Катящиеся волны в придонном плотностном течении

Катящиеся волны в придонном плотностном течении

Тарасов С. К.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 2(106), 89-102 (2026)
Скачать статью

УДК 532.591:532.517 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.207

Аннотация:

Рассматривается трёхслойное стратифицированное течение с массообменом над наклонным дном. Предполагается, что генерация вихрей в промежуточном слое уравновешивается диссипативными эффектами. В приближении Буссинеска течение описывается уравнениями движения близкими по структуре к модели двухслойной мелкой воды под крышкой. Для течений с пассивным верхним слоем модель редуцируется к уравнениям однослойной мелкой воды, включающим в качестве параметра прослоечное число Ричардсона. С использованием критерия Уизема получены условия, при которых малые возмущения постоянного решения трансформируются в нелинейные квазипериодические волновые пакеты конечной амплитуды. Выполнены численные расчёты эволюции малых возмущений, демонстрирующие формирование катящихся волн. Построен двухпараметрический класс точных кусочно-гладких периодических решений, соответствующий режиму катящихся волн.

Литература:
  1. Baines P. G. Topographic effects in stratified flows. Cambridge Univ. Press, 1995.
     
  2. He Z., Okon S. U., Zhu R., Pähtz T., Meiburg E. Dynamics of gravity currents under external and internal stratification in geophysical systems // Earth-Sci. Rev. 2025. V. 271; DOI: 10.1016/j.earscirev.2025.105270
     
  3. Ogden K. A., Helfrich K. R. Internal hydraulic jumps in two-layer flows with increasing upstream shear // Phys. Rev. Fluids. 2020. V. 5; DOI: 10.1103/physrevfluids.5.074803
     
  4. Lawrence G. A., Armi L. Stationary internal hydraulic jumps // J. Fluid Mech. 2022. V. 936; DOI: 10.1017/jfm.2022.74
     
  5. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. A note on the propagation speed of a weakly dissipative gravity current // J. Fluid Mech. 2007. V. 574. P. 393–403.
     
  6. Dai A. Experiments on gravity currents propagating on different bottom slopes // J. Fluid Mech. 2013. V. 731. P. 117–141.
     
  7. Zhu R., He Z., Meiburg E. Mixing, entrainment and energetics of gravity currents released from two-layer stratified locks // J. Fluid Mech. 2023. V. 960; DOI: 10.1017/jfm.2023.146
     
  8. Ungarish M. Gravity Currents and Intrusions — Analysis and Prediction. New Jersey, London, Tokyo: World Scientific, 2020.
     
  9. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.
     
  10. Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Слой смешения в двухслойных спутных течениях стратифицированной жидкости // Прикл. математика и техн. физика. 2022. Т. 63, № 6. С. 122–134.
     
  11. Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Равновесная модель слоя смешения в сдвиговом течении стратифицированной жидкости // Прикл. математика и техн. физика. 2024. Т. 65, № 3. С. 43–55.
     
  12. Chesnokov A. A., Liapidevskii V. Yu., Kazakov A. L. Nonlinear internal waves and turbulent mixing in a three-layer stratified fluid in a closed reservoir // Internat. J. Non-Linear Mech. 2025. V. 179; DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2025.105241
     
  13. Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Обрушение уединённых внутренних волн в трёхслойной жидкости над препятствием // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2025. Т. 65, № 5. С. 673–685.
     
  14. Gavrilyuk S. L., Liapidevskii V. Yu., Chesnokov A. A. Interaction of a subsurface bubble layer with long internal waves // Europ. J. Mech. B/Fluids. 2019. V. 73. P. 157–169.
     
  15. Ермишина В. Е. Гиперболическая модель сильно нелинейных волн в двухслойных течениях неоднородной жидкости // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 4. С. 71–85.
     
  16. Ляпидевский В. Ю., Зуёв О. А., Макаренко Н. И., Морозов Е. Г., Фрей Д. И. Расщепление стратифицированных течений над препятствиями // Прикл. математика и техн. физика. 2025. Т. 66, № 4. С.118–128.
     
  17. Чесноков А. А., Тарасов С. К. Волновые режимы течения и перемешивание в придонных гравитационных потоках // ПМТФ. 2025. Т. 66, № 4. С. 58–73.
     
  18. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
     
  19. Ляпидевский В. Ю. Двухслойная равновесная модель течения смешивающейся неоднородной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2024. № 4. С. 76–89.
     
  20. Nessyahu H., Tadmor E. Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1990. V. 87. P. 408–463.
     
  21. Dressler P. G. Mathematical solution of the problem of roll waves in inclined open channels // Comm. Pure Appl. Math. 1949. V. 2. P. 140–194.
     
  22. Boudlal A. Roll waves and plugs in two-layer flows // Europ. J. Appl. Math. 2008. V. 19. P. 1–19.
     
  23. Чесноков А. А. Волновые структуры в течениях идеального газа с внешним источником энергии // Труды МИАН. 2023. Т. 322. С. 241–250.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 25-21-00811). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

С. К. Тарасов
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: s.tarasov1@g.nsu.ru 

Статья поступила 07.05.2026 г.
После доработки — 09.07.2026 г.
Принята к публикации 15.07.2027 г.

Abstract:

A three-layer stratified flow with mass transfer over a sloping bottom is considered. It is assumed that vortex generation in the intermediate layer is balanced by dissipative effects. In the Boussinesq approximation, the flow is described by equations of motion similar in structure to the two-layer shallow water model under a cover. For deep-water currents, the model is reduced to single-layer shallow water equations, including the interlayer Richardson number as a parameter. Using the Whitham criterion, conditions are obtained under which small perturbations of a constant solution are transformed into nonlinear quasiperiodic wave packets of finite amplitude. Numerical simulations of the evolution of small perturbations are performed, demonstrating the formation of roll waves. A two-parameter class of exact piecewise smooth periodic solutions corresponding to the roll wave regime is constructed.

References:
  1. Baines P. G. Topographic effects in stratified flows. Cambridge Univ. Press, 1995.
     
  2. He Z., Okon S.U., Zhu R., Pähtz T., Meiburg E. Dynamics of gravity currents under external and internal stratification in geophysical systems. Earth-Sci. Rev., 2025, Vol. 271; DOI: 10.1016/j.earscirev.2025.105270
     
  3. Ogden K. A., Helfrich K. R. Internal hydraulic jumps in two-layer flows with increasing upstream shear. Phys. Rev. Fluids, 2020, Vol. 5; DOI: 10.1103/physrevfluids.5.074803
     
  4. Lawrence G. A., Armi L. Stationary internal hydraulic jumps. J. Fluid Mech., 2022, Vol. 936; DOI: 10.1017/jfm.2022.74
     
  5. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. A note on the propagation speed of a weakly dissipative gravity current. J. Fluid Mech., 2007, Vol. 574, pp. 393–403.
     
  6. Dai A. Experiments on gravity currents propagating on different bottom slopes. J. Fluid Mech., 2013, Vol. 731, pp. 117–141.
     
  7. Zhu R., He Z., Meiburg E. Mixing, entrainment and energetics of gravity currents released from two-layer stratified locks. J. Fluid Mech., 2023, Vol. 960; DOI: 10.1017/jfm.2023.146
     
  8. Ungarish M. Gravity Currents and Intrusions — Analysis and Prediction. New Jersey, London, Tokyo: World Scientific, 2020.
     
  9. Liapidevskii V. Yu., Teshukov V. M. Matematicheskie modeli rasprostraneniya dlinnyh voln v neodnorodnoj zhidkosti [Mathematical models of long wave propagation in an inhomogeneous fluid]. Novosibirsk: Publ. SB RAS, 2000 (In Russian).
     
  10. Liapidevskii V. Yu., Chesnokov A. A. Mixing layer in two-layer stratified flows. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2022, Vol. 63, pp. 1010–1021; DOI: 10.1134/S0021894422060141
     
  11. Liapidevskii V. Yu., Chesnokov A. A. Equilibrium model of the mixing layer in shear flow of a stratified fluid. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2024, Vol. 65, pp. 427–438. DOI: 10.1134/S0021894424030040
     
  12. Chesnokov A. A., Liapidevskii V. Yu., Kazakov A. L. Nonlinear internal waves and turbulent mixing in a three-layer stratified fluid in a closed reservoir. Internat. J. Non-Linear Mech., 2025, Vol. 179; DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2025.105241
     
  13. Liapidevskii V. Yu., Chesnokov A. A. Breaking of internal solitary waves in a three-layer fluid over an obstacle. Comput. Math. Math. Phys., 2025, Vol. 65, pp. 1013–1025; DOI: 10.1134/S0965542525700332
     
  14. Gavrilyuk S. L., Liapidevskii V. Yu., Chesnokov A. A. Interaction of a subsurface bubble layer with long internal waves. Europ. J. Mech. B/Fluids, 2019, Vol. 73, pp. 157–169.
     
  15. Ermishina V. E. A Hyperbolic Model of Strongly Nonlinear Waves in Two-Layer Flows of an Inhomogeneous Fluid. J. Appl. Ind. Math., 2022, Vol. 16,pp. 659–671; DOI: 10.1134/S199047892204007X
     
  16. Lyapidevsky, V. Y., Zuev, O. A., Makarenko, N. I. et al. Splitting of Stratified Flows over Obstacles. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2025, Vol. 66, pp. 735–744; DOI: 10.1134/S0021894425700294
     
  17. Chesnokov A. A., Tarasov S. K. Wave regimes and mixing in bottom gravity currents. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2025, Vol. 66, pp. 683–696; DOI: 10.1134/S0021894425700257
     
  18. Whitham G. B. Linear and Nonlinear Waves. N. Y.: J. Wiley and Sons, 1974.
     
  19. Liapidevskii V. Yu. Two-layer equilibrium model of the flow of a miscible inhomogeneous fluid. J. Fluid Dynamics, 2024, Vol. 59, pp. 709–722.
     
  20. Nessyahu H., Tadmor E. Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation laws. J. Comput. Phys., 1990, Vol. 87, pp. 408–463.
     
  21. Dressler P. G. Mathematical solution of the problem of roll waves in inclined open channels. Comm. Pure Appl. Math., 1949, Vol. 2, pp. 140–194.
     
  22. Boudlal A. Roll waves and plugs in two-layer flows. Europ. J. Appl. Math., 2008, Vol. 19, pp. 1–19.
     
  23. Chesnokov A. A. Wave structures in ideal gas flows with an external energy source. Proc. Steklov Inst. Math., 2023, Vol. 322, pp. 232–241; DOI: 10.1134/S0081543823040193