Обратная задача для волнового уравнения с потенциалом, зависящим от пространственной переменной и времени

Обратная задача для волнового уравнения с потенциалом, зависящим от пространственной переменной и времени

Романов В. Г., Бугуева Т. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 1(105), 79-93 (2026)
Скачать статью

УДК 517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.106

Аннотация:

Рассматривается обратная задача определения коэффициента $q(x, t)$ волнового уравнения $u_{tt}−u_{xx}+q(x, t)u = 0$, когда $(x, t) \in \mathbb {R}^{+} \times (0, T$]. Изучены свойства решения прямой задачи. Доказана теорема существования и единственности решения прямой задачи. Для обратной задачи доказана теорема о локальном существовании её решения и получена глобальная оценка устойчивости её решения.

Литература:
  1. Stefanov P. D. Uniqueness of the inverse scattering problem for the wave equation with a potential depending on time // Inverse Problems. 1988. V. 4. P. 913–920.
     
  2. Hu G., Kian Ya. Determination of singular time-dependent coefficients for wave equations from full and partial data // Inverse Problems and Imaging. 2018. V. 12, N 3. P. 745–772; DOI: 10.3934/ipi.2018032
     
  3. Ben Aicha I. Stability estimate for hyperbolic inverse problem with time-dependent coefficient // Inverse Problems, 2015. V. 31. Article number 125010; arXiv:1506.01935v1 [math.AP] 5 Jun 2015
     
  4. Feizmohammad A., Kian Y. Recovery of nonsmooth coefficients appearing in anisotropic wave equations // SIAM J. Mathematical Analysis. 2019. V. 51, Iss. 6. P. 4953–4976; https://doi.org/10.1137/19M1251394  
     
  5. Feizmohammad A. An inverse boundary value problem for isotropic nonautonomous heat flows // Mathematische Annalen. 2024. V. 388. P. 1569–1607; DOI: 10.1007/s00208-022-02559-6
     
  6. Borcea L., Garnier J., Solna K. Sound propagation in a weakly turbulent flow waveguide // SIAM J. Applied Mathematics. 2019. V. 79, N 6. P. 2663–2687.
     
  7. Borcea L., Garnier J., Solna K. Wave propagation and imaging in moving random media, Multiscale // Modeling and Simulations. 2019. V. 17. P. 31–67.
     
  8. Borcea L., Callaghan T., Papanicolaou G. Motion estimation and imaging of complex scenes with synthetic aperture radar // Inverse Problems. 2013. V. 29. Articale number 054011.
     
  9. Martorella M., Gelli S., Bacci A. Ground moving target imaging via SDAP-ISAR processing: review and new trends // Sensors. 2021. V. 21. Article number 2391; https://doi.org/10.3390/s21072391  
     
  10. Klibanov M. V., Li J., Romanov V. G., Yang Z. Carleman Numerical Method for Imaging of Moving Targets // arXiv: 2512.18361, 2025.
     
  11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2026-0029). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. Г. Романов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: romanov@math.nsc.ru 

Т. В. Бугуева
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: bugueva@math.nsc.ru 

Статья поступила 05.01.2025 г.
После доработки — 11.02.2026 г.
Принята к публикации 25.02.2026 г.

Abstract:

The inverse problem of determining the coefficient $q(x, t)$ of the wave equation $u_{tt}−u_{xx}+q(x, t)u = 0$ is considered when $(x, t) \in \mathbb {R}^{+} \times (0, T$]. The properties of a solution of a direct problem are studied and an existence and uniqueness theorem is proved. For the inverse problem a local existence theorem is stated and a global stability estimate is found.

References:
  1. Stefanov P. D. Uniqueness of the inverse scattering problem for the wave equation with a potential depending on time. Inverse Problems, 1988, Vol. 4, pp. 913–920.
     
  2. Hu G., Kian Ya. Determination of singular time-dependent coefficients for wave equations from full and partial data. Inverse Problems and Imaging, 2018, Vol. 12, No. 3, pp. 745–772; DOI: 10.3934/ipi.2018032
     
  3. Ben Aicha I. Stability estimate for hyperbolic inverse problem with time-dependent coefficient. Inverse Problems, 2015, Vol. 31, Article number 125010; arXiv:1506.01935v1 [math.AP] 5 Jun 2015
     
  4. Feizmohammad A., Kian Y. Recovery of nonsmooth coefficients appearing in anisotropic wave equations. SIAM J. Math. Anal., 2019, Vol. 51, Iss. 6, pp. 4953–4976; https://doi.org/10.1137/19M1251394  
     
  5. Feizmohammad A. An inverse boundary value problem for isotropic nonautonomous heat flows. Mathematische Annalen, 2024, Vol. 388, pp. 1569–1607; DOI: 10.1007/s00208-022-02559-6
     
  6. Borcea L., Garnier J., Solna K. Sound propagation in a weakly turbulent flow waveguide // SIAM J. Applied Mathematics. 2019. V. 79, N 6. P. 2663–2687.
     
  7. Borcea L., Garnier J., Solna K. Wave propagation and imaging in moving random media, Multiscale. Modeling and Simulations, 2019, Vol. 17, pp. 31–67.
     
  8. Borcea L., Callaghan T., Papanicolaou G. Motion estimation and imaging of complex scenes with synthetic aperture radar. Inverse Problems, 2013, Vol. 29. Article number 054011.
     
  9. Martorella M., Gelli S., Bacci A. Ground moving target imaging via SDAP-ISAR processing: review and new trends. Sensors, 2021, Vol. 21. Article number 2391; https://doi.org/10.3390/s21072391  
     
  10. Klibanov M. V., Li J., Romanov V. G., Yang Z. Carleman Numerical Method for Imaging of Moving Targets. arXiv: 2512.18361, 2025.
     
  11. Bellman R. Stability Theory of Differential Equations. N. Y., McGraw-Hill Book Company, 1953.