Комбинационный параметрический резонанс для нелинейного уравнения Матьё — Хилла в гильбертовом пространстве

Комбинационный параметрический резонанс для нелинейного уравнения Матьё — Хилла в гильбертовом пространстве

Швец А. Г.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 2(106), 103-121 (2026)
Скачать статью

УДК 517.938:517.984 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.208

Аннотация:

В работе методом усреднения Крылова — Боголюбова — Митропольского исследуется комбинационный параметрический резонанс в гильбертовом пространстве $H$ для нелинейного уравнения Матьё — Хилла вида $u^{\prime \prime}(t) + A^{2}u(t) = \varepsilon F(\omega t, u(t))$, где $A^2$ — самосопряжённый положительный оператор в $H$ с компактной резольвентой. Правая часть $\varepsilon F(\omega t, u(t))$ предполагается периодическим по времени $t$ возмущением с частотой $\omega > 0, \varepsilon > 0$ — малый скалярный параметр. Показано, что в первом приближении наряду с основными параметрическими резонансами возникают комбинационные резонансы, определяемые резонансными соотношениями $k \omega = \nu p \pm \nu q$, $k \in \mathbb{Z} \backslash \ 0$, $p \ne q$, где $\nu n$ — собственные значения оператора $A = (A^2 )^{\frac {1}{2}}$, $n \in \mathbb N$. В случае комбинационного резонанса установлены условия конечности резонансных наборов индексов ($p, q$) при фиксированной частоте $\omega$, что обеспечивает отделённость нерезонансных частотных комбинаций от нуля. Также построена усреднённая конечномерная резонансная система первого приближения и доказано, что решения исходного уравнения аппроксимируются решениями построенной усреднённой системы с оценкой погрешности в норме пространства $H$ порядка $O(\varepsilon)$ на промежутке длины $T \backslash \ \varepsilon$.

Литература:
  1. Yakubovich V. A., Starzhinskii V. M. Linear Differential Equations with Periodic Coefficients. V. 1, 2. N. Y.: Wiley, 1975.
     
  2. Magnus W., Winkler S. Hill’s Equation. N. Y.: Interscience Publ., 1966.
     
  3. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985.
     
  4. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations. N. Y.: Wiley, 1979.
     
  5. Maddi J., Coste C., Saint Jean M. Parametric resonance in a conservative system of coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. E. 2022. V. 105, N 5. Article number 054208; DOI: 10.1103/PhysRevE.105.054208
     
  6. Белоносов В. С. Асимптотический анализ параметрической неустойчивости нелинейных гиперболических уравнений // Мат. сб. 2017. Т. 208, № 8. С. 4–30; DOI: 10.4213/sm8883
     
  7. Verhulst F., Tuwankotta J. M. A Parametrically excited nonlinear wave equation // Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems. Advanced Structured Materials. 2020. V. 139. P. 155–169; DOI: 10.1007/978-3-030-53006-8_11
     
  8. Bogolyubov N. N., Mitropolsky Yu. A. Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations. N. Y.: Gordon and Breach, 1962.
     
  9. Sanders J. A., Verhulst F., Murdock J. Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems. 2nd ed. N. Y.: Springer, 2007.
     
  10. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику: приближённые и асимптотические методы нелинейной механики. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
     
  11. Люлько Н. А. Неустойчивость нелинейной системы двух осцилляторов при основном и комбинационном резонансах // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2015. Т. 55, № 1. С. 56–73; DOI: 10.7868/S0044466915010160
     
  12. Belonosov V. S. Nonlocal problems of asymptotic methods of perturbation theory // In: Continuum Mechanics, Applied Mathematics and Scientific Computing: Godunov’s Legacy. Cham: Springer, 2020. P. 7–12; DOI: 10.1007/978-3-030-38870-6_2
     
  13. Belonosov V. S. Nonlocal approach to asymptotic methods of perturbation theory // International Conference PDEs and Mathematical Hydrodynamics: in Honor of V. A. Solonnikov’s 85th Birthday. Abstracts. St. Petersburg, 2018. P. 5–6.
     
  14. El-Dib Y. O., Alrowaily A. W., Tiofack C. G. L., El-Tantawy S. A. Resonance simulation of the coupled nonlinear Mathieu’s equation // AIP Advances. 2023. V. 13, N 8. Article number 085032; DOI: 10.1063/5.0166730
     
  15. Raj S. K., Sahoo B., Nayak A. R., Panda L. Multi-scale analysis for dynamic stability of an axially accelerating viscoelastic beam subjected to combination parametric resonance // J. Vib. Control. 2025. V. 31, N 13–14. P. 2716–2733; DOI: 10.1177/10775463241260987
     
  16. Li Z., Li Y., Yu H., Hu Y. Nonlinear combination resonance analysis of parametric-forced excitation for an axially moving piezoelectric rectangular thin plate in thermal-electromechanical coupling field // Thin-Walled Structures. 2024. V. 200. Article number 111941; DOI: 10.1016/j.tws.2024.111941
     
  17. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verl., 1980.
     
  18. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.
     
  19. Фомин В. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределённых системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972.
     
  20. Белоносов В. С. Спектральные свойства обобщённых функций и асимптотические методы теории возмущений // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 3. С. 3–22; DOI: 10.4213/sm7812

Работа выполнена в рамках подготовки кандидатской диссертации в аспирантуре Новосибирского государственного университета. Других источников финансирования проведения или руководства данным исследованием не было.

А. Г. Швец
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090, Россия

E-mail: a.shvets1@g.nsu.ru 

Статья поступила 27.04.2026 г
После доработки — 11.06.2026 г.
Принята к публикации 15.07.2026 г.

Abstract:

Using the Krylov–Bogolyubov–Mitropolsky averaging method, this paper studies combinational parametric resonance in a Hilbert space $H$ for a nonlinear Mathieu–Hill equation of the form $u^{\prime \prime}(t) + A^{2}u(t) = \varepsilon F(\omega t, u(t))$, where $A^2$ is a self-adjoint positive operator in $H$ with compact resolvent. The right-hand side $\varepsilon F(\omega t, u(t))$ is assumed to be a time-periodic perturbation with frequency $\omega > 0$, and $\varepsilon > 0$ is a small scalar parameter. It is shown that, in the first approximation, alongside principal parametric resonances, combinational resonances arise, determined by the resonant relations $k \omega = \nu p \pm \nu q$, $k \in \mathbb{Z} \backslash \ 0$, $p \ne q$, where $\nu n$ are the eigenvalues of the operator $A = (A^2 )^{\frac {1}{2}}$, $n \in \mathbb N$. In the case of combinational resonance, conditions are established for finiteness of the resonant index sets ($p, q$) for a fixed frequency $\omega$, which ensures separation of the nonresonant frequency combinations from zero. An averaged finite-dimensional resonant system of the first approximation is also constructed, and it is proved that solutions of the original equation are approximated by solutions of the constructed averaged system with an $O(\varepsilon)$ error estimate in the norm of $H$ on an interval of length $T \backslash \ \varepsilon$.

References:
  1. Yakubovich V. A., Starzhinskii V. M. Linear Differential Equations with Periodic Coefficients. Vols. 1 and 2. N. Y.: Wiley, 1975.
     
  2. Magnus W., Winkler S. Hill’s Equation. N. Y.: Interscience Publ., 1966.
     
  3. Arnol’d V. I., Kozlov V. V., Neishtadt A. I. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1997.
     
  4. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations. N. Y.: Wiley, 1979.
     
  5. Maddi J., Coste C., Saint Jean M. Parametric resonance in a conservative system of coupled nonlinear oscillators. Phys. Rev. E., 2022, Vol. 105, No. 5, Article number 054208; DOI: 10.1103/PhysRevE.105.054208
     
  6. Belonosov V. S. Asymptotic analysis of the parametric instability of nonlinear hyperbolic equations. Sbornik: Mathematics, 2017, Vol. 208, No. 8, pp. 1088–1112; DOI: 10.1070/SM8883
     
  7. Verhulst F., Tuwankotta J. M. A parametrically excited nonlinear wave equation. Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems. Advanced Structured Materials, 2020, Vol. 139, pp. 155–169; DOI: 10.1007/978-3-030-53006-8_11
     
  8. Bogolyubov N. N., Mitropolsky Yu. A. Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations. N. Y.: Gordon and Breach, 1962.
     
  9. Sanders J. A., Verhulst F., Murdock J. Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems. 2nd ed. N. Y.: Springer, 2007.
     
  10. Krylov N. M., Bogolyubov N. N. Vvedenie v nelineinuyu mekhaniku: priblizhennye i asimptoticheskie metody nelineinoi mekhaniki [Introduction to nonlinear mechanics: approximate and asymptotic methods of nonlinear mechanics]. Kiev: AS Ukrainian SSR Publ. House, 1937 (in Russian).
     
  11. Lyul’ko N. A. Instability of a nonlinear system of two oscillators under main and combination resonances. Comput. Math. and Math. Phys., 2015, Vol. 55, No. 1, pp. 53–70; DOI: 10.1134/S0965542515010169
     
  12. Belonosov V. S. Nonlocal problems of asymptotic methods of perturbation theory. In: Continuum Mechanics, Applied Mathematics and Scientific Computing: Godunov’s Legacy. Cham: Springer, 2020, pp. 7–12; DOI: 10.1007/978-3-030-38870-6_2
  13. Belonosov V. S. Nonlocal approach to asymptotic methods of perturbation theory. International Conference PDEs and Mathematical Hydrodynamics: in Honor of V. A. Solonnikov’s 85th Birthday. Abstracts. St. Petersburg, 2018, pp. 5–6.
     
  14. El-Dib Y. O., Alrowaily A. W., Tiofack C. G. L., El-Tantawy S. A. Resonance simulation of the coupled nonlinear Mathieu’s equation. AIP Advances, 2023, Vol. 13, No. 8, Article number 085032; DOI: 10.1063/5.0166730
     
  15. Raj S. K., Sahoo B., Nayak A. R., Panda L. Multi-scale analysis for dynamic stability of an axially accelerating viscoelastic beam subjected to combination parametric resonance. J. Vib. Control, 2025, Vol. 31, No. 13–14, pp. 2716–2733; DOI: 10.1177/10775463241260987 
     
  16. Li Z., Li Y., Yu H., Hu Y. Nonlinear combination resonance analysis of parametric-forced excitation for an axially moving piezoelectric rectangular thin plate in thermal-electromechanical coupling field. Thin-Walled Structures, 2024, Vol. 200, Article number 111941; DOI: 10.1016/j.tws.2024.111941
     
  17. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verl., 1980.
     
  18. Levitan B. M., Sargsyan I. S. Operatory Shturma–Liuvillya i Diraka [Sturm–Liouville and Dirac Operators]. Moscow: Nauka, 1988 (in Russian).
     
  19. Fomin V. N. Matematicheskaya teoriya parametricheskogo rezonansa v lineinykh raspredelennykh sistemakh [Mathematical theory of parametric resonance in linear distributed systems]. Leningrad: Leningrad State University Press, 1972 (in Russian).
     
  20. Belonosov V. S. The spectral properties of distributions and asymptotic methods in perturbation theory. Sbornik: Mathematics, 2012, Vol. 203, No. 3, pp. 307–325; DOI: 10.1070/SM2012v203n03ABEH004224