Преобразования Бэклунда уравнения Паули для движения электрона в электромагнитном поле

Преобразования Бэклунда уравнения Паули для движения электрона в электромагнитном поле

Нещадим М. В., Часовских Н. С.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 1(105), 56-78 (2026)
Скачать статью

УДК 517.9 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.105

Аннотация:

Исследуется система уравнений, которая получена на основе уравнения Паули и связывает функции скалярного и векторного потенциалов, амплитуды, фазы. Методами теории совместности систем дифференциальных уравнений в частных производных находятся вполне интегрируемые системы, связывающие только три функции из указанных четырёх. Найденные системы связаны преобразованиями Бэклунда.

Литература:
  1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976 г., 664 с.
     
  2. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
     
  3. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.
     
  4. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
     
  5. Виноградов А. М. Симметрии и законы сохранений уравнений математической физики. М.: Факториал, 1997.
     
  6. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
     
  7. Ибрагимов Н. Х., Шабат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Бэклунда. Функцион. анализ и его прилож. 1980, Т. 14, вып. 1, с. 25–36.
     
  8. Ибрагимов Н. Х., Шабат А. Б. О бесконечных алгебрах Ли — Бэклунда // Функцион. анализ и его прилож. 1980. Т. 14, вып. 4. С. 79–80.
     
  9. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.
     
  10. Виноградов А. М. Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление. М.: МЦНМО, 2021.
     
  11. Miura R. M. Backlund transformations // Lect. Notes Math. 1976. V. 515.
     
  12. Жаринов В. В. О соответствии Бэклунда // Мат. сб. 1988. Т.‘136, № 2. С. 274–291.
     
  13. Жаринов В. В. О соответствии Бэклунда для эволюционных уравнений в многомерном пространстве // Теор. и мат. физика. 2006. Т. 147, № 1. С. 3–13.
     
  14. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987 г.
     
  15. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
     
  16. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Обобщённое преобразование Коула — Хопфа // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21, № 3(75). С. 18–25; DOI 10.17377/sibjim.2018.21.302
     
  17. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Метод дифференциальных связей и нелинейные обратные задачи // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 2. С. 36–47.
     
  18. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений. В книге: Годунов С. К., Рябенький В. С., Введение в теорию разностных схем. М.: Физ.-мат. лит., 1962.
     
  19. Аккуратов Г. В., Дмитриев В. И. Метод расчёта поля установившихся упругих колебаний в слоистой среде // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1984. Т. 24, № 2. C. 272–286.
     
  20. Фатьянов А. Г., Михайленко Б. Г. Метод расчёта нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах // Доклады РАН. 1988. Т. 301, № 4. С. 834–839.
     
  21. Каpчевcкий А. Л. Аналитичеcкое pешение уpавнений Макcвелла в чаcтотной облаcти для гоpизонтально-cлоиcтыx анизотpопныx cpед // Геология и Геофизика. 2007. Т. 48, № 8. С. 889– 898.
     
  22. Карчевский А. Л. Аналитические решения дифференциального уравнения поперечных колебаний кусочно-однородной балки в частотной области для краевых условий любого вида // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23, № 4. С. 48–68.
     
  23. Konopelchenko B. G. The group structure of Backlund transformations // Phys. Lett. A. 1979. V. 74. P. 189–192. 
     
  24. Sasaki R. Canonical structure of Backlund transformations // Phys. Lett. A. 1980. V. 78. P. 7–10.
     
  25. Konopelchenko B. G. Elementary Backlund transformations, nonlinear superposition principle and solution of the integrable equations // Phys. Lett. A. 1982. V. 87. P. 445–448.
     
  26. Kuznetsov V. B., Sklyanin E. K. On Backlund transformations for many-body systems // J. Physics A. 1998. V. 31. P. 2241–2251.
     
  27. Белоусов Н. М. Преобразование Бэклунда для нелинейного уравнения Шредингера // Записки научных семинаров ПОМИ. 2020. Т. 494. С. 6–22.
     
  28. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры. М.: МЦНМО, 2005.
     
  29. Нещадим М. В. Преобразования Бэклунда для одномерного уравнения Шредингера // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24, № 2. C. 116–125; DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.24.209
     
  30. Нещадим М. В., Симонов А. А. Преобразования Бэклунда релятивистского уравнения Шредингера. Сиб. журн. индустр. математики. 2023. Т. 26, № 4. C. 109–124; DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.408
     
  31. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана, М.–Л.: ГИИТЛ, 1948.
     
  32. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983 г.
     
  33. Нещадим М. В., Чупахин А. П. Частично-инвариантные решения кубического уравнения Шредингера // Вестн.Удмурт. ун-та. 2009. Вып. 3. С. 35–41.
     
  34. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Algebraic-Analytic Methods for Constructing Solutions to Differential Equations and Inverse Problems // J. Math. Sci. 2016. June 14, 2016. V. 215, Iss. 4. P. 444– 459.
     
  35. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Representations for the solutions and coefficients of second-order differential equations // J. Appl. Indust. Math. 2013. V. 7, N 1. P. 1–7.
     
  36. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Представления решений и коэффициентов эволюционных уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 40–49.
     
  37. Нещадим М. В. Обратная задача теории совместности и функционально-инвариантные решения волнового уравнения в двумерном пространстве // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2012. V. 40, вып. 14. С. 87–95.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2026-0029). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

М. В. Нещадим
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Академика Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: neshch@math.nsc.ru 

Н. С. Часовских
  1. Горно-алтайский государственный университет, 
    ул. Ленкина, 1, г. Горно-Алтайск 659700, Россия

E-mail: nikolayaltay@rambler.ru 

Статья поступила 30.05.2024 г.
После доработки — 30.05.2024 г.
Принята к публикации 10.12.2025 г.

Abstract:

We study the system of equations that is obtained based on the Pauli equation and connects the functions of scalar and vector potentials, amplitude, phase. Methods of the theory of compatibility systems of partial differential equations are found completely integrable systems that connect only three of the four functions. The found systems are related by Backlund transformations.

References:
  1. Blokhintsev D. I. Osnovy kvantovoi mekhaniki [Fundamentals of Quantum Mechanics]. Moscow: Nauka, 1976 (in Russian).
     
  2. Ovsyannikov L. V. Group Analysis of Differential Equations. N. Y.: Academic Press,1982
     
  3. Ibragimov N. Kh. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics. Dordrecht-BostonLancaster: Reidel Publishing Company, 1985.
     
  4. Olver P. J. Applications of Lie Groups toDifferential Equations. N. Y.: Springer-Verl., 1986.
     
  5. Krasilshchik I. S., Vinogradov A. M. Symmetries and Conservation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics. Providence: AMS, 1999.
     
  6. Sidorov A. F., Shapeev V. P., Yanenko N. N. Metod differentsial’nykh svyazei i ego prilozhenie v gazovoi dinamike [Method of Differential Constraints and Its Applications in Gas Dynamics]. Novosibirsk: Nauka, 1984 (in Russian).
     
  7. Ibragimov N. Kh., Shabat A. B. Evolutionary Equations with a Nontrivial Lie-Baр cklund Group. Function. Anal. and Its Appl., 1980, Vol. 14, No. 1, pp. 25–36.
     
  8. Ibragimov N. Kh., Shabat A. B. Infinite Lie—Baр cklundAlgebras. Function. Anal. and Its Appl., 1980, Vol. 14, No. 1, pp. 313.
     
  9. Vinogradov A. M., Krasilshchik I. S., Lychagin V. V. Vvedenie v geometriyu nelineinykh differentsial’nykh uravnenii [Introduction to the Geometry of Nonlinear Differential Equations]. Moscow: Nauka, 1983 (in Russian).
     
  10. Vinogradov A. M. Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus Providence: AMS, 2001.
     
  11. Miura R. M. Backlund transformations. Lect. Notes Math., 1976, Vol. 515.
     
  12. Zharinov V. V. On Baрcklund correspondences. Math. USSR-Sb., 1989, Vol. 64, No. 1, pp. 277–293.
     
  13. Zharinov V. V. Baрcklund Correspondences for Evolution Equations in a Multidimensional Space. Theoret. Math. Phys., 2006, Vol. 147, No. 1, pp. 449–459.
     
  14. Ablowitz M. J., Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. Philadelphia: SIAM, 1981.
     
  15. Kaptsov O. V. Metody integrirovaniya uravnenii s chastnymi proizvodnymi [Integration Methods for Partial Differential Equations]. Moscow: Fizmatlit, 2009 (in Russian).
     
  16. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Generalized Cole-Hopf Transformation. J. Appl. Indust. Math., 2018, Vol. 12, No. 3, pp. 409–416; DOI: 10.1134/S199047891803002X
     
  17. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Metod differentsial’nykh svyazei i nelineinye obratnye zadachi [The method of differential relations and nonlinear inverse problems]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2015, Vol. 18, No. 2, pp. 36–47 (in Russian).
     
  18. Gel’fand I. M., Lokutsievskii O. V. Metod «progonki» dlya resheniya raznostnykh uravnenii. V kniige: Godunov S. K., Ryaben’kii V. S., Vvedenie v teoriyu raznostnykh skhem. [The «sweep» method for solving difference equations, in Introduction to the Theory of Difference Schemes]. Moscow: Fizmatlit, 1962, pp. 283–309 (in Russian).
     
  19. Akkuratov G. V., Dmitriev V. I. Method for calculating the field of steady elastic vibrations in a layered medium. U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1984, Vol. 24, No. 1, pp. 166–176.
     
  20. Fat’yanov A. G., Mikhailenko B. G. Metod rascheta nestatsionarnykh volnovykh polei v neuprugikh sloisto-neodnorodnykh sredakh [Method for calculating unsteady wave fields in inelastic layered inhomogeneous media]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1988, Vol. 301, No. 4, pp. 834–839 (in Russian).
     
  21. Karchevsky A. L. Analytical solution of Maxwell’s equations in the frequency domain for horizontally layered anisotropic media. Geol. Geophys., 2007, Vol. 48, No. 8, pp. 889–898.
     
  22. Karchevsky A. L. Analytical solutions to the differential equation of transverse vibrations of a piecewise homogeneous beam in the frequency domain for the boundary conditions of various types. J. Appl. Industrial. Math., 2020, Vol. 14, No. 4, 648–665.
     
  23. Konopelchenko B. G. The group structure of Backlund transformations. Phys. Lett. A, 1979, Vol. 74, pp. 189–192.
     
  24. Sasaki R. Canonical structure of Backlund transformations. Phys. Lett. A, 1980, Vol. 78, pp. 7–10.
     
  25. Konopelchenko B. G. Elementary Backlund transformations, nonlinear superposition principle and solution of the integrable equations. Phys. Lett. A, 1982, Vol. 87, pp. 445–448.
     
  26. Kuznetsov V. B., Sklyanin E. K. On Backlund transformations for many-body systems. J. Physics A, 1998, Vol. 31, pp. 2241–2251.
     
  27. Belousov N. M. Preobrazovanie Beklunda dlya nelineinogo uravneniya Schrödinger [Bрacklund transformation for the nonlinear Schrödinger equation]. Zap. Nauchn. Semin. POMI, 2020, Vol. 494, pp. 6–22 (in Russian).
     
  28. Miwa T., Jimbo M., Date E. Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebras. Cambridge Univ. Press, 2000.
     
  29. Neshchadim M. V. Bäcklund transformations for the one-dimensional Schr¨odinger Equation. J. Appl. Indust. Math., 2021, Vol. 15, No. 2, pp. 307–314; DOI: 10.1134/S1990478921020125
     
  30. Neshchadim M. V., Simonov A. A. Bäcklund Transformations of the Relativistic Schrödinger Equation. J. Appl. Indust. Math., 2023, Vol. 17, No. 4, pp. 828-841; DOI: 10.1134/S1990478923040129
     
  31. Finikov S. P. Metod vneshnikh form Kartana [Cartan’s Method of Exterior Forms]. Мoscow: Gostekhizdat, 1948 (in Russian).
     
  32. Pommaret J. Systems of Partial Differential Equations and Lie Pseudogroups. Routledge, 1978.
     
  33. Neshchadim M. V., Chupakhin A. P. Partially invariant solutions to the cubic Schr¨odinger equation. Vestnik Udmurt. Univ., 2009, No. 3,pp. 35–41.
     
  34. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Algebraic-Analytic Methods for Constructing Solutions to Differential Equations and Inverse Problems. J. Math. Sci., 2016, June 14, 2016, Vol. 215, Iss. 4, pp. 444– 459.
     
  35. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Representations for the solutions and coefficients of second-order differential equations. J. Appl. Indust. Math., 2013, Vol. 7, No. 1, pp. 1–7.
     
  36. Anikonov Yu. E., Neshchadim M. V. Representations for the solutions and coefficients of evolution equations. J. Appl. Ind. Math., 2013, Vol. 7, Vo. 3, pp. 326–334.
     
  37. Neshchadim M. V. Obratnaya zadacha teorii sovmestnosti i funktsional’no-invariantnye resheniya volnovogo uravneniya v dvumernom prostranstve [Inverse problem of consistency theory and functionally invariant solutions of the wave equation in two-dimensional space]. Vestn. Yuzhno-Ural’skogo gos. un-ta. Ser. Mat. Model. Program., 2012, Vol. 40, Iss. 14, pp. 87–95 (in Russian).