Разрешимость неоднородной краевой задачи для стационарной модели тепломассопереноса

Разрешимость неоднородной краевой задачи для стационарной модели тепломассопереноса с переменными коэффициентами, зависящими от двух диффузионных компонент

Алексеев Г. В., Рогозина Ю. Э.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 2(106), 5-24 (2026)
Скачать статью

УДК 517.95 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.201

Аннотация:

Рассматривается неоднородная краевая задача для стационарной модели тепломассопереноса с переменными коэффициентами в случае, когда главные коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии, а также младшие коэффициенты зависят от двух диффузионных компонент: температуры среды и концентрации растворённого вещества. Для исследования указанной краевой задачи разрабатывается математический аппарат, основанный на вариационном подходе с использованием теоремы Шаудера о неподвижной точке и теоремы Лебега о мажорантной сходимости. На основе разработанного аппарата доказывается глобальная разрешимость рассматриваемой краевой задачи в слабой постановке и устанавливаются достаточные условия на исходные данные задачи, обеспечивающие локальную единственность слабого решения, обладающего дополнительным свойством гладкости для диффузионных компонент.

Литература:
  1. Leray J. Étude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques probl´emes que pose l’Hydrodynamique // J. Math. Pure Appl. 1933. V. 12. P. 1–82.
     
  2. Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math. 1934. V. 63. P. 193–248.
     
  3. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 1961.
     
  4. Galdi G. P. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier–Stokes Equations, Steady-state problems. New York: Springer, 2011; DOI: 10.1007/978-0-387-09620-9
     
  5. Korobkov M. V., Pileckas K., Russo R. The Steady Navier–Stokes System: Basics of the Theory and the Leray Problem. Switzerland: Springer Birkhäuser Cham, 2024; DOI: 10.1007/978-3-031-50898-1
     
  6. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125, № 3. С. 492–495.
     
  7. Lorca S. A., Boldrini J. L. Stationary solutions for generalized Boussinesq models // J. Differ. Equ. 1996. V. 124, N 2. P. 389–406.
     
  8. Lorca S. A., Boldrini J. L. The initial value problem for a generalized Boussinesq model // Nonlinear Analysis. 1999. V. 36, N 4. P. 457–480; DOI: 10.1016/S0362-546X(97)00635-4
     
  9. Dias H., Galiano G. Existence and uniqueness of solutions to the Boussinesq system with nonlinear thermal diffusion // Topological Methods in Nonlinear Anal. 1998. V. 11, N 1. P. 59–82.
     
  10. Bulicek M., Málek J., Rajagopal K. R. Navier’s slip and evolutionary Navier-Stokes-like systems with pressure and shear-rate dependent viscosity // Indiana University Math. J. 2007. V. 56, N 1. P. 51–86.
     
  11. Bulicek M., Feireisl E., Málek J. A Navier-Stokes-Fourier system for incompressible fluids with temperature dependent material coefficients // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2009. V. 10, N 2. P. 992–1015; DOI: 10.1016/j.nonrwa.2007.11.018
     
  12. Гончарова О. Н. Единственность решения двумерной нестационарной задачи для уравнений конвекции с вязкостью, зависящей от температуры // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 2. С. 23–242.
     
  13. Naumann J. On the existence of weak solutions to the equations of non-stationary motion of heatconducting incompressible viscous fluids // Math. Meth. App. Sci. 2006. V. 29. P. 1883–1906.
     
  14. Kim T., Cao D. A non-steady system with friction boundary conditions for flow of heat-conducting incompressible viscous fluids // J. Math. Anal. Appl. 2020. V. 484, N 1. Article number 123676; DOI: 10.1016/j.jmaa.2019.123676
     
  15. Antontsev S.N., Diaz J.I., B. de Oliveira H. Stopping a viscous fluid by a feedback dissipative field: thermal effects without phase changing // Progr. Nonlinear Differ. Equ. Appl. 2005. V. 61. P. 1–14; DOI: 10.1007/3-7643-7317-2_1
     
  16. Antontsev S.N., B. de Oliveira H. The Oberbeck-Boussinesq problem modified by a thermo-absorption term // J. Math. Anal. Appl. 2011. V. 379, N 2. P. 802–817; DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.02.018
     
  17. Galiano G. Spatial and time localization of solutions of the Boussinesq system with nonlinear thermal diffusion // Nonlinear Anal. 2000. V. 42, N 3. P. 423–438; DOI: 10.1016/S0362-546X(98)00355-1
     
  18. Consiglieri L. Steady-state flows of thermal viscous incompressible fluids with convective-radiation effects // Math. Meth. App. Sci. 2006. V. 16, N 12. P. 2013–2027; DOI: 10.1142/S0218202506001790
     
  19. Барановский Е. С., Домнич А. А. О модели протекания неравномерно нагретой вязкой жидкости через ограниченную область // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 3. С. 317–327; DOI: 10.1134/S0374064120030036
     
  20. Alekseev G. V., Soboleva O. V. Solvability analysis for the Boussinesq model of heat transfer under the nonlinear Robin boundary condition for the temperature // Phil. Trans. R. Soc. A. 2024. V. 382. Article number 2277; DOI: 10.1098/rsta.2023.0301
     
  21. Алексеев Г. В., Спивак Ю. Э. Анализ смешанной краевой задачи для стационарной модели конвекции вещества с переменными коэффициентами вязкости и диффузии // Прикл. математика и техн. физика. 2024. Т. 65, № 5. С. 3–12; DOI: 10.15372/PMTF202415509
     
  22. Kim T. Steady Boussinesq system with mixed boundary conditions including friction conditions // Applications of Mathematics. 2022. V. 67, N 5. P. 593–613; DOI: 10.21136/AM.2022.0031-21
     
  23. Гиль М. И. О разрешимости системы стационарных уравнений Буссинеска // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 11. С. 1936–1941.
     
  24. Алексеев Г. В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 5. С. 971–991.
     
  25. Алексеев Г. В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Научный мир, 2010.
     
  26. Алексеев Г. В., Соболева О. В. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61, № 12. С. 1603–1619; DOI: 10.7868/S3034503025120023
     
  27. Алексеев Г. В., Пухначев В. В., Соболева О. В. Анализ разрешимости краевой задачи для стационарной модели термодиффузии // Сиб. журн. индустр. математики. 2025. Т. 28, № 4. С. 5–20; DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.401
     
  28. Joseph D. D. Stability of Fluid Motions. New York: Sprenger-Verlag, 1976.
     
  29. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of Theoretical Physics, Volume 6: Fluid Mechanics. Oxford: Pergamon Press, 1987.
     
  30. Girault V., Raviart P. A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Theory and Algorithms. Berlin: Springer, 1986.
     
  31. Serfozo R. Convergence of Lebesque integrals with varying measures // Sankhya: The Indian J. of Stats. Series A. 1982. V. 44. P. 380–402.
     
  32. Kovtunenko V. A., Zubkova A. V., Reichelt S. Corrector estimates in homogenization of a nonlinear transmission problem for diffusion equations in connected domains // Math. Meth. Appl. Sci. 2020. V. 43, N 4. P. 1838–1856; DOI: 10.1002/mma.6007
     
  33. Коробков М. В., Пилецкас К., Пухначёв В. В., Руссо Р. Задача протекания для уравнений Навье– Стокса // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69, № 6. С. 115–176; DOI: 10.4213/rm9616

Исследование выполнено в рамках государственного задания ИПМ ДВО РАН (проект 075- 00460-26-00) и работа первого автора также выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (соглашение № 075-02-2026-1312 от 20.02.2026). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Г. В. Алексеев
  1. Институт прикладной математики ДВО РАН, 
    ул. Радио, 7, г. Владивосток 690041, Россия
  2. Дальневосточный федеральный университет, 
    о. Русский, п. Аякс, 10, г. Владивосток 690922, Россия

E-mail: alekseev@iam.dvo.ru 

Ю. Э. Рогозина
  1. Институт прикладной математики ДВО РАН, 
    ул. Радио, 7, г. Владивосток 690041, Россия

E-mail: uliyaspivak@gmail.com 

Статья поступила 20.05.2026 г.
После доработки — 24.06.2026 г.
Принята к публикации 15.07.2026 г.

Abstract:

An inhomogeneous new boundary value problem for the stationary heat and mass transfer model with variable coefficients is considered in the case when the leading coefficients of viscosity, thermal conductivity, and diffusivity, as well as lower-order coefficients, depend on two diffusive components: the temperature of the medium and the concentration of the dissolved substance. A mathematical apparatus based on the variational approach and using Schauder’s fixed-point theorem and Lebesgue’s dominated convergence theorem is developed to investigate the mentioned boundary value problem. Applying the developed apparatus, the global existence of a weak solution of the boundary value problem under consideration is proved, and sufficient conditions to the problem data are established providing local uniqueness of the weak solution possessing additional smoothness property for temperature and concentration.

References:
  1. Leray J. Étude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problémes que pose  l’Hydrodynamique. J. Math. Pure Appl., 1933, Vol. 12, pp. 1–82.
     
  2. Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Math., 1934, Vol. 63, pp. 193– 248.
     
  3.  Ladyzhenskaya O. A. Matematicheskie voprosy dinamiki vyazkoj neszhimaemoj zhidkosti [Mathematical issues of the dynamics of a viscous incompressible fluid]. Moscow: Fizmatlit, 1961 (in Russian).
     
  4. Galdi G. P. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier–Stokes Equations, Steady-state problems. N. Y.: Springer, 2011; DOI: 10.1007/978-0-387-09620-9
     
  5. Korobkov M. V., Pileckas K., Russo R. The Steady Navier–Stokes System: Basics of the Theory and the Leray Problem. Switzerland: Springer Birkh¨auser Cham, 2024; DOI: 10.1007/978-3-031-50898-1
     
  6. Ovsyannikov L. V. Gruppovye svojstva uravneniya nelinejnoj teploprovodnosti [Group properties of the nonlinear heat conduction equation] Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1959, Vol. 125, No. 3, pp. 492–495 (in Russian).
     
  7. Lorca S. A., Boldrini J. L. Stationary solutions for generalized Boussinesq models. J. Differ. Equ., 1996, Vol. 124, No. 2, pp. 389–406.
     
  8. Lorca S. A., Boldrini J. L. The initial value problem for a generalized Boussinesq model. Nonlinear Anal., 1999, Vol. 36, No. 4, pp. 457–480; DOI: 10.1016/S0362-546X(97)00635-4
     
  9. Dias H., Galiano G. Existence and uniqueness of solutions to the Boussinesq system with nonlinear thermal diffusion. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 1998, Vol. 11, No. 1, pp. 59–82.
     
  10. Bulicek M., Málek J., Rajagopal K. R. Navier’s slip and evolutionary Navier-Stokes-like systems with pressure and shear-rate dependent viscosity. Indiana University Math. J., 2007, Vol. 56, No. 1, pp. 51–86.
     
  11. Bulicek M., Feireisl E., Málek J. A Navier-Stokes-Fourier system for incompressible fluids with temperature dependent material coefficients. Nonlinear Anal. Real World Appl., 2009, Vol. 10, No. 2, pp. 992–1015; DOI: 10.1016/j.nonrwa.2007.11.018
     
  12. Goncharova O. N. Unique solvability of a two-dimensional nonstationary problem for the convection equations with temperature-dependent viscosity. Differ. Equ., 2002, Vol. 38, No. 2, pp. 249–258; DOI: 10.1023/A:1015337513832
     
  13. Naumann J. On the existence of weak solutions to the equations of non-stationary motion of heatconducting incompressible viscous fluids. Math. Meth. App. Sci., 2006, Vol. 29, pp. 1883–1906.
     
  14. Kim T., Cao D. A non-steady system with friction boundary conditions for flow of heat-conducting incompressible viscous fluids. J. Math. Anal. Appl., 2020, Vol. 484, No. 1, Article number 123676; DOI: 10.1016/j.jmaa.2019.123676
     
  15. Antontsev S. N., Diaz J. I., B. de Oliveira H. Stopping a viscous fluid by a feedback dissipative field: thermal effects without phase changing. Progr. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 2005, Vol. 61, pp. 1–14; DOI: 10.1007/3-7643-7317-2_1
     
  16. Antontsev S. N., B. de Oliveira H. The Oberbeck-Boussinesq problem modified by a thermo-absorption term. J. Math. Anal. Appl., 2011, Vol. 379, No. 2, pp. 802–817; DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.02.018
     
  17. Galiano G. Spatial and time localization of solutions of the Boussinesq system with nonlinear thermal diffusion. Nonlinear Anal., 2000, Vol. 42, No. 3, pp. 423–438; DOI: 10.1016/S0362-546X(98)00355-1
     
  18. Consiglieri L. Steady-state flows of thermal viscous incompressible fluids with convective-radiation effects. Math. Meth. App. Sci., 2006, Vol. 16, No. 12, pp. 2013–2027; DOI: 10.1142/S0218202506001790
     
  19. Baranovskii E. S., Domnich A. A. Model of a nonuniformly heated viscous flow through a bounded domain. Differ. Equ., 2020, Vol. 56, No. 3; P. 304–314; DOI: 10.1134/S0012266120030039
     
  20. Alekseev G. V., Soboleva O. V. Solvability analysis for the Boussinesq model of heat transfer under the nonlinear Robin boundary condition for the temperature. Phil. Trans. R. Soc. A., 2024, Vol. 382, Article number 2277; DOI: 10.1098/rsta.2023.0301
     
  21. Alekseev G. V., Spivak Yu. E. Analysis of a mixed boundary value problem for a stationary model of substance convection with variable viscosity and diffusion coefficients. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2024, Vol. 65, No. 5, pp. 793–801; DOI: 10.1134/S0021894424050018
     
  22. Kim T. Steady Boussinesq system with mixed boundary conditions including friction conditions. Appl. Math., 2022, Vol. 67, No. 5, pp. 593–613; DOI: 10.21136/AM.2022.0031-21
     
  23. Gil’ M. I. Solvability of a system of stationary Boussinesq equations. Differ. Equ., 1991, Vol. 27, No. 11, pp. 1377–1382.
     
  24. Alekseev G. V. Solvability of inverse extremal problems for stationary heat and mass transfer equations. Sib. Math. J., 2001, Vol. 42, No. 5, pp. 811–827; DOI: 10.1023/A:1011940606843
     
  25. Alekseev G. V. Optimizaciya v stacionarnyh zadachah teplomassoperenosa i magnitnoj gidrodinamiki [Optimization in the Stationary Problems of the Heat-Mass Transfer and Magnetic Hydrodynamics]. Moscow: Nauchiy Mir, 2010 (in Russian).
     
  26. Alekseev G. V., Soboleva O. V. Solvability of a boundary value problem for the stationary heat and mass transfer equations with variable coefficients. Differ. Equ., 2025, Vol. 61, No. 12, pp. 1853–1868; DOI: 10.1134/S001226612512002X
     
  27. Alekseev G. V., Puhnachev V. V., Soboleva O. V. Analiz razreshimosti kraevoj zadachi dlya stacionarnoj modeli termodiffuzii [Analysis of the solvability of a boundary value problem for a stationary thermodiffusion model]. Sib. Zhurn. Indust. Mat. [Sib. J. Indust. Math.], 2025, Vol. 28, No. 4, pp. 5–20 (in Russian); DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.401
     
  28. Joseph D. D. Stability of Fluid Motions. N. Y.: Sprenger-Verl., 1976.
     
  29. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of Theoretical Physics, Volume 6: Fluid Mechanics. Oxford: Pergamon Press, 1987.
     
  30. Girault V., Raviart P. A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Theory and Algorithms. Berlin: Springe-Verl., 1986.
     
  31. Serfozo R. Convergence of Lebesque integrals with varying measures. Indian J. Stats. Series A, 1982, Vol. 44, pp. 380–402.
     
  32. Kovtunenko V. A., Zubkova A. V., Reichelt S. Corrector estimates in homogenization of a nonlinear transmission problem for diffusion equations in connected domains. Math. Meth. Appl. Sci., 2020, Vol. 43, No. 4, pp. 1838–1856; DOI: 10.1002/mma.6007
     
  33. Korobkov M. V., Pileckas K., Pukhnachev V. V., Russo R. The flux problem for the Navier–Stokes equation. Russian Math. Surveys, 2014, Vol. 69, No. 6, pp. 1065–1122; DOI: 10.1070/RM2014v069n06ABEH004928