Численно–аналитическое исследование модели двух эпидемий с учётом миграционных эффектов

Численно–аналитическое исследование модели двух эпидемий с учётом миграционных эффектов

Будянский А. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 2(106), 25-39 (2026)
Скачать статью

УДК 519.63 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.202

Аннотация:

Целью настоящего исследования является изучение модели массовых инфекционных заболеваний на основе системы нелинейных параболических уравнений. Моделирование проводится в рамках гипотезы о двойной эпидемии, вызванной разными инфекционными штаммами или близкородственными вирусами. Подразумевается, что заболевания обеспечивают взаимный иммунитет. Рассматривается пространственно–временное взаимодействие двух категорий населения: восприимчивых к инфекции и инфицированных. При этом инфицированное население разделено на две непересекающиеся группы, относящиеся к разным заболеваниям. Учитывается локальное взаимодействие, определяющее взаимный переход из одной категории в другую, и миграционные потоки, обусловленные диффузией и направленной миграцией. Моделирование проводится без учёта демографических факторов и возможности получения иммунитета переболевшими. Для пространственной аппроксимации задачи применяется метод конечных разностей на основе смещённых сеток. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется по времени методом Рунге — Кутты. Компьютерные эксперименты проводятся в системе MATLAB. В ходе исследования установлены параметрические зависимости, при которых в рассматриваемой задаче возникает непрерывное семейство равновесий. Проанализирована возможность нахождения стационарных распределений без использования численных методов. В вычислительных экспериментах дана трактовка эпидемиологических последствий в случае распада семейства решений. Исследовано влияние миграции на сценарии локального вытеснения и сосуществования вирусных инфекций.

Литература:
  1. Snowden F. M. Epidemics and society: from the black death to the present. Yale Univ. Press, 2019.
     
  2. Porrozzi R., Teva A., Amaral V. F. Cross-immunity experiments between different species or strains of leishmania in rhesus macaques (macaca mulatta) // The American J. Tropical Medicine and Hygiene. 2004. V. 71, N 3. P. 297–305; DOI: 10.4269/ajtmh.2004.71.297
     
  3. Gordon A., Gresh L., Ojeda S., Katzelnick L. C., Sanchez N., Mercado J. C., et al. Prior dengue virus infection and risk of Zika: A pediatric cohort in Nicaragua // PLoS Med. 2019. V. 16, N 1. Article number e1002726; DOI: 10.1371/journal.pmed.1002726
     
  4. Ng T. W., Turinici G., Danchin A. A double epidemic model for the SARS propagation // BMC Infect Dis. 2003. V. 3. Article nymber 19; DOI: 10.1186/1471-2334-3-19
     
  5. Ahn K. W., Kosoy M., Chan K.-S. An approach for modeling cross-immunity of two strains, with application to variants of Bartonella in terms of genetic similarity // Epidemics. 2014. V. 7. P. 7–12; DOI: 10.1016/j.epidem.2014.03.001
     
  6. Alkhazzan A., Wang J., Nie Y., Khan H., Alzabut J. A novel SIRS epidemic model for two diseases incorporating treatment functions, media coverage, and three types of noise // Chaos, Solitons & Fractals. 2024. V. 181. Article number 114631; DOI: 10.1016/j.chaos.2024.114631
     
  7. Kabanikhin S., Krivorotko O., Neverov A., Kaminskiy G., Semenova O. Identification of the mathematical model of tuberculosis and HIV co-infection dynamics // Mathematics. 2024. V. 12. Article number 3636; DOI: 10.3390/math12233636
     
  8. Schlickeiser R., Kroger M. Mathematics of Epidemics: On the General Solution of SIRVD, SIRV, SIRD, and SIR Compartment Models // Mathematics. 2024. V. 12, N 7. Article number 941; DOI: 10.3390/math12070941
     
  9. Sidi Ammi M.R., Tahiri M., Torres D.F.M. Global stability of a Caputo fractional SIRS model with general incidence rate // Math. Comput. Sci. 2020. V. 15, N 1. P. 91–105; DOI: 10.48550/arXiv.2002.02560
     
  10. Kumar P., Erturk V. S., Yusuf A., Nisar K. S., Abdelwahab S. F. A study on canine distemper virus (CDV) and rabies epidemics in the red fox population via fractional derivatives // Results Phys. 2021. V. 25. Article number 104281; DOI: 10.1016/j.rinp.2021.104281
     
  11. Говорухин В. Н., Загребнева А. Д. Популяционные волны и их бифуркации в модели «активный хищник — пассивная жертва» // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12, № 4. C. 831–843; DOI: 10.20537/2076-7633-2020-12-4-831-843
     
  12. Frischmuth K., Budyansky A. V., Tsybulin V. G. Modeling of invasion on a heterogeneous habitat: taxis and multistability // Appl. Math. Comput. 2021. V. 410. Article number 126456; DOI: 10.1016/j.amc.2021.126456
     
  13. Sidi Ammi M. R., Zinihi A., Raezah A. A., Sabbar Y. Optimal control of a spatiotemporal SIR model with reaction–diffusion involving ρ-Laplacian operator // Results Phys. 2023. Vol. 52. Article number 106895; DOI: 10.1016/j.rinp.2023.106895
     
  14. Будянский А. В. Влияние направленной миграции на заболеваемость населения в SIS–модели // Вестн. ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2024. Т. 17, № 3. C. 18–28; DOI: 10.14529/mmp240302
     
  15. Peng R., Liu S. Q. Global stability of the steady states of an SIS epidemic reaction–diffusion model // Nonlinear Analysis. 2009. V. 71. P. 239–247; DOI: 10.1016/j.na.2008.10.043
     
  16. Allen L. J. S., Bolker B. M. , Lou Y., Nevai A. L. Asymptotic profiles of the steady states for an SIS epidemic disease patch model // SIAM J. Appl. Math. 2007. V. 67. P. 1283–1309; DOI: 10.48550/arXiv.1911.02219
     
  17. Юдович В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. T. 49, № 5. C. 142–148; DOI: 10.1007/BF01142654
     
  18. Yudovich V. I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. V. 5, N 2. P. 402–411; DOI: 10.1063/1.166110
     
  19. Будянский А. В., Цибулин В. Г. Моделирование конкуренции популяций с учётом многофакторного таксиса // Сиб. журн. индустр. математики. 2023. Т. 26, № 3. С. 14–25; DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.302
     
  20. Будянский А. В. Численное исследование влияния направленной миграции неаборигенных видов на инвазивные сценарии // Вестн. Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2023. Т. 33, № 4. C. 551–562; DOI: 10.35634/vm230401

Данная работа финансировалась за счёт средств бюджета Донского государственного технического университета. Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. В. Будянский
  1. Донской государственный технический университет, 
    пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону 344002, Россия

E-mail: a_v_budyansky@mail.ru 

Статья поступила 05.11.2025 г.
После доработки — 17.07.2026 г.
Принята к публикации 17.07.2026 г.

Abstract:

The purpose of this study is to investigate a model of mass infectious diseases based on a system of nonlinear parabolic equations. The modeling is carried out within the framework of the hypothesis of a double epidemic caused by different infectious strains or closely related viruses. It is implied that the diseases provide mutual immunity. The spatio-temporal interaction of two population categories is considered: susceptible to infection and infected. In this case, the infected population is divided into two non-overlapping groups related to different diseases. Local interaction determining the mutual transition from one category to another and migration flows caused by diffusion and directed migration are taken into account. The modeling is carried out without taking into account demographic factors and the possibility of obtaining immunity by those who have recovered. For spatial approximation of the problem, the finite difference method based on shifted grids is used. The resulting system of ordinary differential equations is integrated over time using the Runge-Kutta method. Computer experiments are conducted in the matlab system. The study established parametric dependencies, under which continuous family of equilibria occurs in the problem under consideration. The possibility of finding stationary distributions without using numerical methods was analyzed. In computational experiments, an analysis of epidemiological consequences in the case of the disintegration of a family of solutions was given. The influence of migration on scenarios of local displacement and coexistence of viral infections was studied.

References:
  1. Snowden F. M. Epidemics and society: from the black death to the present. Yale Univ. Press, 2019.
     
  2. Porrozzi R., Teva A., Amaral V. F. Cross-immunity experiments between different species or strains of leishmania in rhesus macaques (macaca mulatta). The American J. Tropical Medicine and Hygiene, 2004, Vol. 71, No. 3, pp. 297–305; DOI: 10.4269/ajtmh.2004.71.297
     
  3. Gordon A., Gresh L., Ojeda S., Katzelnick L. C., Sanchez N., Mercado J. C., et al. Prior dengue virus infection and risk of Zika: A pediatric cohort in Nicaragua. PLoS Med., 2019, Vol. 16, No. 1, Article number e1002726; DOI: 10.1371/journal.pmed.1002726
     
  4. Ng T. W., Turinici G., Danchin A. A double epidemic model for the SARS propagation. BMC Infect Dis., 2003, Vol. 3, Article nymber 19; DOI: 10.1186/1471-2334-3-19
     
  5. Ahn K. W., Kosoy M., Chan K.-S. An approach for modeling cross-immunity of two strains, with application to variants of Bartonella in terms of genetic similarity. Epidemics, 2014, Vol. 7, pp. 7–12; DOI: 10.1016/j.epidem.2014.03.001
     
  6. Alkhazzan A., Wang J., Nie Y., Khan H., Alzabut J. A novel SIRS epidemic model for two diseases incorporating treatment functions, media coverage, and three types of noise. Chaos, Solitons & Fractals, 2024, Vol. 181, Article number 114631; DOI: 10.1016/j.chaos.2024.114631
     
  7. Kabanikhin S., Krivorotko O., Neverov A., Kaminskiy G., Semenova O. Identification of the mathematical model of tuberculosis and HIV co-infection dynamics. Mathematics, 2024, Vol. 12, Article number 3636; DOI: 10.3390/math12233636
     
  8. Schlickeiser R., Kroger M. Mathematics of Epidemics: On the General Solution of SIRVD, SIRV, SIRD, and SIR Compartment Models. Mathematics, 2024, Vol. 12, No. 7, Article number 941; DOI: 10.3390/math12070941
     
  9. Sidi Ammi M. R., Tahiri M., Torres D. F. M. Global stability of a Caputo fractional SIRS model with general incidence rate. Math. Comput. Sci., 2020, Vol. 15, No. 1, pp. 91–105; DOI: 10.48550/arXiv.2002.02560
     
  10. Kumar P., Erturk V. S., Yusuf A., Nisar K. S., Abdelwahab S. F. A study on canine distemper virus (CDV) and rabies epidemics in the red fox population via fractional derivatives. Results Phys., 2021, Vol. 25, Article number 104281; DOI: 10.1016/j.rinp.2021.104281
     
  11. Govoruhin V. N., Zagrebneva A. D. Populyacionnye volny i ih bifurkacii v modeli «aktivnyj hishchnik — passivnaya zhertva» [Population waves and their bifurcations in the model «active predator — passive prey»]. Computer Research and Modeling, 2020, Vol. 12, No. 4, pp. 831–843 (in Russian); DOI: 10.20537/2076-7633-2020-12-4-831-843
     
  12. Frischmuth K., Budyansky A. V., Tsybulin V. G. Modeling of invasion on a heterogeneous habitat: taxis and multistability. Appl. Math. Comput., 2021, Vol. 410, Article number 126456; DOI: 10.1016/j.amc.2021.126456
     
  13. Sidi Ammi M. R., Zinihi A., Raezah A. A., Sabbar Y. Optimal control of a spatiotemporal SIR model with reaction–diffusion involving ρ-Laplacian operator. Results Phys., 2023, Vol. 52, Article number 106895; DOI: 10.1016/j.rinp.2023.106895
     
  14. Budyansky A. V. Vliyanie napravlennoj migracii na zabolevaemost’ naseleniya v SIS–modeli [The influence of directed migration on the morbidity of the population in the SIS–model]. Vestn. YuUrGU. Ser. Mat. Model. Program., 2024, Vol. 17, No. 3, pp. 18–28 (in Russian); DOI: 10.14529/mmp240302
     
  15. Peng R., Liu S. Q. Global stability of the steady states of an SIS epidemic reaction–diffusion model. Nonlinear Analysis, 2009, Vol. 71, pp. 239–247; DOI: 10.1016/j.na.2008.10.043
     
  16. Allen L. J. S., Bolker B. M. , Lou Y., Nevai A. L. Asymptotic profiles of the steady states for an SIS epidemic disease patch model. SIAM J. Appl. Math., 2007, Vol. 67, pp. 1283–1309; DOI: 10.48550/arXiv.1911.02219
     
  17. Yudovich V. I. Kosimmetriya, vyrozhdenie reshenij operatornyh uravnenij, vozniknovenie fil’tracionnoj konvekcii [Co-symmetry, degeneracy of solutions of operator equations, occurrence of filtration convection] Mat. Zametki[Mat. Notes], 1991, Vol. 49, No. 5, pp. 142–148 (in Russian); DOI: 10.1007/BF01142654
     
  18. Yudovich V. I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. Chaos, 1995, Vol. 5, No. 2, pp. 402–411; DOI: 10.1063/1.166110
     
  19. Budyansky A. V., Tsybulin V. G. Modelirovanie konkurencii populyacij s uchyotom mnogofaktornogo taksisa [Population competition modeling based on multifactorial taxation]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2023, Vol. 26, No. 3, pp. 14–25 (in Russian); DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.302
     
  20. Budyansky A. V. Chislennoe issledovanie vliyaniya napravlennoj migracii neaborigennyh vidov na invazivnye scenarii [Numerical study of the impact of directed migration of non-native species on invasive scenarios]. Vestn. Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Comput. sci., 2023, Vol. 33, No 4, pp. 551–562 (in Russian); DOI: 10.35634/vm230401