal plane in a gravitational field are studied. The ball contains a multiply connected cavity completely filled with a homogeneous incompressible ideal fluid moving vortex free. Using the Routh-Lyapunov method and symbolic computations, singular solutions of the equations of motion are found, their mechanical interpretation is given, and their stability is analyzed. The case is considered when the mechanical system is acted by a linear potential force field.

References:
  1. Zhukovskij N. K. O dvizhenii tverdogo tela, imeyushchego polosti, napolnennye odnorodnoj kapel’noj zhidkost’yu [On the motion of a rigid body having cavities filled with a homogeneous droplet liquid]. Moscow: MGTU im. N. E. Baumana Press, 2017 (in Russian).
     
  2. Poincaré H. Sur la précession des corps déformables. Bull. Astr., 1910, Vol. 27, pp. 321–356.
     
  3. Stekloff V. A. Sur le movement d’un corps solide ayant une cavité de forme ellipsoidale remplie par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math., 1909, Vol. 1, No. 3, pp. 145–256.
     
  4. Pivovarov M. L., Chernousko F. L. Kolebaniya tverdogo tela s toroidal’noj polost’yu, zapolnennoj vyazkoj zhidkost’yu [The oscillations of a rigid body having a toroidal cavity filled with viscous liquid]. Prikl. Matem. Mekh., 1990, Vol. 54, No. 2, pp. 201–206 (in Russian).
     
  5. Ol’shanskii V. Yu. Semi-regular precession of an asymmetrical rigid solid body filled with a liquid. Mech. Solids, 2021, Vol. 56, No. 8, pp. 1500–1513; DOI: 10.3103/S0025654421080148]
     
  6. Temnov A. N., Yan Naing U. Ob ustojchivosti statsionarnogo vrashcheniya tverdogo tela s polost’yu, soderzhashchej kriogennuyu zhidkost’ [On the stability of steady rotation of a rigid body having a cavity with a cryogenic liquid]. Elektronnyj zhurn. ”Trudy MAI”. Mekhanika, 2023, No. 133 (in Russian); https://trudymai.ru/
     
  7. Stewartson K., Roberts P. H. On the motion of a liquid in a spheroidal cavity of a precessing rigid body. J. Fluid Mech., 1963, Vol. 17, No. 1, pp. 1–20.
     
  8. Alekseev A. V. Dvizhenie sputnika-girostata, soderzhashchego polost’ s zhidkost’yu bol’shoj vyazkosti [The motion of a satellite-gyrostat containing a cavity with a high-viscosity liquid] Izvestiya Samarskogo nauchnogo centra RAN. Mekhanika i Mashinostroenie, 2007, Vol. 9, No 3, pp. 671–676 (in Russian).
     
  9. Karapetyan A. V., Prokonina O. V. The stability of permanent rotations of a top with a cavity filled with liquid on a plane with friction. J. Appl. Math. Mech., 2000, Vol. 64, No. 1, pp. 81–86; DOI: 10.1016/S0021-8928(00)00028-9
     
  10. Borisov A. V., Mamaev I. S. Dinamika shara Chaplygina s polost’yu, zapolnennoj zhidkost’yu [The dynamics of the Chaplygin ball with a fluid-filled cavity]. Nelinejnaya dinamika, 2012, Vol. 8, No. 1, pp. 103–111 (in Russian). 
     
  11. Markeev A. P. Ob integriruemosti zadachi o kachenii shara s mnogosvyaznoj polost’yu, zapolnennoj ideal’noj zhidkost’yu [Integrability of the problem of rolling of a ball with a multiply connected cavity filled with an ideal fluid] Izv. AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela, 1986, Vol. 21, No. 1, pp. 64–65 (in Russian).
     
  12. Bogoyavlenskij O. I. Dva integriruemykh sluchaya dinamiki tverdogo tela v silovom pole [Two integrable cases of rigid body dynamics in a force field]. Dokl. AN SSSR, 1984, Vol. 275, No. 6, pp. 1359–1363 (in Russian).
     
  13. Borisov A. V., Mamaev I. S. Negolonomnye dinamicheskie sistemy. Integriruemost’, haos, strannye attraktory / Sbornik statej [Nonholonomic dynamical systems. Integrability, chaos, strange attractors / Collect. papers]. Moscow–Izhevsk: Inst. Komp’Yuter. Issled., 2002 (in Russian).
     
  14. Moskvin A. Yu. Shar Chaplygina s girostatom: osobye resheniya [Chaplygin’s ball with a gyrostat: singular solutions]. Nelinejnaya dinamika, 2009, Vol. 5, No. 3, pp. 345–356 (in Russian).
     
  15. Karavaev Y. L. Spherical Robots: An Up-to-Date Overview of Designs and Features. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2022, Vol. 18, No. 4, pp. 709–750; DOI: 10.20537/nd221207
     
  16. Bolsinov A. V., Fomenko A. T. Integrable Hamiltonian Systems. Geometry, Topology, Classification. Chapman & Hall/CRC, 2004.
     
  17. Bolsinov A. V., Borisov A. V., Mamaev I. S. Topology and stability of integrable systems. Russian Math. Surveys, 2010, Vol. 65, No. 2, pp. 259–318; DOI: 10.1070/RM2010v065n02ABEH004672
     
  18. Routh E. J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. 6 Edition. London: MacMillan and Co., 1905.
     
  19. Lyapunov A. M. O postoyannykh vintovykh dvizheniyakh tverdogo tela v zhidkosti. Sobr. soch. [On permanent helical motions of a rigid body in fluid. Collected Works] Moscow: AN SSSR, 1954, Vol. 1, pp. 276–319 (in Russian).
     
  20. Salvadori L. Sulla stabilitá del movimento. Matematiche, 1969, No 24, pp. 218-238.
     
  21. Bizyaev I. A., Mamaev I. S. Permanent Rotations in Nonholonomic Mechanics. Omnirotational Ellipsoid. Regul. Chaot. Dyn., 2022, Vol. 27, No. 6, pp. 587-612; DOI: 10.1134/S1560354722060016.
     
  22. Cox D., Little J., O’Shea D. Ideals, Varieties, and Algorithms. N. Y.: Springer, 1998.