Параметрическое и явное задания медленных интегральных многообразий в двух задачах химической кинетики

Параметрическое и явное задания медленных интегральных многообразий в двух задачах химической кинетики

Кононенко Л. И.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 4(104), 96-107 (2025)
Скачать статью

УДК 517.9:541.121:541.126 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.407

Аннотация:

При использовании метода интегральных многообразий для решения конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении функции, описывающей интегральное многообразие. Одним из способов приближённого вычисления функции является использование асимптотического разложения её по степеням малого параметра. При этом функцию можно задать или явно, или параметрически, или неявным образом. В работе приведены примеры двух моделей, взятых из химической кинетики, в сингулярно возмущённых системах которых интегральные многообразия задаются явно и параметрически.

Литература:
  1. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. Москва: Наука, 1963.
     
  2. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущённые уравнения в критических случаях. Москва: Изд-во МГУ, 1978.
     
  3. Гольдштейн В. М., Соболев В. А. Качественный анализ сингулярно возмущённых систем. Новосибирск: Изд-во Института математики СО АН СССР, 1988.
     
  4. Кононенко Л. И. О гладкости медленных поверхностей сингулярно возмущённых систем // Сиб. журн. индустр. матем. 2002. T. 5, № 2. C. 109–125.
     
  5. Воропаева Н. В., Соболев В. А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущённых систем. Москва: Физматлит, 2009.
     
  6. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат. сборник. 1948. Т. 22, № 2. С. 193–204.
     
  7. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, Ч. 1, 2004. Ч. 2, 2009.
     
  8. Elboughdiri N., Sultan F., Ishaq M. S., Elmasry Y., Iqbal A. Novel reduction schemes for a dissipative dynamical system: A study on slow invariant manifolds in chemical kinetics // Ain Shams Engrg. J. 2024. V. 15, N 6. Article number 102751.
     
  9. Bykov V., Cherkinsky Y., Gol0dshtein V., Krapivnik N., Maas U. Fast–slow vector fields of reaction–diffusion systems // IMA J. Appl. Math. 2020. V. 85, N 1. P. 67–86.
     
  10. Chumakov G. A., Chumakova N. A., Lashina E. A. Modeling the complex dynamics of heterogeneous catalytic reactions with fast, intermediate, and slow variables // Chem. Engrg. J. 2015. V. 282, P. 11–19.
     
  11. Bykov V., Goldshtein V. Fast and slow invariant manifolds in chemical kinetics // Comput. Math. Appl. 2013. V. 65, N 10. P. 1502–1515.
     
  12. Shchepakina E., Sobolev V., Mortell M. P. Singular Perturbations. Introduction to System Order Reduction Methods with Applications. In: Lect. Notes in Math., Vol. 2114. Cham–Berlin–Heidelber– London: Springer. 2014.
     
  13. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Новосибирск: Изд-во Института Математики, Ч. 1, Кн. 2. 1999. Ч. 2, Кн. 1. 2000.
     
  14. Звонкин А. К., Шубин М. А. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН, 1984. Т. 39, № 2(236). С. 77–127.
     
  15. Арнольд В. И. и др. Теория бифуркаций. В кн.: Современные Проблемы Математики. Фундаментальные напрвления. М.: ВИНИТИ, 1986.
     
  16. Chumakov G. A., Chumakova N. A. Relaxation oscillations in a kinetic model of catalytic hydrogen oxidation involving a chase on canards// Chem. Engrg. J. 2003. V. 91, N 2—3. P. 151–158
     
  17. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Траектории-утки в одной задаче теории горения// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 9. С. 1175–1184.
     
  18. Кононенко Л. И., Волокитин Е. П. Качественный анализ одной сингулярно возмущённой системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Математические заметки СВФУ. 2024. Т. 31, № 3, С. 15–27.
     
  19. Воропаева Н. В. Понижение размерности моделей многотемповых динамических систем // Известия РАЕН, Сер. МММИУ. 1999. Т. 3, № 2. C. 70-102.
     
  20. Кононенко Л. И. Параметризованные интегральные многообразия сингулярно возмущённых систем в критическом случае для задач химической кинетики // Сиб. электрон. матем. изв. 2019. T. 16. C. 1640–1653; https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.115 

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2026- 0026). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Л. И. Кононенко
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: larak@math.nsc.ru 

Статья поступила 09.01.2024 г.
После доработки — 30.06.2025 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

When using the method of integral manifolds to solve specific problems, the central issue becomes the computation of the function describing the integral manifold. One approach to approximate the function is by employing its asymptotic expansion in terms of powers of a small parameter. The function can then be defined explicitly, parametrically, or implicitly. This paper presents examples of two models from chemical kinetics in singularly perturbed systems where integral manifolds are defined explicitly and parametrically.

References:
  1. Mitropol'skii Yu. A., Lykova O. B. Integral’nye mnogoobraziya v nelineinoi mekhanike [Integral manifolds in nonlinear mechanics]. Moscow: Nauka, 1963 (in Russian).
     
  2. Vasil'eva A. V., Butuzov V. F. Singuliarno vozmushchennye uravneniya v kriiticheskikh sluchayakh [Singularily perturbed equations in critical cases]. Moscow: MSU, 1978 (in Russian).
     
  3. Gol'dshtein V. M., Sobolev V. A. Kachestvennyi analiz singuliarno-vozmushchennykh sistem [A qualitative analysis of singularly perturbed systems]. Novosibirsk: IM Academy Sciences SSSR, 1988 (in Russian).
     
  4.  Kononenko L. I. O gladkosti medlennykh poverknostei singuliarno vozmushchennykh sistem [On the smoothness of slow surfaces of singularly perturbed systems] Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2002, Vol. 5, No. 2, pp. 109–125 (in Russian).
     
  5. Voropaeva N. V., Sobolev V. A. Geometricheskaya dekompozitsiya singuliarno vozmuscchennykh sistem [Geometric decomposition of singularly perturbed systems]. Moscow: Fizmatlit, 2009 (in Russian).
     
  6. Tikhonov A. N. O zavisimosti reshenii differentsial’nykh uravnenii ot malogo parametra [On the dependence of the solutions of differential equations on a small parameter]. Mat. Sbornik N. S., 1948, Vol. 22, No. 2, pp. 193–204 (in Russian).
     
  7. Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Turaev D. V., Chua L. O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Singapore: World Scientific. Part I, 1998. Part II, 2001.
     
  8. Elboughdiri N., Sultan F., Ishaq M. S., Elmasry Y., Iqbal A. Novel reduction schemes for a dissipative dynamical system: A study on slow invariant manifolds in chemical kinetics. Ain Shams Engrg. J., 2024, Vol. 15, No. 6, 102751.
     
  9. Bykov V., Cherkinsky Y., Gol'dshtein V., Krapivnik N., Maas U. Fast–slow vector fields of reaction–diffusion systems. IMA J. Appl. Math., 2020, Vol. 85, No. 1, pp. 67–86.
     
  10. Chumakov G. A., Chumakova N. A., Lashina E. A. Modeling the complex dynamics of heterogeneous catalytic reactions with fast, intermediate, and slow variables. Chem. Engrg. J. V., 2015, Vol. 282, pp. 11–19.
     
  11. Bykov V., Goldshtein V. Fast and slow invariant manifolds in chemical kinetics. Comput. Math. Appl., 2013, Vol. 65(10), pp. 1502–1515.
     
  12. Shchepakina E., Sobolev V., Mortell M. P. Singular Perturbations. Introduction to System Order Reduction Methods with Applications. In: Lect. Notes in Math., Vol. 2114. Cham–Berlin–Heidelber–London: Springer, 2014.
     
  13. Reshetnyak Yu. G. Kus matematicheskogo analiza [A course in mathematical analysis]. Novosibirsk: IM SO RAN Press. Part 1, Book 2, 1999. Part 2, Book 1, 2000.
     
  14. Zvonkin A. K., Shubin M. A. Non-standard analysis and singular perturbations of ordinary differential equations. Russ. Math. Surv., 1984, Vol. 39, No. 2, pp. 69–131.
     
  15. Arnold V. I. et al. Teoriya bifurkatsii [Bifurcation theory]. In: Sovremennye problemy matematiki. Fundamental’nye napravleniya. Moscow: VINITI, 1986 (in Russian).
     
  16. Chumakov G. A., Chumakova N. A. Relaxation oscillations in a kinetic model of catalytic hydrogen oxidation involving a chase on canards. Chem. Engrg. J., 2003, Vol. 91, No. 2–3, pp. 151–158. 
     
  17. Sobolev V. A., Shchepakina E. A. Duck trajectories in a problem of combustion theory Differ. Equations. 1996, Vol. 32, No. 9, pp. 1177–1186.
     
  18. Kononenko L. I., Volokitin E. P. Kachestvennyi analiz odnoi singuliarno vozmushchennoi systemy differentsial’nykh uravnenii s malym parametrom [Qualitative analysis of one singularly perturbed system of differential equations with a small parameter]. Mat. Zamet. SVFU, 2024, Vol. 31, No. 3, pp. 15–27 (in Russian). 
     
  19. Voropaeva N. V. Ponizhenie razmernosti modelei mnogotempovykh dinamicheskikh sistem [Reduction of dimension in the models of multitempo dynamical systems]. Izv., Ross. Akad. Estestv. Nauk, Mat. Mat. Model. Inform. Upr., 1999, Vol. 3, No. 2, pp. 70–103 (in Russian).
     
  20. Kononenko L. I. Parametrized integral manifolds of singularly perturbed systems in the critical case for problems of chemical kinetics. Sib. Elektron. Mat. Izv., 2019, Vol. 16, pp. 1640–1653.